人教版高中数学选修21《圆锥曲线起始课》教学设计特级教师一等奖.docx

人教版高中数学选修21《圆锥曲线起始课》教学设计特级教师一等奖.docx

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人教版高中数学选修21《圆锥曲线起始课》教学设计特级教师一等奖

“圆锥曲线起始课”教学设计

一．【教学内容解析】

1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继学习了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．

2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．

3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的学习对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．

本节课的内容是选自北师大出版社《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．

二．【教学目标设置】

1．知识与技能目标

本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）． 

2．过程与方法目标

 初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主学习以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．

 　　3．情感、态度与价值观目标

 通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发学习圆锥曲线的兴趣，能够自主学习、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．

4．重难点

重点：

圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．

难点：

用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．

三．【学生学情分析】

1．这节课的授课对象是高中二年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已学习了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还学习了解析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理问题的能力．在方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了数形结合的思想与类比与转化思想．

 　　2．学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：

从空间的圆锥截出平面图形的转化问题，特别是通过Dandelin双球发现椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及动态问题．

四．【教学策略分析】

1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入学习圆锥曲线的学习，为后面采用解析的方法学习埋下了伏笔．

 　　2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操作确认，避免过度抽象.思辩论证、度量计算等手段在后续课程中再采用．

 　　3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．

 4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．

五．【教学过程】

环节

教学过程和师生活动

意图，理念与备注

1．课题引入

通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．

师生活动：

让学生踊跃发言．

1．从实际生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在头脑中产生各种曲线的初步印象，为下一步的数学抽象做准备．

2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．

2．复习和准备

1.复习圆锥的形成

2.由圆锥的形成过

程引入圆锥面

注：

这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半

为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出不同的曲线留下知识.

师生活动：

教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。

1.对以前知识回顾，教师引导，学生回顾。

2.注意新旧知识的联系与发展，注重知识的系统性，使学生带着为什么要复习这个知识的疑惑走入课堂。

3．新课传授

介绍圆锥曲线的发展史

1．最初发现

PPT播放结合教师的介绍：

教师附加介绍：

这些问题在两千多年的时间里，有多数学大师研究过，比如早到欧几里得，晚到高斯．直至19世纪，这三个作图问题才被最终证实为不可能只用圆规和直尺作出．不知什么缘故，数学的美不在乎它的答案而在于它的方法，“不可解”似乎像是一个令人失望的答案，然而得到这一结论的思维过程却是极具魅力的，人们屡遭失败之后，一方面是从反面怀疑它是否可作；另一方面就很自然地考虑跳出尺规作图的框框，而是借助于另外一些曲线，是不是可解决这些问题呢？

我们今天学习的圆锥曲线，就是从这里开始被发现的。

教师附加介绍：

不同的圆锥是轴截面顶角分别为直角，锐角和钝角，但都是拿和母线垂直的平面截圆锥，从而形成不同的曲线，这就是圆锥曲线的“雏形”．

2．奠基工作

本课以圆锥曲线的发展史为主线，在其中创设各种情景，引导学生进入圆锥曲线的学习

1．由第一个环节“最初发现”中的古老问题的提出来介绍圆锥曲线的发现，即增加了学生的兴趣和探索欲望，又能让学生感受到数学发展过程中的魅力．

2．引出圆锥曲线的“雏形”为了让学生明白探知的过程，进一步激发学生的好奇和兴趣．为下一步的“圆锥曲线”的定义做好铺垫．

3.总结古希腊对圆锥曲线的认识,说出不足,为学生以后用解析的方法进一步学习圆锥曲线的理由顺理成章.

4．创设情景,突破概念

（一）

1.实验:

利用手机中的闪光灯,绕线筒和纸板,把光线投影到纸板,观察影子的变化

师生活动:

让学生参与,看到现象,探究原因.

这里学生很容易认识到这个模型,把圆和椭圆说出,但是对于抛物线和双曲线的形成和位置的判别不太清楚.这没有关系,等下还有定性分析.

