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数学建模人口老龄化问题论文
数学建模人口老龄化问题论文
摘要
我国是世界第一人口大国,地球上每5个人中就有一个中国人。
在20世纪的一段时间内，我国人口的增长速度过快，有效地控制我国人口的增长，解决养老金制度面临一胎化政策、人口老龄化、及通膨加剧、社保基金收益低等一系列问题，不仅是深入贯彻科学发展观的需要，而且对于全人类的美好理想来说,也是我们义不容辞的责任。
本文中通过查询国家统计局,中国统计年鉴-２011;东方早报,南方都市报，等各个网站的数据，并对所查信息进行分析，通过模型建立与分析,以解决以下几个问题;
针对问题一
我们利用Leslie模型来预测的，首先我们将人按年龄大小等间距的分隔，建立Leslie矩阵,建立Leslｉｅ模型,通过Matlab的程序运算，预测中国未来4０年内的各个年龄段的人口数量，通过Ｅxｃel分析预测中国未来的40年内人口的结构:
青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数,老龄化速度加快；
针对问题二
我们对所搜集到的数据用最小二乘法来分析用残差平方和来度量测量值与回归直线的接近或偏差程度。
利用MatｌAＢ程序求解,并作出养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图作出判断,并且运用ＭａtlAＢ程序预测未来养老金数额，得到结论:
未来养老金数额呈直线上升趋势,也就是说未来养老金规模将逐渐变大。
针对问题三
我们采用拟合曲线来分析未来四十年的人均收入,再根据资料取通货膨胀率k=３％ 10%１5% 20％ 条件下判断未来养老金是否能保障退休水平.
针对问题四
我们从生育问题、国民经济总值、个人税收三个方面提出未来“养老难”的可行性方案。
针对问题五
问题重述
一、分析中国未来４0 年内的人口结构和中国老龄化的速度；
二、对未来的养老金规模进行预测；
三、分析在不同水平的通货膨胀率下未来养老金是否能真正保障退休水平（收入为当时居民收入的平均收入水平或一些保证生活所需的收入水平）;
四、提出解决未来“养老难”的可行性方法；
五、如果将退休年龄从60岁推迟到6５岁将会对中国有什么利弊；
问题一
一、模型假设
1、假设人口的出生率与死亡率不随时间段ｋ变化,只与年龄组有关。
２、时间以年为单位,年龄按周岁计算，最大年龄。
3、较短时间内,平均年龄变化较小，可以认为不变。
4、不考虑移民引起人口总人数的变动.
二、符号说明
１、表示年份（表示规定的初始年）
2、用表示第年岁（指满岁但不到岁）的人数，
， （设为最高年龄）
3、表示第年岁女性生育率（每位女性平均生育的婴儿数）,育龄区
4、表示岁人口的女性比
5、表示第年所有育龄女性平均生育的婴儿数
6、表示岁人口的死亡率
７、表示岁人口的存活率
三、模型建立与求解
1、模型准备
模型主要考虑女性人口数，鉴于男女人口数有一定的比值（可以预测出来），则由女性人口可以得之总人口数，将女性按年龄顺序分成若干组,假设每一组的妇女有相同的生育率和死亡率,并且假设最大寿命为90岁（90岁以上按９0岁计算）.以年为区间，其中15~49岁年龄段的女性有生育能力。
下面建立模型来描述在时刻的性态。
第０年龄组在时间的人数为这1年内出生并存活的人数,即
．.．．。
．..。
。
...。
..。
。
。
。
.。
。
。
．．....。
.。
..。
。
。
．．。
。
。
．。
．。
.
（1）
设在年龄组的人数均正比于前一年龄组在时间的人数，即对
．．．．．．．．．．。
．．．.．..．．.．．．．．．．.．．...．。
.．.。
．．.．．．．.
