《充分条件与必要条件》专题复习与训练.docx
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《充分条件与必要条件》专题复习与训练
《1.4 充分条件与必要条件》专题复习与训练
学习目标
核心素养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．（重点、难点）
2．会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．（重点）
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．（难点）
1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．
2．借助充要条件的应用，培养数学运算素养.
【新课导入】
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p⇒q
p
q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：
（1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
（2）以下五种表述形式：
①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
提示：
（1）相同，都是p⇒q.
（2）等价．
2．充要条件
（1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
（2）若p⇒q，但q
p，则称p是q的充分不必要条件．
（3）若q⇒p，但p
q，则称p是q的必要不充分条件．
（4）若p
q，且q
p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：
（1）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：
（1）正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.
（2）①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．下列语句是命题的是（ ）
A．梯形是四边形 B．作直线AB
C．x是整数D．今天会下雪吗
A [D不是陈述句，B、C不能判断真假．]
2．“同位角相等”是“两直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
3．使x>3成立的一个充分条件是（ ）
A．x>4B．x>0
C．x>2D．x<2
A [只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.]
4．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
A [因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4
x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]
【合作探究】
充分条件、必要条件的判断
【例1】 指出下列各题中p是q的什么条件．
（1）p：
x－3＝0，q：
（x－2）（x－3）＝0.
（2）p：
两个三角形相似，q：
两个三角形全等．
（3）p：
a＞b，q：
ac＞bc.
[解]
（1）x－3＝0⇒（x－2）（x－3）＝0，但（x－2）（x－3）＝0
x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
（2）两个三角形相似
两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
（3）a＞b
ac＞bc，且ac＞bc
a＞b，
故p是q的既不充分也不必要条件．
定义法判断充分条件、必要条件
1确定谁是条件，谁是结论
2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件
3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.
1．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
（1）p：
四边形的对角线相等，q：
四边形是平行四边形．
（2）p：
（x－1）2＋（y－2）2＝0，q：
（x－1）（y－2）＝0.
[解]
（1）因为四边形的对角线相等
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形
四边形的对角线相等，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
（2）因为（x－1）2＋（y－2）2＝0⇒x＝1且y＝2⇒（x－1）（y－2）＝0，而（x－1）（y－2）＝0
（x－1）2＋（y－2）2＝0，所以p是q的充分不必要条件．
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？
若p是q的必要不充分条件呢？
提示：
若p是q的充分不必要条件，则A
B，若p是q的必要不充分条件，则B
A.
2．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}，若M⊆N，则p是q的什么条件？
若N⊆M，M＝N呢？
提示：
若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
【例2】 已知p：
－2≤x≤10，q：
1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路点拨]
→
→
{m|m≥9} [因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q
p.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以
或
解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．]
1．本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p
q.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}
{x|－2≤x≤10}，
所以
，解得0即m的取值范围是{m|0＜m≤3}．
2．若本例题改为：
已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.
所以
解得－1≤a≤5，
即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．
利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围
1化简p，q两命题；
2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；
3利用集合间的关系建立不等式；
4求解参数范围.
充要条件的探求与证明
【例3】 试证：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[思路点拨] 从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．
[证明] ①必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝
＜0（x1，x2为方程的两根），所以ac＜0.
②充分性：
由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝
＜0（x1，x2为方程的两根）．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明策略
1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.
提醒：
证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.
2．求证：
关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：
方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：
a＋b＋c＝0.
①证明p⇒q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.
②证明q⇒p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a（x2－1）＋b（x－1）＝0.
故（x－1）（ax＋a＋b）＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件的判断方法
（1）定义法：
直接利用定义进行判断．
（2）等价法：
“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
（3）利用集合间的包含关系进行判断：
如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
【课堂达标】
1．思考辨析
（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（ ）
（2）q不是p的必要条件时，“p
q”成立．（ ）
（3）若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．（ ）
[答案]
（1）√
（2）√ （3）×
2．“x>0”是“x≠0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．]
3．函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
m＝－2 [函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－
＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f（x）＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]
4．已知p：
实数x满足3a实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
[解] 由p：
3aq：
－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为p⇒q，所以A⊆B，
所以
即－
≤a<0，
所以a的取值范围是
.
《充分条件与必要条件》专题训练
[合格基础练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是（ ）
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，故选B.]
5．a<0，b<0的一个必要条件为（ ）
A．a＋b<0B．a－b>0
C.
>1D.
<－1
A [a＋b<0
a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A.]
二、填空题
6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
必要不充分 [由两三角形对应角相等
△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.]
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．
充要 [因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，
所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]
8．条件p：
1－x<0，条件q：
x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．
{a|a≤1} [p：
x>1，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]
三、解答题
9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：
（1）在△ABC中，p：
A>B，q：
BC>AC；
（2）p：
a＝3，q：
（a＋2）（a－3）＝0；
（3）p：
a<1.
[解] 在
（1）中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；
在
（2）中，若a＝3，则（a＋2）（a－3）＝0，但（a＋2）（a－3）＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；
在（3）中，若a<1，反之若
<1，当b<0时，也推不出a10．
（1）是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？
（2）是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？
[解]
（1）欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，
则只要
⊆{x|x<－1或x>3}，
即只需－
≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．
（2）欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆
，
这是不可能的．
故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．
[等级过关练]
1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（ ）
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
D．无法判断
A [因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙
丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲
丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]
2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则（ ）
A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
B [由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈C
x∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]
3．若p：
x－3<0是q：
2x－3{m|m＞3} [由x－3<0得x<3，由2x－3（m＋3），
由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}
，
所以
（m＋3）＞3，解得m＞3.]
4．设p：
≤x≤1；q：
a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
[因为q：
a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，
所以
解得0≤a≤
.]
5．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解] ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足
即0＜a≤
.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤
.
反之，若a≤
，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤
.
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