2.探讨

问题1：

用过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？

师生活动:

学生很容易回答“点”,容易忽视“两条相交直线”

问题2：

用不过顶点的平面截圆锥面，可能得到哪些曲线？

师生活动:

学生也很容易回答出“圆”

思考：

当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，还能得到哪些不同的截线？

师生活动:

通过学生上台来控制动画,直观认识不同平面截圆锥得出的曲线

3.定性的分析总结:

圆锥曲线的定义

师生互动：

这里对学生而言理解会有一定的困难,教师的讲解要清晰,细致,不要着急.

1.学生对手机和绕线筒非常熟悉,这个试验马上能引起学生注意,也定会感叹设计的巧妙和数学的无处不在.

2.利用身边的实物来做个试验,揭示三种曲线的形成,但对抛物线和双曲线的显示不足,这为我们下面的定性分析做了铺垫

3.从特殊位置考虑，培养学生分类讨论的思想，提高数学的严密性.

4.学生先有直观感受，让学生动手实验，通过自主探索活动，让学生参与到教学活动的全过程中来，体现学生参与的主体地位，使学生手，脑，口并用，主动地获取知识，培养学生自主探究学习的能力

5.重点的突破在这里显得很自然,但是对于学生理解上还是有一定难度,教师要注意好这个环节.

5．创设情景,突破概念

（二）

1.回到圆锥曲线的发展史,阐述阿波罗尼对椭圆的研究发现

2.联系中国古代的事物和数学家的介绍,用一个刘徽传授椭圆画法的传说故事和自述的“木工师傅做椭圆镜框”一小故事来引出椭圆的画法.

3.画椭圆

学生分组利用纸板,钉子和绳子来动手自己画椭圆.

引导学生在画的过程中要注意的细节,如绳子要绷直,两个钉子要稳定等细节.

安排其中一个组领到的纸板上两个钉子的绳子已经是绷直的.

在教师展示其他组画的不同形状的椭圆时,这个组的成员会提出问题:

老师,我们组的画不出椭圆,而是画出了一条线段.

借此教师那那组的纸板加以解释,当绳子的长度和两个定点距离相等时,画出的只是一条线段,

继续提问,当绳子的长度小于两个定点的距离呢?

学生马上反应过来,这时应该画不出任何图形.

4.总结:

椭圆的定义:

一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

用数学表达式体现:

对为什么用

的表示常数,我们后面会知道它的作用（为求标准方程打下基础）

5.论证:

论证在圆锥截出的椭圆就是我们画出来的椭圆

在圆锥曲线的众多研究者中，19世纪的法国数学家Dandelin是非常著名的一位.19世纪初，法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球（Dandelin双球），给出了研究椭圆定义的一种巧妙的方法.

Dandelin在截面的两侧分别放置一个球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），且与圆锥面相切，两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2.

设点M是平面与圆锥面的截线上任一点，过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P，Q两点.

问题1:

图中所示线段之间的长度有什么关系？

学生:

因为过球外一点所作球的切线的长相等，所以

MF1=MP，MF2=MQ，

故MF1+MF2=MP+MQ=PQ

问题2:

PQ长有什么特点.

（学生思考，教师展示M点在截线上运动时的动画.）

学生:

PQ是常数.

总结:

截线上任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数.

就是我们刚刚画的椭圆的定义.

例.已知∆ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB，BC，AC成等差数列.试问：

点A在一个什么样的圆锥曲线上运动？

说明理由

教师巡视学生作答情况，并要学生作答，注意答题细节

6.类比学习

思考:

引入拉链和双曲线

继续以动画为载体,演示拉拉链这个实验,在这个过程让学生发现问题,并加以总结.

引导学生从实验抽象出数学性质

7.由学生类比总结出双曲线定义:

一般地，平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数）的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

用数学表达式体现:

提示学生同样要注意这个定义成立的条件

1.利用史料和传说小故事,引出椭圆的画法,能提高学生学习的兴趣和积极性,又能普及数学史培养正确的价值观.

2.在处理画椭圆的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．

3.有意安排画出不同的椭圆为随后的椭圆的性质研究累计素材.还安排一种特殊情况让学生自己发现并提出问题,加深学生的印象,培养学生思维的严密性.

4.学会有数学语言来描述定义.

5.这个环节对学生而言有一定难度,对空间立体几何的认知要求颇高,是本节课的一个难点.

