高三文数统计案例模块全面复习1.docx
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高三文数统计案例模块全面复习1
第10章统计案例
一．考试大纲
1．随机抽样
（1）理解随机抽样的必要性和重要性.
（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
2．用样本估计总体
（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据平均数和标 准差。
知道平均数与标准差是样本数据基本的数字特征.
（3）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
（4）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
3．变量的相关性
（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系.
（2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）.
二．知识点整理
1：
简单随机抽样
（1）总体和样本
①在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.
②把每个研究对象叫做个体.
③把总体中个体的总数叫做总体容量.
④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：
x1，x2，....，xx研究，我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
（2）简单随机抽样，也叫纯随机抽样.就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位.特点是：
每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性.简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础.通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法.
（3）简单随机抽样常用的方法：
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取.
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：
①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度.
（4）抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具，实施抽签;
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
（5）随机数表法.例：
利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动.
2．系统抽样（等距抽样或机械抽样）
（1）把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本.第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取.
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：
总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布.可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点.如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合.
（2）系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一.因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单.更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度.
3.分层抽样
（1）分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本.
两种方法：
①先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取.
②先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本.
（2）分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体.
分层标准：
①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准.
②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量.
③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量.
3．分层的比例问题：
①按比例分层抽样：
根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法.
②不按比例分层抽样：
有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。
如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）本均值：
（2）样本标准差：
（3）用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.
（4）
①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.
②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍.
③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间
的应用； “去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.
5.两个变量的线性相关
（1）概念:
①回归直线方程 ②回归系数
（2）最小二乘法
（3）直线回归方程的应用
①描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
②利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进行估计，即可得到
个体Y值的容许区间。
③利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。
（4）_应用直线回归的注意事项
（5）①做回归分析要有实际意义； ② 回归分析前,最好先作出散点图； ③回归直线不要外延.
三、经典题型分析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2010·宁夏银川模拟）下表是某厂1～4月份用水量（单位：
百吨）的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
＝－0.7x＋a，则a等于（ ）
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
[答案] D
[解析]
＝2.5，
＝3.5，
∵回归直线方程过定点（
，
），
∴3.5＝－0.7×2.5＋a，∴a＝5.25.故选D.
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有（ ）
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
[答案] A
[解析] 因为b>0时，两变量正相关，此时，r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.
3．有下列说法：
①随机误差是引起预报值与真实值之间的误差的原因之一；
②残差平方和越小，预报精度越高；
③在独立性检验中，通过二维条形图和三维柱形图可以粗略判断两个分类变量是否有关系．
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
[答案] D
4．有甲、乙两种钢材，从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下：
X
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
甲
X
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
乙
现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好，应考察哪项指标（ ）
A．期望与方差B．正态分布
C．卡方K2D．概率
[答案] A
5．为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ）
A．期望与方差B．排列与组合
C．独立性检验D．概率
[答案] C
6．（2009·海南宁夏理，3）对变量x，y观测数据（x1，y1）（i＝1,2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u1，v1）（i＝1,2，…，10），得散点图2.由这两个散点图可以判断．（ ）
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[答案] C
[解析] 本题主要考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．
用散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．
7．某地2010年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机
营销
机械
建筑
化工
招聘人数
124620
102935
89115
76516
70436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ）
A．计算机行业好于化工行业
B．建筑行业好于物流行业
C．机械行业最紧张
D．营销行业比贸易行业紧张
[答案] B
[解析] 建筑行业的比值小于
，物流行业的比值大于
，故建筑好于物流．
8．工人月工资y（单位：
元）关于劳动生产率x（单位：
千元）的回归方程为
＝650＋80x，下列说法中正确的个数是（ ）
①劳动生产率为1000元时，工资约为730元；
②劳动生产率提高1000元时，则工资约提高80元；
③劳动生产率提高1000元时，则工资约提高730元；
④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．
A．1B．2
C．3D．4
[答案] C
[解析] 代入方程计算可判断①②④正确．
9．对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程为
＝
x＋
必过样本点的中心（
，
）
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
[答案] C
[解析] R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选C.
10．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用方法中，最为精确的是（ ）
A．三维柱形图B．二维条形图
C．等高条形图D．独立性检验
[答案] D
[解析] 前三种方法只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．
11．在建立两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合得最好的模型为（ ）
A．模型1的相关指数R2为0.75
B．模型2的相关指数R2为0.90
C．模型3的相关指数R2为0.25
D．模型4的相关指数R2为0.55
[答案] B
[解析] 相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好，故选B.
12．下面是某市场农产品的调查表．
市场供应量表：
单价（元/千克）
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
供应量（1000千克）
50
60
70
75
80
90
市场需求量表：
单价（元/千克）
4
3.4
2.9
2.6
2.3
2
供应量（1000千克）
50
60
70
75
80
90
根据以上信息，市场供需平衡点（即供应量和需求量相等的单价）应在区间（ ）
A．（2.3,2.6）B．（2.4,2.6）
C．（2.6,2.8）D．（2.8,2.9）
[答案] C
[解析] 以横轴为单价，纵轴为市场供、需量，在同一坐标系中描点，用近似曲线观察可知选C.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上）
13．当且仅当r满足________时，数据点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）在一条直线上．
[答案] |r|＝1
[解析] 当数据点（xi，yi）在一条直线上时，y只受x的影响，即数据点完全线性相关，此时|r|＝1.
