二元一次方程组及应用.docx

二元一次方程组及应用.docx

《二元一次方程组及应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二元一次方程组及应用.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

二元一次方程组及应用

教学讲义

教师姓名

学生姓名

上课时间

检查签名

教学目标

1.了解二元一次方程组及其解的有关概念；

2．掌握消元法解二元一次方程组的方法；了解代入消元法和加减消元法是两种不同的消元途径；

3．理解和掌握方程组与实际问题的联系以及方程组的解；

4．掌握二元一次方程组在解决实际问题中的简单应用；

5．通过对二元一次方程组的应用，培养应用数学的理念.

重点、难点

重点：

二元一次方程组的解法和列二元一次方程组解简单的应用题.

难点：

列出二元一次方程组解决实际问题.

考点及考试要求

二元一次方程组的解法及实际应用；

知识要点解析

二元一次方程组

【知识网络】

【要点精讲】

考点一：

二元一次方程（组）的概念

①二元一次方程：

含有两个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的方程。

注意：

满足的四个条件：

1、都是整式方程；2、只含有两个未知数；3、未知数的项（单项式）最高次数都是一次；4、含有未知数的项的系数不为0.

②二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫二元一次方程组。

注意：

1）满足的三个条件：

1、每个方程都是一次方程；2、方程组具有两个未知数；3、每个方程均为整式方程。

2）方程组的各个方程中，相同字母必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起，组成方程组。

【典例解析】

①二元一次方程：

例1、下列方程①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧中，二元一次方程有个。

例2、方程是二元一次方程，则的取值范围为.

例3、已知方程是关于的二元一次方程，则的取值范围是.

例4、若关于x，y的方程是二元一次方程，则的和为.

例5、若是关于x，y的二元一次方程，其中，则．

②二元一次方程组：

例1、下列方程组中，二元一次方程组的个数是.

（1）；

（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；

（7）；（8）.；（9）

例2、若方程组是关于的二元一次方程组，则代数式的值是．

【针对性练习】

1.下列方程哪个是二元一次方程？

2.下列方程中，是二元一次方程的是（）

ABCD

3.下列不是二元一次方程组的是（）

A．B．C．D．

4.下列是二元一次方程组的是（）

A．B．C．D．

考点二：

二元一次方程（组）的解的概念

①二元一次方程:

注意：

1）二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值；2）二元一次方程的解使方程左右两边相等；3）一般情况下，一个二元一次方程有无数多组解，但并不是说任意一对数值都是它的解，当对解有限制条件时，二元一次方程的解的个数为有限个。

②二元一次方程组：

注意：

1）二元一次方程组的解满足方程中的每一个方程；2）二元一次方程组需用大括号“{”表示，方程组的解也要用大括号“{”表示；3）一般常见的二元一次方程组有唯一解，但有的方程组有无数多组解，如，有的方程组无解，如.

【典例解析】

例1、若是二元一次方程的一个解，则.

例2、已知是关于x，y的二元一次方程的解，求（a＋1）（a－1）＋7的值．

例3、=0,是关于x,y的二元一次方程,则a=_______,b=_______.

例4、二元一次方程x+y=7的非负整数解有（）

A.6个

B.7个

C.8个

D.无数个

【针对性练习】

1.判断下列数值是否是二元一次方程3x+2y=24的解（）

（1）

（2）（3）（4）

2.甲、乙两人同时解方程组甲看错了方程①中的，得到的解是，乙看错了方程中②的，得到的解是，试求正确的值。

3.解方程组时,把a看错后得到的解是而正确解是请你写出原来的方程组.

4.一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x，十位数字为y，所列方程组正确的是（　　）

A、B、

C、D、

考点三：

二元一次方程组的解法

1、代入消元法

（1）定义：

把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.

（2）用代入法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），

即变成（或）的形式；

②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），

得到一个关于（或）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出（或）的值；

④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；

⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.

注意：

（1）用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；

（2）变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；

（3）要善于分析方程的特点，寻找简便的解法。

如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法。

整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率。

2、加减消元法

（1）定义：

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般过程：

①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.

