圆锥曲线离心率专题.docx

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圆锥曲线离心率专题

圆锥曲线离心率专题训练

1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（　　）

A．

[，1）

B．

[，1）

C．

（0，]

D．

（0，]

2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（　　）

A．

[，1）

B．

（，1）

C．

[，）

D．

（0，）

4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（　　）

A．

（﹣∞，0）

B．

（﹣3，0）

C．

（﹣12，0）

D．

（﹣60，﹣12）

5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（　　）

A．

B．

C．

D．

7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

（0，）

B．

（，）

C．

（，）

D．

（，1）

9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（　　）

A．

[2，+∞）

B．

（，+∞）

C．

[，+∞）

D．

（，+∞）

11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．

B．

C．

D．

15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值围是（　　）

A．

B．

C．

（1，2）

D．

16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：

1，则双曲线离心率的取值围是（　　）

A．

（1，]

B．

（1，）

C．

（2，]

D．

（，2]

17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值围为（　　）

A．

[，1]

B．

[，]

C．

[，1）

D．

[，]

18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．

（0，）

B．

（）

C．

（0，）

D．

（，1）

19．已知直线l：

y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

　21．点A是抛物线C1：

y2=2px（p＞0）与双曲线C2：

（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）

A．

B．

C．

D．

22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的围是（　　）

A．

B．

C．

D．

　23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

（0，]

B．

[，1）

C．

（0，]

D．

[，1）

24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

（0，1）

B．

（0，

C．

D．

25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值围是（　　）

A．

（1，1+）

B．

（1，）

C．

（﹣1，1+）

D．

（1，2）

28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值围为（　　）

A．

B．

C．

D．

29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值围为（　　）

A．

B．

C．

D．

30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值围是（　　）

A．

（0，）

B．

（，1）

C．

（1，）

D．

（，+∞）

参考答案与试题解析

1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值围是（　　）

A．

[，1）

B．

[，1）

C．

（0，]

D．

（0，]

解：

如图所示，

下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．

设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．

∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．

∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．

若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．

又e＜1，∴．

故选B．

2．二次曲线时，该曲线离心率e的围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

∵m∈[﹣2，﹣1]，

∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，

∴c=

离心率e==

∵m∈[﹣2，﹣1]，

∴∈[，]，

∴e∈

故选C

3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的围是（　　）

A．

[，1）

B．

（，1）

C．

[，）

D．

（0，）

解：

可设椭圆的标准方程为：

（a＞b＞0）．

设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．

该圆为：

，化为x2﹣ax+y2=0．

联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，

则，解得，

∵0＜x＜a，∴，

化为c2＞b2=a2﹣c2，

∴，又1＞e＞0．

解得．

∴该椭圆的离心率e的围是．

故选：

C．

4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值围是（　　）

A．

（﹣∞，0）

B．

（﹣3，0）

C．

（﹣12，0）

D．

（﹣60，﹣12）

解：

∵双曲线的离心率e∈（1，2），

∴双曲线标准方程为：

﹣=1∴k＜0，

∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，

故答案选C

5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），

则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．

在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，

解得x12=．

∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1

∴e=≥．

故椭圆离心率的取围是e∈．

故选A．

6．已知椭圆的接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值围（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

