我们把质数从小到大写出来：
2,3,5,7,11,13,17......其中最小的满足上述条件的4个数是3,5,11,13，
那么这个最小的数是16=3+13=5+11。
5、一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？
商最小是多少？
答案：
最大100；最小109
19
设三位数为abc=100a+10b+c。
那么，它与其各位数的商为100a+10b+c。
a+b+c
100a+10b+c≤100a+100b+100c=100。
当且仅当a≠0,b=c=0时，等号成立。
例，
a+b+ca+b+c
100。
100a+10b+c
=10+90a-9c=10+
9（10a-c）
，a=1，c=9时分子有最小值，b=9时，分
a+b+ca+b+ca+b+c
母有最大值。
那么，当a=1,b=c=9时，商最小，为109。
例，199。
19
6、
（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？
（2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式口+口中，使算式的结果小于1。
这个结
口口
果最大是多少？
答案：
（1）1；
（2）71
7272
（1）分子相同的情况下，分母越大，分数越小。
两个分母是一位数的最简真分数之差，
分母最大是8⨯9=72，那么这两个分数的差最小是1-1=1。
8972
（2）在形如n-1的分数中，分母越大，分数和1约接近。
又n最大是72，因此这个结果最
n
大是7+1=71。
8972
7、如图，等腰直角三角形ABC中，CA=CB=4厘米。
在其中作一个矩形CDEF，矩形CDEF
的面积最大可能是多少？
答案：
4平方厘米
矩形CDEF的长和宽之和是一固定值：
4厘米。
那么长和宽相差越小，面积越大。
因此矩形面积最大为2⨯2=4平方厘米。
8、如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形。
这个八边形的边长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
5
43
2
1
7
6
8
答案：
70先把八边形补成一个矩形。
那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大。
矩
形的周长为1+2+3+4+5+6+7+8=36=4⨯9如果4条边的长度都是9，那么仅有
1+8=2+7=3+6=4+5，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立。
那么让
36=2⨯8+2⨯10。
这时可让上下两条边为8：
8=1+2+5，左右两边为103+7=4+6。
此
时大矩形的面积为8⨯10=80。
此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面积要尽量小，分别是1⨯4=4；2⨯3=6。
于是八边形的面积最大为80-4-6=70。
各线段长度如图。
9、在4⨯4的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。
请问：
最多可以将多少个方格染成黑色？
答案：
4个
把4⨯4的方格表分成4个2⨯2的小方格，那么为了使任意两个黑格都没有公共顶点，
每个2⨯2的方格中，只能有1个黑色方格，即最多可以将4个黑色方格染成黑色。
1
1
1
1
例如（写1处染黑色）。
10、古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦。
他精通数学、物理，聪慧过人。
有一天，一位将军向他请教一个问题：
如图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
答案：
在下图中的C地饮水
A
B
QPl
C
先把甲乙两地和河边分别抽象为如图的A,B两点和直线l。
从B点做关于直线l对称的C点。
那么现在，在直线l上的任意一点到B点的距离，和到C点的距离相等。
那么直接连接AC交直线l于点P，P点就是我们所求的饮马地点。
要证明这个结论很简单，只需在直线l上任取一点Q，那么AQ+CQ>AC，三角形两
边之和大于第三边。
拓展篇
1、如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架。
这个长方体的体积最大可能是多少？
答案：
294立方厘米
设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，那么4（a+b+c）=80⇒a+b+c=20。
我们知道，和相同的情况下，差越小，积越大。
因此体积最大时，a,b,c=6,7,7，体积为6⨯7⨯7=294
（立方厘米）。
2、把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。
问：
这个乘积最大可能是多少？
答案：
162
我们要把14分成若干个自然数的和，并使他们的积尽量大，那么首先要尽量把所有数分小，但又不能太小。
那分到哪个数最划算呢？
我们考虑，5可以分成2和3；6可以分成3和3；7可以分成3、2、2……显然，这些自然数中不能有超过4的数。
而显然也不能有1。
那么我们就需要尽量分成2,3,4这几个数。
对于这3个数，哪个最划算呢？
我们注意到4⨯4⨯4=64<3⨯3⨯3⨯3=81，3比4划算，
2⨯2⨯2=8<3⨯3=9，3比2划算。
因此要让积最大，我们应该尽可能多的分成3，不足3的用2。
如果最后剩下4怎么办呢？
因为4>3⨯1，因此剩4的时候我们不分。
那么对于这道题，14=3+3+3+3+2，乘积最大为3⨯3⨯3⨯3⨯2=162。
3、从1,2，…，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这个结果。
口÷口⨯（口+口）-（口⨯口+口-口）
答案：
9÷1⨯（8+7）-（2⨯3+4-6），计算结果为131
a÷b⨯（c+d）-（e⨯f+g-h），要让结果最大，首先是a÷b⨯（c+d）中，乘数尽量大，除数尽量小。
那么b=1;a,c,d=7,8,9。
和一定时，差越小积越大，那么a=9;c,d=7,8。
a÷b⨯（c+d）=9÷1⨯（7+8）=135。
接下来，应该让e⨯f+g-h尽量小，那么乘数尽量小，加数尽量小，减数尽量大。
e⨯f+g-h=2⨯3+4-6=4。
于是
a÷b⨯（c+d）-（e⨯f+g-h）=9÷1⨯（8+7）-（2⨯3+4-6）=131
4、有13个不同的自然数，它们的和是100。
其中偶数最多有多少个？
最少有多少个？
答案：
9个；5个
0+2+4+6+......+18=90还剩下10，无法表示为3个不同奇数的和，那么最多有9个偶数。
我们去掉一个偶数18，那么剩下28可以表示成4个不同奇数的和28=1+3+5+19，
那么最多可以有9个偶数。
1+3+5+......+19=100，还差3个偶数。
那么我们至少去掉2个奇数，换成5个偶数。
可以去掉1和19，那么剩下5个偶数的和是20，0+2+4+6+8=20。