（2）
其中,表示第个年龄组中至时存活下来并进入年龄组的的人的比例。
用矩阵记号，人口增长模型可以表示为
……………………………………………………（３）
其中
此模型可以用递推的方式预测各年龄组的人数，进而对人口总量及其年龄结构进行预测,由于人群中只有岁的妇女有生育能力，而最大寿命为90岁,则矩阵中,显然有
．.。
。
．．．．．.．。
。
。
.。
．。
。
。
。
．..。
。
．。
。
。
。
．．。
．．．．．（4）
下面确定动态矩阵的表达式即确定向量，；
1，确定
经分析计算得
。
。
.。
.。
．。
．．。
....。
．．.．．．.．。
．。
．．．.．。
。
。
．．。
。
。
。
（5）
其中
所以将各个年龄值带入即可求得.
2,确定
分析计算得
综合以上的1，2即可求得矩阵关于的函数。
用Mａtlaｂ编程（附录1-1）计算2010到2０５１年的人口总数及各年龄段的总人数（附录1-2），由计算得到的数据通过exｃｅl工作表分析整理数据得到2010－２0５2年的不同年龄阶段（包括男女）总人数预测折线图（图1）与人口结构预测图（图２）及高龄人口占总人口比例趋势预测图（图3）
图1：
图2
通过不同年龄阶段（包括男女）总人数预测折线图（图１）可看出青年人数从２010年的4.57亿增加到20３2年3.52亿的人口数量此时达到最高峰，之后人口数量开始下降，到205０年数量达到3.10亿,总体来说达到平稳状态。
中年人的人口数量发展趋势与青少年的类似从2010年的5。
59亿增加到2030年的6．86亿达到最高峰此后开始下降,到２050年数量到达5．4７亿，说达到平稳状态。
总体来看青年人与老年人的数量在中国未来的４0年内总体保持平衡状态.总的看青年人与中年人的人数总量发展平稳先增后减最终平稳。
通过人口结构预测图（图２）可看出2010年各个年龄阶段的人口总数相对平衡而在之后的几年里老年人的人口数量将会有明显的增加，20５0年人口将达到4。
37亿.
综上分析可得结论
中国未来的４0年内人口结构为:
青少年与中年人的数目相对平衡，而老龄人占大多数，也就是说中国在未来的40年内将进入老龄化社会
图3：
分析高龄人口占总人口比例趋势预测图（图３）可得到以下结论:
局部分析可看出20１０年（8。
0%）到2０３2年（１5.2％）65岁及６5岁以上的人口占全国人口总数的比例从呈增长趋势,但2033年（15．4％）到2０35年（15．7％）这几年６5岁及65岁以上的人口占全国人口总数的比例增长速度相对前年来说呈稳定状态。
2036（１６。
２％）年到２0５0年（24。
５%）年增长速度明显加快，205０年以后增长稳定下来,也就是说在未来的４0年内65岁及65岁以上的老龄人口会越来越多
分析60岁及60岁以上的人口占全国人口总数的比例可知从2010年（11.５％）到202６年（18。
4％）呈增长趋势2027年（18．9％）到2030年（19。
５%）呈稳定增长状态,但以后的几年也就是说从２0３1年（2０。
1％）到２０5０年（３0。
４％）增长速度明显加快也就是说在未来的40年内６0岁及60岁以上的老龄人口会越来越多.
