南京财经大学考研历年真题之高等代数考研真题.docx
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南京财经大学考研历年真题之高等代数考研真题
南京财经大学
2007年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷
考试科目：
418高等代数
适用专业：
应用数学
考试时间：
2007年1月21日下午14:
00-17:
00
注意事项：
所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
1.（15分）设及为三个多项式,证明
2.（15分）计算行列式
，
其中
3.（15分）证明方程组
有解的充分必要条件为有解时,求其一般解.
4.（20分）已知二次型令
其中k为实数,A为的矩阵,E为3阶单位矩阵.
（1）证明存在正交矩阵Q同时将A与B化为对角形.
（2）求出化二次型为标准形的正交变换,并
确定k为何值时,为正定二次型.
5.（25分）设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵.证明
（1）若AB=0,并且秩（A+B）=n,则秩（A）+秩（B）=n.
（2）若A2=A,则秩（A）+秩=n.
（3）若A2=A,则A的特征值为0或1,且A可对角化.
6.（10分）证明若A为正定矩阵,则对任何实向量x,y,有
且等号成立的充要条件为x,y线性相关.
7.（30分）设为数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,在V的某个基下的矩阵为A.如果A的最小多项式为P上一次互素因式之积.
（1）证明为V的-不变子空间,此处I为V的恒等变换.
（2）证明V可分解为Vi的直和,即
（3）证明A可对角化,并且题中关于A的最小多项式的条件也是A可对角化的必要条件.
（4）若P为复数域,则A为复矩阵,关于A可对角化将有何相应结论?
8.（20分）设为数域P上n维线性空间V的一个线性变换.
（1）证明的充要条件为秩（）=秩（）.
（2）若则在基下的矩阵为
且1的个数为的秩.
南京财经大学
2008年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷
考试科目：
818高等代数
适用专业：
应用数学
考试时间：
2008年1月20日下午2:
00-5:
00
注意事项：
所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
2.（15分）设为两个非0多项式,证明存在正整数N,使对任意大于N的两个正整数n,m,都有
2.（15分）计算阶行列式
.
8.（20分）设
为A中划去第i列剩下的方阵的行列式.
（1）证明为的一个解.
（2）若秩则的所有解向量均为C的线性组合.
9.（20分）证明：
（1）对任何实矩阵当且仅当
（2）设为同阶实对称矩阵,则当且仅当
5.（20分）证明：
（1）若A为正定矩阵,则存在正定矩阵P,使得
（2）若矩阵A,B同阶,且A正定,B半正定,则AB的特征值均为非负实数.
6.（20分）设X为数域P上线性空间V的一个子集,称V在X上自由,若对P上任一线性空间W,及任一映射,均存在线性映射使f在X上的限制此时也称V是自由的.（f是线性映射指:
f是V到W的一个映射,且保持向量加法及数量乘法运算）.证明:
（1）P上任一n维向量空间是自由的.
（2）对无穷维线性空间上述结论是否成立?
若成立,给出证明;若否,给出反例.
7.（20分）设为数域P上n维线性空间V的一个线性变换,均为P上的多项式,且记
证明
（3）U和W均为-不变子空间.
（4）若g（x）与h（x）互素,则
8.（20分）设V为数域P上的n维线性空间,求证:
（1） V的所有线性变换构成的线性空间L（V）是维的.
（2） 若AL（V）,则存在次数不超过的P上的多项式使
（3） A可逆当且仅当有一常数项不为0的多项式使
（要求:
在证明
（2）和（3）两小题时,不允许直接使用Hamilton-Cayley定理）
南京财经大学
2009年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷
考试科目：
818高等代数
适用专业：
应用数学
考试时间：
2009年1月11日下午2：
00—5：
00
注意事项：
所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
1.（15分）计算阶行列式
2.（15分）设为数域P上的两个多项式,为给定的正整数.若则
10.（20分）已知方程组
（1）求方程组（I）的通解；
（2）确定的值，使方程组（I）与（II）同解.