因此最少有5个偶数。
5、将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得的
5个乘积相加。
请问：
所得和数的最小值是多少？
最大值是多少？
答案：
312；323
A
EB
DC
如图。
要让乘积的和最小，那么10两边的数要尽量小。
令A=10,B=6,E=7，那么剩下8,9，6⨯8+7⨯9=111;6⨯9+7⨯8=110，因此让C=9,D=8。
乘积的和最小为：
10⨯6+6⨯9+9⨯8+8⨯7+7⨯10=312
要让乘积的和最大，那么10两边的数要尽量大。
令A=10,B=9,E=8，那么剩下6,7，
6⨯8+7⨯9=111;6⨯9+7⨯8=110，因此让C=7,D=6。
乘积的和最大为：
10⨯9+9⨯7+7⨯6+6⨯8+8⨯10=323
6、有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。
这5袋糖块总共最少有多少块？
答案：
103块
如果让任意3袋都刚好有60块，那么可以让每一袋都有20块，那么共有100块糖。
现
在我们想任意取3袋的总块数都超过60，那么只需在其中3袋中再加入1块糖。
那么此时5袋中共有103块糖。
7、已知算式9984-8-8--8的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能是多少？
答案：
9872
9984恰好能被8整除，那么我们要求的是能被8整除的各位数字不同的最大四位数。
9876≡4（mod8），那么9872满足条件。
8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且要求乘积最大，请写出这个乘法算式。
答案：
954⨯873⨯621
要让乘积最大，首先3个三位数的百位数字必须尽量大。
1+2+3+......+9=45=9+18+18要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位和为9，那么这个数最大是621。
剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和
954。
这个算式是：
621⨯873⨯954
9、所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
答案：
11
所有不小于8的偶数，都能表示成两个偶合数之和；所有不小于13的奇数，都能表示
成9和一个偶合数之和。
那么最大的不能表示为两个合数之和的自然数是11
10、把1至99依次写成一排，形成一个多位数：
12349899。
从中划去99个数字，剩下的数字组成一个首位不是0的多位数。
请问：
剩下的数最大可能是多少？
最小可能是多
少？
答案：
最大9999975859606162979899；最小100000123450616263979899
要让剩下的数尽量大，我们要让前面有尽可能多的9。
1-9共9个数字，有1个9；以
后每10个数，20个数字中有1个9。
那么1-49中共89个数字，有5个9。
我们还可以再划去15个数，那么划去505152535455565下一个最大的数字是7，剩下的数最大是
9999975859606162979899。
要让剩下的数尽量小，第一位是1，之后有尽可能多的0。
1-10共11个数字，有1个
1,1个0；以后每10个数，20个数字中有1个0。
那么1-50中共91个数字，有1个1，5
个0。
我们还可以再划去14个数，51-60中我们可以留下6个数字，那么选择123450是最
小的。
剩下的数最小是100000123450616263979899。
11、邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米。
如果邮递员从邮局出发，必须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
答案：
26千米
一笔画问题。
图中有2个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出。
现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重。
连接两个奇点，那么现在总路线多了1千米，奇点个数为0个，可以一笔画出。
那么总路线为各条线段长度加起来，再加1，共26千米。
12、如图，有一个长方体形状的柜子。
一只蚂蚁要从左下角的A点出发，沿柜子表面爬到右上角的B点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？
一共有几条最短路线？
请在图中表示出来。
A
答案：
5；4条；表示略
B
B
3
31A
如图，把柜子展开，那么根据两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边），最短距离为5。
共有4条这样的路线。
超越篇
1、一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此可输入77,707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算。
为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？
答案：
21次
从题目要求可知，只用“7”、“0”和“+”键来显示“222222”，而222222÷7=31746。
这道算式说明，如果只用“7”键连续加31746次，就能得到222222。
但这样的次数太多了。
况且，“0”键也没有发挥作用。
有没有更好的解决办法呢？
由题目可得我们需要尽量少按“7”，而按“0”的次数并没有限制，那么我们发现
222222=3⨯7⨯104+1⨯7⨯103+7⨯7⨯102+4⨯7⨯101+6⨯7⨯100，这属于位值原理的灵活运用。
因而我们发现，只需要按3+1+7+4+6=21次“7”然后把它们都加起来就可以了。
2、用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE,再用0、2、4、6、
8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ.请问：
算式ABC⨯DE-FGH⨯IJ的
计算结果最大是多少？
答案：
60483
要使ABC⨯DE-FGH⨯IJ的结果最大，那么要使ABC⨯DE的值最大，FGH⨯IJ的值最小。
对于位数不同的两数进行赋值，首先应把位数补齐，再从高到低赋值。
要使ABC⨯DE的值最大，即让ABC⨯DE0每位数字的分配方法如下：
百位尽可能大，A,D=7,9；十位两数次之，B,E=3,5；个位最小C=1。
于是，要让两乘数的差尽量小，那么，ABC⨯DE0=751⨯930=698430，ABC⨯DE=751⨯93=69843。
FGH⨯IJ的值最小，即让FGH⨯IJ0每位
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