综上分析可得结论：
中国在未来的4０年内老龄人口占全国人口总数的比例呈增长趋势，也就是说中国的老龄人数量将会持续的增加,中国在未来的40年内将会进入老龄化社会。
问题二
通过查找统计年鉴等各种资料，找出中国已公布的历年养老金规模如下表:
年份
养老金规模
养老金基金支出
养老金累计结余
19９１
215。
7
17３。
1
14４．1
19９2
365。
8
3２1。
９
220.6
１993
５0３。
5
4７０。
6
258。
6
1９9４
７０７.4
661。
1
3０4。
8
1９95
９５0。
1
847.6
42９.8
１９9６
１171．8
10３。
9
５78．6
199７
１337．９
1251.３
6８2．8
199８
１45９
1511.6
587．8
1９99
1965.1
1９24。
9
73３.5
2０00
2２78。
５
2115．5
9４７。
１
2
。
3
10５４．1
2002
３１７１.5
2842.9
1608
2
。
1
２２０5。
５
2004
42５8.４
３502．1
２975
2０05
5093。
3
404０。
３
4０41
２006
６3０9。
8
48９6.7
5４88。
9
200７
7834。
2
59６4。
9
7３91．4
20０8
974０。
２
7389。
6
9９31
２00９
114９0.8
88９4．4
1２５26．1
２0１0
１3４1９。
５
１0554。
９
153６5.3
单位：
亿元
图1
现将1991——20１0年的养老金累计结余金额随时间的数据转换成图标形式如下：
图4
模型建立与求解:
模型假设:
1、假设在未来的预测中社会安定，
2、假设
一回归分析：
如果把年代作为横坐标，把历年养老金额作为纵坐标,将这些数据放入直角坐标系中，则得图4，把这个图称为散点图。
从图４可以看出，1991-—20０0年，养老金累计结余金额缓慢上升,变化趋势不是很明显，但从２000年开始,养老金累计结余金额迅速上升,且数据点基本落在一条呈上升趋势的直线附近。
对此,我们分析2０00年之后的数据，从20００年往后变量Ｘ（设X=当时年代—20０0）与Y的关系大致可看作是线性关系,即它们之间的相互关系可以用线性关系来描述。
但是由于并非所有的数据点完全落在一条直线上，因此Ｘ与Y的关系并没有确切到可以唯一地由一个Ｘ值确定一个Y值的程度。
其他因素，诸如疾病灾荒、经济危机、人口迁徙、人口出生率或增或减、人口死亡率或增或减等都会影响养老金Y的结果.如果我们要研究X与Y的关系，可以作线性拟合
……………………………………………………………
（1）
我们称（１）式为回归方程，与是待定常数，称为回归系数。
从理论上讲,
（1）式有无穷多解,回归分析的任务是求出其最佳的线性拟合。
二、最小二乘法
所谓最小二乘法,就是选择和使最小，即用最小二乘法得到的回归直线是在所有直线中与测量值残差平方和最小的一条。
由（２）式可知是关于，的二次函数,所以它的最小值总是存在的。
下面讨论和的求法。
三、正规方程组
根据微分方程中求极值得方法可知，取得最小值应满足
（３）
将（２）式与（3）式结合，可得
（4）
则（4）式称为正规方程组.解这一方程组可得
（5）
其中
（6）
式中,称为的协方差之和,称为的协方差之和。
则改写
（1）式可得
或
由Ｍatlab编程（见附录2-1）求解得出和 的值,分别是
并画出了养老金累计结余金额实际测量值与回归值的拟合曲线图：
现在我们来建立养老金金额与时间的回归关系式:
因此,在未来４0年内的养老金金额符合上述回归关系式,并顺从拟合曲线图的发展趋势。
现根据上面的预测公式将20１１——2０50年的养老金规模作尝试预测，用Matlab编程（见附录2—１）得出未来4０年的养老金额，预测结果如下表：
20１1--2050年养老金规模预测数据
年份
金额（亿元）
年份
金额（亿元）
2011
7６9.９
2031
2１７2。
2
2０1２
84０。
０
203２
2242。
3
2０13
9１0。
2
2033
231２。
4
2014
980．3
2034
２３82．5
2015
１０50。
4
2035
2４5２.6
2０16
1120.５
2036
2522.７
20１7
1190。
6
２037
２５92。
９
2０１８
1260。
７
2038
2６63.0
２01９
１330.8
２039
２733．1
2020
1４00.9
２０４０
2８0３．2
20２1
1471。
1
20４1
２873。
3
2022
15４1.2
2０４2
2943．４
20２3
1611.3
2043
3０13。
５
2０24
1681.4
2０4４
308３。
6
２025
17５1。
5
2０45
3153。
8
2０26
18２１。
６
2046
32２３。
9
2０２７
1８９1。
７
２047
3２94。
0
20２8
19６1。
8
２04８
336４．1
２029
2032.0
2０４9
3434．２
２030
21０2。
1
２050
350４．3
将其未来40年内的养老金额数据用Exｃel绘制成折线图如下:
由问题1得出中国老龄化的速度在逐年上升,并根据养老金规模预测图可看出未来养老金数额呈直线上升趋势,也就是说未来养老金规模将逐渐变大。
问题三：
一、模型的准备：
通货膨胀是指商品和劳动的货币价格总水平持续明显上涨的过程，通常用消费物价指数（CPI），来衡量物价上涨指数的幅度。
ＣPI指数能够迅速直接地反映居民生活价格趋势,所以常用来衡量通货膨胀。
通货膨胀对经济增长有正效应也，有负效应.