6.这个环节能让学生体会到从空间事物抽象到平面的一个过程,有利于培养学生的转化能力.

小试牛刀，熟悉定义

8.这里安排利用拉链实验类比推理出双曲线的定义,不但加深了椭圆定义的理解和记忆,也为以后由椭圆类比学习其他曲线埋下伏笔和打下基础.

9.再次利用动态事物帮助学生理解轨迹的形成.

10.注意双曲线的两支.培养学生的学习能力，让他们学会归纳，学会学习。

6．回归数学史

圆锥曲线的发展史：

PPT展示结合教师的讲评

3．长期停滞

又经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《汇篇》中，才完善了关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定理进行了证明。

这时，圆锥曲线的定义和性质才比较完整地建立起来了.

在这之后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究几乎没有什么进展.

4．有所突破

有两件事促使人们对圆锥曲线的进一步研究

5．别开生面

6．系统总结

1．感受数学发展的漫长和艰辛．

2．鼓励学生敢于探索，敢于突破．

4.由“别开生面”这个阶段，介绍我们为什么学习解析几何，了解其由来，为后面建立坐标系到求标准方程，再来研究其性质这个过程做了个很好的铺垫.

5.这个是离我们实际最近的一个阶段,也是和我们生活最紧密的一个阶段,再次拿出一些我们现实生活中的圆锥曲线,让学生再次体会数学的实际应用.

6.这里还讲了个关于欧拉的小故事,培养学生学习数学的意志品质.

7．小结

小结:

和学生一起小结通过本节课的学习,你了解到什么?

8.作业

1.在

中，BC=2，

，那么点A在怎样的曲线上运动？

2.已知

中，BC长为6，周长为16，那么顶点A怎样的曲线上运动？

3.如图，圆

在圆

的内部，且点

，

不重合.

求证：

与圆

外切，且与圆

内切的圆的圆心C的轨迹是椭圆.

4.（探究题）将一个半径为R的篮球放在地面上，被阳光斜照留下的影子是椭圆.如果将光源换成电光源，那么影子可能是抛物线吗？

进一步巩固课题的重，难点。

让学生在作业中中发现不足、弥补不足，加深对知识理解，真正把学到的知识转化成能力。

《圆锥曲线起始课》的点评

高鹏老师所展示的《圆锥曲线起始课》是非常重要，又很难上的一节课。

高老师围绕圆锥曲线的特点这一核心知识，以圆锥曲线的发展史为主线，创设情境，精心构筑探究过程，采取幻灯演示、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操作确认等方法和手段，激发学生学习的兴趣，探究的欲望。

整堂课教师引导得法，学生积极主动，很好地完成了一节起始课的教学目标，充分体现了新课程的理念，是一节高水平、高质量的课。

具体有以下几个主要特点。

第一，很好地汲取教材的精华，尊重教材的知识体系，根据学生的实际和需要进行资源开发。

本节课高老师对教材进行深入把握，以圆锥曲线的发展史为主线，创设情境，生成问题，提出问题，大胆改进了课本上的探究活动。

使问题来源于生活，来源于实际，使探究活动针对性更强、更易展开，更能激发学生的兴趣。

第二，教学活动具有明确的目标导向。

本节课我们欣喜地看到三维目标得到有机整合，学生科学兴趣、科学精神、治学方法、严谨态度得到很好培养。

整堂课以知识为载体，围绕人们对圆锥曲线的发现、认识和应用，设计探究，层层深入，一环扣一环，培养学生观察分析能力、逻辑思维能力、动手实践能力，尽可能让学生自已获得知识，让学生体验到探究活动成功的快乐，努力培养学生关注生活、关注社会的情感和态度，并为后面进一步学好圆锥曲线的内容打下坚实的基础。

第三，教学设计精心，教学效果好。

高老师通过“生活实例、问题引入、复习和准备、新课传授、创设情景,突破概念、回归数学史、小结”等教学环节设计，并伴有图片、动画、实验等内容激起学生的兴趣，让学生自主提出问题，思考问题，进而组织学生理性分析、层层深入、步步推进，最后解决问题，把课堂推向高潮。

整堂课学生思维活跃，探求知识的萌动不时被点燃，起始课的有效性得到了很好的体现。