11.（25分）设A,B为n阶方阵,E为n阶单位矩阵.证明:
（1）若AB=0,则秩（A）+秩（B）n.
（2）若A2=E,则秩+秩=n.
（3）若A2=E,则A的特征值为1,且A可对角化.
5.（20分）设为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵.证明存在可逆线性变换同时化二次型及为标准形，此处
6.（25分）设其中表示数域上的矩阵空间.证明：
（1）是的子空间；
（2）设求的一组基和维数.
7.（30分）设为线性空间V的一个线性变换,且证明：
（1）的特征值为0或1；
（2）若表示对应特征值的特征子空间，则；
（3）,且只有特征值0当且仅当为零变换.
南京财经大学
2010年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷
考试科目：
818高等代数
适用专业：
应用数学
考试时间：
2010年1月10日下午2：
00—5：
00
注意事项：
所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效.
一、（15分）设,,为互不相同的数，证明为的次多项式，并求出其所有根。
二、（20分）设为阶矩阵，为维列向量，证明：
的解全为的解当且仅当可由的行向量线性表示。
三、（20分）若阶矩阵为正定矩阵，为半正定矩阵，则对任意，，并且等号成立当且仅当或。
四、（30分）设为数域上的多项式，且，，若为上线性空间的一个线性变换，并且，则
（1）均为的不变子空间；
（2）。
五、（25分）设阶复矩阵的特征值为，为的次多项式，证明：
（1）的特征值为；
（2）。
六、（25分）已知二次型可经正交替换化为，其中，，求，的值及正交替换。
七、（15分）证明：
有理数域上存在任意次数的不可约多项式。
南京财经大学
2011年攻读硕士学位研究生入学考试（初试）试卷A
考试科目：
818高等代数适用专业：
应用数学满分150分
考试时间：
2011年1月16日下午2：
00——5：
00
注意事项：
所有答案必须写在答题纸上，做在试卷或草稿纸上无效；
请认真阅读答题纸上的注意事项，试题随答卷一起装入试题袋中交回。
一（15分）计算阶行列式
二（15分）证明：
（为奇素数）在有理数域上不可约。
三（20分）设为阶非零实矩阵，若的任一元素均与其代数余子式相等
仅有零解。
四（20分）设为实二次型，且正定，证明：
存在可逆线性变换化为规范型，同时化为标准形，并且的标准形各项系数均为的根。
特别，若也正定，则的标准形各项系数均大于零。
五（20分）设为线性空间的一个线性变换，其最小多项式，
且，则
（1）均为的不变子空间；
（2）。
六（20分）设为数域，，证明：
（1）是的子空间；
（2）的维数为。
七（20分）已知二次型的秩
为2，求：
（1）的值；
（2）正交替换化二次型为标准形。
八（20分）设向量，，，是
生成的空间。
已知的维数为2，，且，求：
（1）的值；
（2）的一个标准正交基，并求在此基下的坐标。
南京财经大学
2012年硕士研究生入学考试初试试题（A卷）
科目代码：
823科目名称：
高等代数满分：
150分
注意:
认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
一（15分）计算级行列式，其中，．
二（15分）证明：
多项式，的公因式为其最大公因式当且仅当为，的一个组合．
三（20分）设为阶矩阵，为维非零列向量，，证明：
（1）有个线性无关的解向量；
（2）的任一解均可表示为这个解向量的线性组合．
四（20分）若阶矩阵为半正定矩阵，为正定矩阵，证明存在数，使得．
五（20分）设，为线性空间的一个线性变换，对任
意，，定义，证明：
为不变子空间的充分必要条件是．
六（20分）设为数域，，且，
，，，
，证明：
．
七（20分）已知二次型，若二次型矩阵的特征值之和为1，特征值之积为，求：
（1），的值；
（2）化二次型为标准形的正交替换．
八（20分）已知均为三阶非零矩阵，，，
（1）证明：
的特征值有且仅有0和1；
（2）证明：
的属于特征值1的特征向量是的属于特征值0的特征向量（）；
（3）若，，分别是属于特征值1的特征向量，证明：
，，线性无关．
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