通货膨胀率是货币超发部分与实际需要的货币量之比,用以反映通货膨胀、货币贬值的程度；而价格指数则是反映价格变动趋势和程度的相对数。
二、模型建立：
近２０年来我国经济发展迅速,状态良好,人民生活水平显著提高，但经济快速发展的同时也出现了通货膨胀的现象,根据网上查到的数据，得到近20年的通货膨胀率折线图，
在通货膨胀的影响下，根据问题一的人口数据预测和问题二的养老金规模，用Eｘcｅｌ表计算得出6０岁以上的人均养老保险金额.通过拟合
预测2０１1—２05０年的人均收入水平，再在不同通货率水平下根据养老金规模预测与人居收入水平解决该问题。
三、模型求解
根据附录（３—１）给出的1991－20０9年的人居收入数据，通过Matlab软件程序附录（3－2）计算出拟合的四次函数（得到拟合数据图像）：
的参数
得到拟合函数,，预测出２011－２0５0年所对应的人均收入（附录（3—1））
根据查阅网上资料通货膨胀率的高低划分以下三种类型:
1、温和的或缓行的通货膨胀
２、疾驰的或奔腾的通货膨胀
3、恶性通货膨胀
故取通货膨胀率k=3% 1０％1５％20%，计算在此情况下的养老保险金额（附录3-3）通过Maｔｌaｂ程序（附录3－4）得到，并与人均收入水平对比，
得出结论:
问题四:
通过以上的各个问题的分析,我们已经知道了，中国在将来的40年
内老龄人口急剧增加,人口结构已成定局，且根据网上资料知道中国养老金个人账户缺口巨大,而中国养老金的财务风险也决定着制度改革，因此解决未来“养老难”的问题刻不容缓。
影响养老金金额的因素很多如生育问题、国民经济总值、个人税收等等。
针对生育问题:
由问题一知：
在未来似是年内无论是10-3０岁人口数量还是3０－60岁的人口数量都是呈下降趋势的，因此解决“养老难"问题必须对计划生育政策-一胎化政策做出改动,应适当放宽计划生育政策，部分地区鼓励多生.尽量避免两个劳动者赡养一个老人的局面。
针对国民经济总值：
由问题三知在通货膨胀条件下,未来养老金在一定程度上不能保障退休水平.因此需要提高国民经济总值来提升未来养老金额,完善医疗保障制度，改善社会基金收益低的现状.
针对个人税收问题:
提高个人税收抑制通货膨胀，均衡经济发展解决“养老难”问题.
问题五
如果将退休年龄６0岁推迟到６5岁对国家既有利有弊。
首先我们来谈谈他的利处:
中国人口急剧增长，尤其是老年人是数量,如果推迟退休的年龄，不仅有可以缓解养老金压力进而可以缓解地方政府的财政压力而且可以充分发挥老一代在企业中的经验作用,挖掘人力资源的利用率。
为国家创造更多的财富.
其次我们来谈谈他的敝处：
中国的情况实在特殊，在人口和劳动力这方面,国情确实是特殊的。
因为中国在面临老龄化社会挑战的同时，还面临着另一项挑战，即庞大的新增劳动力就业问题。
推迟退休年龄，势必影响到新增劳动力的就业,而后者有没有办法通过迅速增加的新工作岗位予以消化，如果失业成为问题，那就不仅仅只是经济问题，同时也是稳定问题了.我们当前强调的“稳增长",虽然稳的是GDP增长速度，但深层次里更是在“稳就业"
参考文献
【1】姜启源 数学建模 北京 高等教育出版社 20０0
【2】张志勇，杨祖櫻 MATＬＡB教程R2０10ａ 北京航空航天大学出版社 2０１0
【3】王培辉，袁薇 《我国通货膨胀率的最优目标区间几何?
