广东省清远市届高三上学期期末考试数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省清远市届高三上学期期末考试数学理试题Word版含答案
清远市2015届高三上学期期末考试
数学（理）试题
第一卷（选择题40分）
一、选择题（40分）
1、图中阴影部分表示的集合是（）
A、 B、 C、 D、
2、已知a，bR，i是虚数单位，若a＋bi与2－i互为共轭复数，则（a＋bi）2＝（ ）
A、5－4i B、5＋4i C、3－4i D、3＋4i
3、已知，且，则a＝（ ）
A、－1 B、2或－1 C、2 D、－2
4、阅读如图的程序框图，若输入m＝2，n＝3，则输出a＝（ ）
A、6 B、4 C、3 D、2
5、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A、y＝x＋1 B、y＝－x2 C、y＝ D、y＝x｜x｜
6、设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且b⊥m，则“a⊥b”是“⊥”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
7、已知实数x，y满足约束条件，若的最小值为3，则实数b＝（ ）
A、 B、 C、1 D、
8、设定义在（0，＋）上的函数，则当实数a满足时，函数y＝g（x）的零点个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
第二卷（非选择题，共110分）
2、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题（9～13题）
9、图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿＿
10、在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿＿
11、某几何体的三视图如下图所示：
其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿＿
12、已知圆C：
，直线：
L：
x＋y＋a＝0（a＞0），圆心到直线L的距离等于，则a的值为＿＿＿＿
13、如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，该椭圆被称为“黄金椭圆”，其离心率为，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线的离心率e等于＿＿＿＿＿
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.（几何证明选讲选做题）如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90º，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则∠ACB＝＿＿＿＿＿＿
15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为＿＿＿＿＿
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且,，判断△ABC的形状，并求三角形ABC的面积.
17.（本题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右：
（1）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；
（2）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190cm之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。
18.（本题满分14分）在等腰直角△BCP中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A是边BP的中点，现沿CA把△ACP折起，使PB=4，如图1所示。
（1）在三棱锥P-ABC中，求证：
平面PAC⊥平面ABC;
（2）在图1中,过A作BC的平行线AE,AE=2,过E作AC的平行线与过C作BA的平行线交于D,连接PE、PD得到图2，求直线PB与平面PCD所成角的大小.
19.（本题满分14分）已知双曲线的焦点为（0,-2）和（0,2）,离心率为，过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点（A、B在轴的上方）.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）探究是否为定值，若是求出该定值，若不是定值说明理由.
20.（本小题满分14分）
设数列的前项和为，且满足,．
（1）求；
（2）数列的通项公式；
（3）设,求证：
．
21.（本题满分14分）设函数.
（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；
（2）①若是正实数，求使得关于的不等式在上恒成立的取值范围；
②证明：
不等式.
清远市2015届上学期期末教学质量检测高三理科数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
B
A
D
B
A
C
第二卷（非选择题，共110分）
3、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡的横线上）
（一）必做题（9～13题）
9.110.11.21012..313.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
14.（几何证明选讲选做题）30°15.（极坐标与参数方程选做题）1
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答题应写出必要的文字说明，推理证明过程或演算步骤）
16．解：
（1）＝………1分
=………2分
………3分-1……4分
，故其最小正周期是………5分
（2）∵…………7分
又∵0<2<2π，∴……8分
∴，………9分
∵B=，∴A=，∴△ABC是直角三角形………10分
由正弦定理得到：
=，∴………11分
设三角形ABC的面积为S,∴S=………12分
17.解：
（1）由统计图知，
样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35（人），……2分
样本容量为70，……3分
所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝＝0.5．……4分
故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率Ｐ1＝0.5．……5分
（2）由题意可知=0，1，2……7分
……8分……9分
……10分
的分布列为
X
0
1
2
……11分
的期望为。
……12分
18.解：
（1）在三棱锥P-ABC中，依题意可知：
…………1分
∵PA=AB=,PB=4,…………2分则…………3分
又ＡＢ，则PA⊥平面ABC…………5分
∵平面PAC∴平面PAC⊥平面ABC.…………6分
（2）方法一：
由
（1）知,又，
∴平面PAC…………7分∵AB∥CD∴平面PAC…………8分
过Ａ作于Ｈ，则…………9分
又∵∴…………10分
又AB∥CD，AB平面，∴AB//平面，
∴点A到平面的距离等于点B到平面的距离.…………11分
∵在Rt△PAC中，PA=2，AC=2，PC=4
∴PC边上的高，此即为点A到平面PCD的距离…………12分
设直线PB与平面PCD所成角为，则，…………13分
又，所以即直线PB与平面PCD所成角的大小为；…………14分
方法二：
由
（1）知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，0），B（2，0,0），C（0，2，0），P（0,0，2）……9分
（解法一）∵AB∥CD，∴，
又AC∥ED∴四边形ACDE是直角梯形
∵AE=2，AE∥BC，∴∠BAE=135°，因此∠CAE=45°.…………10分
所以D（-，2，0）.
∴，…………11分
设是平面PCD的一个法向量，则
∴解得取得…………12分
又设表示向量与平面PCD的法向量所成的角，
则…………13分
∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分
（解法二）∵AB∥CD，∴…………10分
∴，…………11分
设是平面PCD的一个法向量，则即
∴解得取得…………12分
则…………13分
∴即直线PB与平面PCD所成角的大小为.…………14分
19.解：
（1）依题意可设双曲线的标准方程为（）………1分
∵c=2，………2分………3分∴………4分
∴双曲线的标准方程为.………5分
（2）是定值2，理由如下：
………6分
设直线AB：
（没有b>0，不得分这1分）………7分
由得
………8分
解得………9分
设
双曲线渐近线方程：
与联立，………10分
得，…11分
，………12分=3………13分
∴==2………14分
（没有导致情况多种的扣2分）
20.证明：
（1）∵∴……………2分
（2）∵……①
∴当时，……②（没有n≥2扣1分）
∴①-②得,………………5分
∵,∴………7分（没有验证n=1成立扣1分）
是首项为2，公比为的等比数列，………8分
（3）∵∴………10分
（或者由公式计算得，公式对的1分，化简对得1分）
………12分
（说明：
也可以）
∴
………………14分
21.解：
（1）由已知得：
，………1分
又∵函数在处有极值∴，即……2分
∴………3分
∴,当时，，单调递增；
当时，，单调递减；………4分（或者列表）
∴函数的最大值为………5分
（2）①由已知得：
………6分
（i）若，则时，
∴在上为减函数，
∴在上恒成立；………7分
（ii）若，则时，
∴在上为增函数，
∴，不能使在上恒成立；…8分
（iii）若，则时，，当时，，∴在上为增函数，
此时，∴不能使在上恒成立；9分
综上所述，的取值范围是.………10分
②由以上得：
………11分
取得：
………12分
令，………13分
则，.
因此.∴………14分
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