第一章 综合素质检测.docx

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第一章综合素质检测

第一章综合素质检测

时间120分钟，满分150分。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期中测试）命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（　　）

A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0

B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0

C．存在x∈R，x3－x2＋1>0

D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0

[答案]　C

[解析]　全称命题的否定是特称命题，将“任意”改为“存在”，将“≤”改为“>”．

2．（2012～2013学年度吉林油田高中高二期末测试）若命题“p或q”为真命题，“非p”为真命题，则（　　）

A．p真q真B．p假，q真

C．p真q假D．p假q假

[答案]　B

[解析]　∵“非p”为真命题，∴p为假命题，又“p或q”为真命题，∴q为真命题．

3．（2012～2013学年度长春二中高二期末测试）设a∈R，则“a>1”是“”

<1的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　a>1⇒

<1，

<1⇒/a>1，故选A.

4．下列语句是命题的个数为（　　）

①空集是任何集合的真子集；

②x2－3x－4＝0；

③3x－2>0；

④把门关上；

⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？

A．1个B．2个

C．3个D．4个

[答案]　A

[解析]　①假命题．因为空集是空集的子集而不是真子集．

②③是开语句，由于不知x的取值范围，无法判断其真假，因此不是命题．

④是祈使句，不是命题．

⑤是疑问句，不是命题．

故只有①是命题，应选A.

5．有下列四个命题

①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；

④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[答案]　A

[解析]　“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：

“若b2＝9，则b＝3”假；

“全等三角形的面积相等”的否命题是：

“不全等的三角形，面积不相等”假；

若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4（1－c）≥0，故方程有实根；

“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．

6．（2012～2013学年度甘肃兰州第五十五中学高二期末测试）命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是（　　）

A．所有奇数的立方不是奇数

B．不存在一个奇数，它的立方是偶数

C．存在一个奇数，它的立方是偶数

D．不存在一个奇数，它的立方是奇数

[答案]　C

[解析]　“所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”，故选C.

7．（2012～2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试）“a⊥α，则a垂直于α内任一条直线”是（　　）

A．全称命题B．特称命题

C．不是命题D．假命题

[答案]　A

[解析]　命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题．

8．“B＝60°”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　B

[解析]　在△ABC中，若B＝60°，则A＋C＝120°，

∴2B＝A＋C，则A、B、C成等差数列；

若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.

9．“a＝－1”是方程“a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0”表示圆的（　　）

A．充分非必要条件

B．必要非充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

[答案]　C

[解析]　当a＝－1时，方程为x2＋y2－2x－1＝0，

即（x－1）2＋y2＝2表示圆，

若a2x2＋（a＋2）y2＋2ax＋a＝0表示圆，则应满足

，解得a＝－1，故选C.

10．下列命题中的真命题是（　　）

A．∃x∈[0，

]，sinx＋cosx≥2

B．∀x∈

，tanx>sinx

C．∃x∈R，x2＋x＝－1

D．∀x∈R，x2＋2x>4x－3

[答案]　D

[解析]　∵对任意x∈R，有sinx＋cosx＝

sin（x＋

）≤

，∴A假；∵x∈（

，π）时，tanx<0，sinx>0，∴B假；∵x2＋x＋1＝（x＋

）2＋

>0，∴方程x2＋x＝－1无解，∴C假；∵x2＋2x－（4x－3）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2，∴对任意x∈R，x2＋2x－（4x－3）>0恒成立，故D真．

11．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．

12．（2012～2013学年度吉林实验中学高二期末测试）下列命题错误的是（　　）

A．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”

B．对于命题p：

“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：

“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题

D．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件

[答案]　C

[解析]　若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，或p、q一真一假，故选C.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）

13．给出命题：

“若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．

[答案]　1

[解析]　因为命题：

“若函数y＝f（x）是幂函数，则函数y＝f（x）的图象不过第四象限”是真命题，其逆命题“若函数y＝f（x）的图象不过第四象限，则函数y＝f（x）是幂函数”是假命题，如函数y＝x＋1.再由互为逆否命题真假性相同知，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是1.

14．命题“同位角相等”的否定为________，否命题为________．

[答案]　有的同位角不相等　若两个角不是同位角，则它们不相等

[解析]　全称命题的否定是特称命题，“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．

15．已知p（x）：

x2＋2x－m>0，若p

（1）是假命题且p

（2）是真命题，则实数m的取值范围是________．

[答案]　3≤m<8

[解析]　由已知得

，

∴3≤m<8.

16．（2012～2013学年度山西忻州市高二期末测试）给出下列四个命题：

①∀x∈R，x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，故x>1；

③命题“若a>b>0，且c<0，则

>

”的逆否命题是真命题；

④“a＝1”是“直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直”的充分不必要条件．

其中正确的命题为________（只填正确命题的序号）．

[答案]　①②③

[解析]　①中，x2＋2x>4x－3⇔x2－2x＋3>0⇔（x－1）2＋2>0，故①正确．

②中，显然x≠1且x>0若01，故②正确

③中，命题“若a>b>0，且c<0，则

>

”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确．

④“a＝1”是直线x＋y＝0与直线x－ay＝0互相垂直的充要条件，故④不正确．

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）判断下列命题的真假：

（1）∀x∈R,2x>0；

（2）∀x∈Q，x2－3x－1是有理数；

（3）∃x∈N,2x＝x2；

（4）∃x，y∈Z，x2＋y2＝10.