》
【4】国家统计局 中国统计年鉴-—２011［EＢ/OL] 中国人口
【５】社科院 :
中国养老金个人账户缺口高达1．７万亿［N］ 东方早报 ２012
【6】杨燕绥 中国“未富先老”养老困境待破解［Ｎ］ 南方都市报 ２011
【７】郭慧,张天巍 Ｌeｓlｉe人口增长模型研究 科技信息报 第23卷 第６期：
163—165， 2007
【8】葛伟 我国大陆省份人均生活水平分析 承德民族师专学报 第2３卷 第2期 2003
附录（1—１）：
计算程序
ｐ=0．4８73034； %女性占总人口的比例
N=［ ０。
759３ 0．61419９881８９４27０ 0。
61416467１541578 ０。
72727950２９088４4 0．767４ ０.8148 0。
8994 0。
８７6６７9９99５61010 0．９6441258145８641 0。
9９9656320578９４５ 1。
1２４2094３45８866 1。
3125278721879６ 1.２64 １.２63 1.338７5５0３４5886６ １。
1６7３22８8６６3331 1.０06 0.９３98 0。
9２74 1。
961 ０。
9９2４ 0。
８9５31297926６６13 0。
9546６48１81０５7３0 0.943423547６４6164 0.9253 1。
96９ 1。
9３4 1.1７1２86866５2136 1.25328３04８109８0 1.264524３185６９3６ 1.３3744706028932 １。
395799587２30１0 1.31855474398５78 1。
４0 １．99６ 1.28673132925925 1.2８2466０９08837６ 1。
2993７40３３３2390 1。
46116３356607６5 １.６99 ０．679４３7０58743675 0。
8２545244０30４113 0.73716333８7８31１０ ０.９56５30696７81966 1．372 0。
９622 １。
827 ０。
9744 0。
8941 0。
86729105１271823 ０.８４８8631８0039435 0.77３85６5８５９90284 0．7254 0．636４8５4095798６9 ０。
64668475387483９ 0。
５８2884219932561 0.5２9２12６0957９８70 0。
５41９ ０。
4924624981731６9 0。
4７8427１51２71８23 0．50０7 0．4772 0。
4４1444８１732９546 0。
４６４78５827６8５5９9 ０。
44８7 0。
4４987035644９850 0.４11１４９４2７６８5599 0。
３996759３４690457 0.4０３8 0。
3４４5331６3454７０8 0.351６4９34352214７ 0。
3２2895５3６51728９ 0.２７６178３044018４3 ０.2８４37１620986570 0。
２4781852１762754 0.2192９6９383441２０ 0.2２2７3８9１６58４７2７ ０.4424 0．１７2５7970５１78０2７ 0.67０１ 0．８027 0.11５466１1６5８4727 0．１304 0.０000０ ０。
00000 0。
９696３ ０.05266 0。
00000 0.０30３7 0。
80266 ０．10221］;
N0＝N'/１０; ％第0年（201０年）的女性各个年龄段的人口数（千万）
N0０＝Ｎ0／1０ ％把单位化成亿（人）
A=ｅye（90）；
ｂ=［0.９74９06966 ０。
99９3212３1０．9９772433 0.99924７６16０.99９5６７4180.99９18０6630．999８8794８0。
99938７5960.99９61858６0.9999８5672 0.９993８9434 0．9997２43540．9９98０１7960。
9９96276２６0。
9９97０47950。
99963９６86 0。
999７２8４６20．99997４5３3 0.999173327０．９989５41180.99９441０670.9９9357392０.９9９290６75０。
998999１76 0.９99881６040。
998８9634７0.9９83559３９０.999１3５3３90。
999０７45２70.9988７265２0。
99918０７94 0。
9９8918159 0．9990461120。
99９０42354０．999396027０．998624９72 0.９982５2７160.99959７8550。
9987１0945 ０.999０03274 0.9９94４34４40．9９91４１4150。
9987７2１0１0。
99894０50５0．997９0500５0．998374５6２0.997７8377４0.９9７５96666０.９973449０60．９96９5４499 0。
99６６697840．9９60３０759０.９950066３90.9961574８８0．9９４６４7７440。
995７７9435０。
99５65231３0．９957771３ 0．99２4７７8060.9９４969５640.98８13０5３70.9８9２8４8680．9887０396１０。
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