不防设椭圆方程：

（a＞b＞0），

再不妨设：

B（0，b），三角形重心G（c，0），

延长BG至D，使|GD|=，

设D（x，y），则，，

由，得：

，

解得：

，．

而D是椭圆的接三角形一边AC的中点，

所以，D点必在椭圆部，

则．

把b2=a2﹣c2代入上式整理得：

．

即．

又因为椭圆离心率e∈（0，1），

所以，该椭圆离心率e的取值围是．

故选B．

7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

椭圆x2+my2=1化为标准方程为

①若1＞，即m＞1，，

∴，

∴，

∴

②若，即0＜m＜1，，

∴，

∴，

∴

∴实数m的取值围是

故选C．

8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

（0，）

B．

（，）

C．

（，）

D．

（，1）

解：

设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，

∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，

∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，

∴|PF1|=2a﹣2c；①

同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②

由①②可得a=m+2c．

∵e2=∈（1，2），

∴＜=＜1，

又e1==，

∴==+2∈（，3），

∴＜e1＜．

故选C．

9．椭圆的接矩形的最大面积的取值围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

在第一象限取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）

则椭圆的接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，

接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，

由已知得：

3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，

平方得：

9b2≤4a2≤16b2，

9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），

5a2≤9c2且12a2≥16c2，

∴≤≤

即e∈

故选B．

10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值围为（　　）

A．

[2，+∞）

B．

（，+∞）

C．

[，+∞）

D．

（，+∞）

解：

BD==，

∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，

∴e1=，e2=，e1e2=1

但e1+e2中不能取“=”，

∴e1+e2=+=+，

令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），

∴e1+e2∈（，+∞）

∴e1+e2的取值围为（，+∞）．

故选B．

11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，

同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．

由S，即得•a≥2c2．

于是得4e4﹣25e2+25≤0．

解不等式，得．

由于e＞1＞0，

所以e的取值围是e∈．

故选A．

12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，

角∠F1PF2达到最大值．由此可得：

∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，

∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，

所以P0O≤OF2，即bc，其中c=

∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥

∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0

∴

故选C

13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f

（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，

所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，

故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，

故有g（0）＞0，g

（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，

则a，b满足的可行域如图所示，

由于，则P（﹣1，）

而表示（a，b）到（0，0）的距离，

且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=

可确定的取值围是（，+∞）．

故答案为：

A．

14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，

则，化为．

∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），

∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），

由二次函数的单调性可知：

f（y）在（﹣b，b）单调递减，

∴，

化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，

∴．

又e＞0．

∴离心率的取值围是．

故选：

C．

15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值围是（　　）

A．

B．

C．

（1，2）

D．

解：

∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x

则tanα=

∵，

∴1＜tanα＜，即1＜＜

∴1＜=＜3求得＜＜2

故选B．

16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：

1，则双曲线离心率的取值围是（　　）

A．

（1，]

B．

（1，）

C．

（2，]

D．

（，2]

解：

根据角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得

5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．

再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，

故选A．

17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值围为（　　）

A．

[，1]

B．

[，]

C．

[，1）

D．

[，]

解：

∵B和A关于原点对称

∴B也在椭圆上

设左焦点为F′

根据椭圆定义：

|AF|+|AF′|=2a

又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①

O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c

又|AF|=2csinα…②

|BF|=2ccosα…③

②③代入①2csinα+2ccosα=2a

∴=

即e==

∵a∈[，]，

∴≤α+π/4≤

∴≤sin（α+）≤1

∴≤e≤

故选B

18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值围为（　　）

A．

（0，）

B．

（）

C．

（0，）

D．

（，1）

解：

在△PF1F2中，由正弦定理得：

则由已知得：

，

即：

aPF1=cPF2

设点P（x0，y0）由焦点半径公式，

得：

PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）

解得：

x0==

由椭圆的几何性质知：

x0＞﹣a则＞﹣a，

整理得e2+2e﹣1＞0，解得：

e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），

故椭圆的离心率：

e∈（﹣1，1），

故选D．

19．已知直线l：

y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

圆x2+y2=4的圆心到直线l：

y=kx+2的距离为d=

∵直线l：

y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，

∴由垂径定理，得2，

即，解之得d2≤

∴≤，解之得k2

∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，

∴b=2且c==﹣，即a2=4+

因此，椭圆的离心率e满足e2===

∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]

故选：

B

20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，

同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．

由，得．．

于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．

解不等式，得≤e2≤5．

由于e＞1＞0，

所以e的取值围是．

故选D．

21．点A是抛物线C1：

y2=2px（p＞0）与双曲线C2：

（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

取双曲线的其中一条渐近线：

y=x，

联立⇒；

故A（，）．

∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，

∴+=p；

∴=．

∴双曲线C2的离心率e===．

故选：

C．

22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的围是（　　）

A．

B．

C．

D．

解：

由椭圆定义可知：

|MF1|+|MF2|=2a，

所以…①，

在△MF1F2中，由余弦定理可知

…②

又，…③，

由①②③可得：

4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．

所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．

所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，

所以e∈．

故选B．

23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值围是（　　）

A．

（0，]

B．

[，1）

C．

（0，]

D．

[