14．已知一个回归直线方程为
＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则
＝__________.
[答案] 58.5
[解析] 因为
＝
（1＋7＋5＋13＋19）＝9，且
＝1.5
＋45，所以
＝1.5×9＋45＝58.5.
本题易错之处是根据x的值及
＝1.5x＋45求出y的值再求
，由
＝1.5x＋45求得的y值不是原始数据，故错误．
15．对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表．若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________．
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
[答案]
＝17.5＋6.5x
[解析] 由数据表得
＝5，
＝50，所以
＝
－6.5
＝17.5，即回归直线方程为
＝17.5＋6.5x.
16．（2010·广东文，12）某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：
万元）与年平均支出Y（单位：
万元）的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入x
11.5
12.1
13
13.3
15
支出Y
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭平均收入的中位数是__________，家庭年平均收入与年平均支出有__________线性相关关系．
[答案] 13 正
[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．由统计资料可以看出，当平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）为了调查胃病是否与生活规律有关，调查某地540名40岁以上的人得结果如下：
患胃病
未患胃病
合计
生活不规律
60
260
320
生活有规律
20
200
220
合计
80
460
540
根据以上数据回答40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？
[解析] k＝
＝
≈9.638
∵9.638＞6.635
∴40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，有99%的把握认为生活不规律的人易患胃病．
18．（本题满分12分）一台机器可以按各种不同的速度运转，其生产的物件有一些会有问题，每小时生产有问题物件的多寡，随机器运转的速度而变化，下面表格中的数据是几次试验的结果．
速度（转/秒）
每小时生产有问题物件数
8
5
12
8
14
9
16
11
（1）求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程；
（2）若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为10，那么机器的速度不得超过多少转/秒？
[解析]
（1）用x表示机器速度，y表示每小时生产有问题物件数，那么4个样本数据为：
（8,5）、（12,8）、（14,9）、（16,11），则
＝12.5，
＝8.25.于是回归直线的斜率为
＝
＝
≈0.7286，
＝
－
＝－0.8575，所以所求的回归直线方程为y＝0.7286x－0.8575.
（2）根据公式
＝0.7286x－0.8575，要使y≤10，则就需要0.7286x－0.8575≤10，x≤14.9019，即机器的旋转速度不能超过14.9019转/秒．
19．（本题满分12分）在从烟台—大连的某次航运中，海上出现恶劣气候．随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如下表所示：
晕船
不晕船
合计
男人
32
51
73
女人
8
24
32
合计
40
75
115
根据此资料你是否认为在恶劣气候航行中，男人比女人更容易晕船？
[解析] 男人晕船所占比例为
×100%＝0.386，
女人晕船所占比例为
×100%＝0.25，虽然0.386远大于0.25，但我们不能用此判断在恶劣气候中航行，男人比女人更容易晕船，而应根据独立性检验进行分析．
由公式得：
K2＝
≈1.870.
因为1.870<2.706，所以我们没有充分的证据说晕船跟男女性别有关．
20．（本题满分12分）有两个分类变量X与Y，其一组观测的2×2列联表如下表．其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时有90%以上的把握认为“X与Y之间有关系”？
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
[解析] 查表可知，要使有90%以上的把握认为X与Y之间有关系，则K2>2.706，
而其观测值k＝
＝
＝
，解k>2.706得a>7.19或a<2.04.又因为a>5且15－a>5，a∈Z，所以a＝8,9，故当a取8或9时有90%以上的把握认为“X与Y之间有关系”．
[点拨] 首先计算K2值，由题意K2>2.706，求得a的范围，再结合a>5且15－a>5，a∈Z，即可求得a的值．
21．（本题满分12分）某超市为了了解热茶销售与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：
气温x（℃）
26
18
13
10
4
－1
杯数y
20
24
34
38
50
64
画出散点图并计算相关系数r，判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系．
[解析] 由表中数据画出散点图如图所示．
由表中数据得
＝
（26＋18＋13＋10＋4－1）≈11.67，
＝
（20＋24＋34＋38＋50＋64）≈38.33，
iyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1910，
＝262＋182＋132＋102＋42＋（－1）2＝1286，
＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10172，所以r≈－0.97，因为|r|≈0.97>0.75，所以热茶销售量与气温之间具有很强的线性相关关系．
22．（本题满分14分）在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累积人次和播放天数如下表：
播放天数
1
2
3
4
5
点击观看的累积人次
51
134
213
235
262
播放天数
6
7
8
9
10
点击观看的累积人次
294
330
378
457
533
（1）画出散点图；
（2）判断两变量之间是否具有线性相关关系，求回归直线方程是否有意义？
[解析]
（1）散点图如图所示．
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