注意：

当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。

【典例解析】

例1、用代入法解方程组

例2、用加减法解方程组

【针对性练习】

1.用代入消元法解下列方程组：

（1）；

（2）

.

2.用加减法解下列方程组：

（1）

（2）

3.已知是方程组的解，求（m+n）的值．

4.若方程组的解互为相反数，则k的值为　　　　　　。

5.已知方程组和有相同的解，求的值．

6、小明在解关于x、y的二元一次方程组时得到了正确结果后来发现“⊗”“⊕”处被墨水污损了，请你帮他找出⊗、⊕处的值分别是（）

A．⊗=1，⊕=1B．⊗=2，⊕=1

C．⊗=1，⊕=2D．⊗=2，⊕=2

7、已知x、y的值满足等式,那么代数式的值为

考点四：

实际问题与二元一次方程组

知识点一：

列方程组解应用题的基本思想

　　列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：

（1）方程两边表示的是同类量；

（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.

要点诠释：

（1）寻找等量关系的方法有：

①画出示意图分析；②列表分析；③信息的分类处理等等．

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称．

　　（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．

　　（4）最后的结果必须使实际问题有意义．

知识点二：

列方程解应用题中常用的基本等量关系

　1.行程问题：

（1）追及问题:

追及问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。

这类问题比较直观，画线段图便于理解、分析。

其等量关系式是:

两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；　速度＝；时间＝。

（2）相遇问题:

相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。

这类问题也比较直观，　因而也画线段图帮助理解、分析。

这类问题的等量关系是：

双方所走的路程之和＝总路程。

　　（3）航行问题:

①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；

　　　②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；

2.工程问题：

工作效率×工作时间=工作量.

3.浓度问题：

溶液质量×浓度=溶质质量.

4.教育储蓄问题：

（1）基本概念

　①本金：

顾客存入银行的钱叫做本金。

　②利息：

银行付给顾客的酬金叫做利息。

　③本息和：

本金与利息的和叫做本息和。

　④期数：

存入银行的时间叫做期数。

　⑤利率：

每个期数内的利息与本金的比叫做利率。

　⑥利息税：

利息的税款叫做利息税。

（2）基本关系式

　①利息＝本金×利率×期数

　②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数）

　③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。

　④税后利息＝利息×（1－利息税率）

　⑤年利率＝月利率×12

　⑥月利率＝年利率×。

注意：

免税利息=利息

5.销售中的盈亏问题：

（1）利润＝售价－成本（进价）；

（2）；

　（3）利润＝成本×利润率；

　（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；

　（5）实际售价＝标价×打折率；

6.增长率问题：

　　解这类问题的基本等量关系式是：

原量×（1＋增长率）n＝增长后的量；

　　原量×（1－减少率）n＝减少后的量.

知识点三：

列二元一次方程组解应用题的一般步骤

利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：

　1．审题:

弄清题意及题目中的数量关系；

　2．设未知数:

可直接设元，也可间接设元；

　3．找出题目中的等量关系；

　4．列出方程组:

根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；

　5．解所列的方程组，并检验解的正确性；

　6．写出答案.

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

　解答步骤简记为：

问题方程组解答

（4）列方程组解应用题应注意的问题

　①弄清各种题型中基本量之间的关系；

　②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；

　③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；

　④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；

　⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；

　⑥列方程组解应用题一定要注意检验。

【典例解析】

题型一：

行程问题

例1某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1h后乙车出发，则乙车出发后5h追上甲车；若甲车先开出20km后乙车出发，则乙车出发4h后追上甲车，求甲乙两车的速度。

（h=小时）

练习1.甲、乙两人在周长为400m的环形跑道上练跑，如果同时、同地、相向出发，经过80秒相遇；已知乙的速度是甲速度的2/3，求甲、乙两人的速度。

2.一艘轮船顺流航行45千米需要3小时，逆流航行65千米需要5小时，求船在静水中的速度和水流速度。

题型二：

工程问题

例某段工程拟在30天内（含30天）完成。

现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：

若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成。

请问：

甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多