[解析]　

（1）真命题，对任意的x,2x>0恒成立．

（2）真命题，对于任意的有理数x，x2－3x－1都是有理数．

（3）真命题，x＝2,4时，2x＝x2成立．

（4）真命题，x＝1，y＝3时，x2＋y2＝10成立．

（1）

（2）（3）（4）都是真命题．

18．（本题满分12分）写出命题“若x2＋7x－8＝0，则x＝－8或x＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”

[解析]　逆命题：

若x＝－8或x＝1，则x2＋7x－8＝0.

逆命题为真．

否命题：

若x2＋7x－8≠0，则x≠－8且x≠1.

否命题为真．

逆否命题：

若x≠－8且x≠1，则x2＋7x－8≠0.

逆否命题为真．

19．（本题满分12分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

（1）对数函数都是单调函数；

（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

（3）∀x∈{x|x>0}，x＋

≥2；

（4）∃x0∈Z，log2x0>2.

[解析]　

（1）本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．

（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．

（3）命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题．

（4）命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．

20．（本题满分12分）对于下列命题p，写出綈p的命题形式，并判断綈p命题的真假：

（1）p：

91∈（A∩B）（其中全集U＝N*，A＝{x|x是质数}，B＝{x|x是正奇数}）；

（2）p：

有一个素数是偶数；

（3）p：

任意正整数都是质数或合数；

（4）p：

一个三角形有且仅有一个外接圆．

[解析]　

（1）綈p：

91∉A或91∉B；假命题．

（2）綈p：

所有素数都不是偶数；假命题．

（3）綈p：

存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．

（4）綈p：

存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．

21．（本题满分12分）（2012～2013学年度甘肃兰州第三十一中学高二期末测试）已知命题p：

∀x∈[1,2]，x2－m≥0，命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．

[解析]　∵∀x∈[1,2]，x2－m≥0，

∴∀x∈[1,2]，m≤x2的最小值，又当x∈[1,2]时，x2的最小值为1，∴m≤1.

∴p：

m≤1.

∵∀x∈R，x2＋mx＋1>0，

∴m2－4<0，∴－2

∴q：

－2

∴p∧q为真命题，

∴－2

22．（本题满分14分）（2012～2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试）设命题p：

（4x－3）2≤1；命题q：

x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

[解析]　由（4x－3）2≤1，得

≤x≤1，

令A＝{x|

≤x≤1}．

由x2－（2a＋1）x＋a（a＋1）≤0，得

a≤x≤a＋1，

令B＝{x|a≤x≤a＋1}．

由綈p是綈q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即AB，

∴

，∴0≤a≤

.

∴实数a的取值范围是[0，

]．

1．命题“∃x∈R,2x＋x2≤1”的否定是（　　）

A．∀x∈R,2x＋x2>1，假命题

B．∀x∈R,2x＋x2>1，真命题

C．∃x∈R,2x＋x2>1，假命题

D．∃x∈R,2x＋x2>1，真命题

[答案]　A

[解析]　因为x＝0时，20＋02＝1≤1，故原命题为真命题，所以该命题的否定“∀x∈R,2x＋x2>1”是假命题．

2．命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

[答案]　C

[解析]　“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是：

“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．

3．（2012·山东枣庄期中考试）已知a、b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥

”的否命题是（　　）

A．若a＋b≠1，则a2＋b2<

B．若a＋b＝1，则a2＋b2<

C．若a2＋b2<

，则a＋b＝1

D．若a2＋b2≥

，则a＋b≠1

[答案]　A

[解析]　“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，故选A.

4．“x>

”是“sinx>

”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　D

[解析]　当x＝π>

时，sinx＝0<

，又sin（－

）＝1>

，－

<

，∴“x>

”是“sinx>

”的既不充分也不必要条件．

5．已知a、b、c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

[答案]　A

[解析]　a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.

6．以下判断正确的是（　　）

A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题

B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x

>x0”

C．“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件

D．“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件

[答案]　D

[解析]　∵“负数的平方是正数”即为∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确.

∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定为“∃x∈N，x

≤x0”，B不正确；

∵f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，

当最小正周期T＝π时，有

＝π，

∴|a|＝1⇒/a＝1，

故“a＝1”是“函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，C不正确；b＝0时f（x）＝ax2＋c是偶函数，反之也成立，D正确．

7．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　∵A＝{x∈R|x－2>0}＝{x|x>2}，B＝{x∈R|x<0}，∴A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}

C＝{x|x（x－2）>0}＝{x|x<0或x>2}，

∴A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充要条件．

8．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是（　　）

A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

[答案]　D

[解析]　原命题是“若p，则q”时，逆命题为“若q，则p”，故选D.

9．“a＝1”是“函数f（x）＝|x－a|在区间（－∞，1]上为减函数”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　当a＝1时，f（x）＝|x－1|＝

，所以f（x）在区间（－∞，1]上是减函数；若f（x）在区间（－∞，1]上是减函数，结合图象可得a≥1，所以前者是后者的充分不必要条件．

10．设命题p：

∶∀x∈R，x2－2x>a；命题∃x0∈R，x

＋2ax0＋2－a＝0.如果命题“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

[解析]　由命题p可知x2－2x＝（x－1）2－1>a恒成立，∴a<－1.

由命题q可知方程x2＋2ax＋2－a＝0有实数根，∴Δ＝（2a）2－4（2－a）≥0，解得a≤－2或a≥1.

∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p与q一真一假．

当p真q假时，有－2

∴a的取值范围是（－2，－1）∪[1，＋∞）．