九年级寒假班第5讲长方体与三角形教师版.docx

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九年级寒假班第5讲长方体与三角形教师版

长方体与三角形

知识结构

模块一：

长方体的再认识

知识精讲

一、 长方体的元素及特征

1、元素：

长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．

2、特征：

（1）长方体的每个面都是长方形．

（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．

（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．

二、 长方体的直观图画法：

斜二侧画法

水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：

H             G

第一步：

画平行四边形 ABCD，使 AB 等于

长方体的长，AD 等于长方体宽的二分之一，

D           C    E

D

F

C

∠DAB = 45︒ ．（如图 1 所示）

A

B

A

B

第二步：

过 AB 分别画 AB 的垂线 AE、BF，

图 1

图 2

过 C、D 分别画 CD 的垂线 CG、DH，使它

H

G

H

G

们的长度都等于长方体的高．（如图 2 所示）

E

F

E

F

第三步：

顺次联结 E、F、G、H．（如图 3 所示）

D

C

D

C

第四步：

将被遮住的线段改用虚线

（隐藏线）表示．（如图 4 所示）A

图 3

B

A

图 4

B

图 4 表示的长方体通常表示为 ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：

平面 ABCD、平面 ABFE、平面 BCGF

等．它的十二条棱通常分别表示为：

棱 AB、棱 AE、棱 EF 等．

三、 长方体中棱与棱的位置关系

如图 4 所示的长方体 ABCD-EFGH 中：

棱 EH 与棱 EF 所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．

棱 EF 与棱 AB 所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．

棱 EH 与棱 AB 所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．

四、 长方体中棱与平面的位置关系

如图 5，直线 PQ 垂直于平面 ABCD，记作：

直线 PQ ⊥ 平面 ABCD，读作：

直线 PQ 垂直于平面 ABCD．

P

PQ

DCDC

Q

A

图 5   B

A

图 6    B

如图 6，直线 PQ 平行于平面 ABCD，记作：

直线 PQ// 平面 ABCD，读作：

直线 PQ 平行于平面 ABCD．

如图 4 所示的长方体 ABCD-EFGH 中：

棱 EF 与面 BCGF，棱 FG 与面 ABFE，棱 BF 与面 ABCD 都给我们以直线与平面垂直的形象．

棱 EF 与面 ABCD，棱 BF 与面 ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．

五、 长方体中平面与平面的位置关系

如图 7，平面 α 垂直于平面 β ，记作平面 α ⊥ 平面 β ，读作平面 α 垂直于平面 β ．

β

α

α

β

如图 8，平面 α 平行于平面 β ，记作平面 α //平面 β ，读作平面 α 平行于平面 β ．

如图 4 所示的长方体 ABCD-EFGH 中：

面 EFGH，面 ABFE 与面 BCGF 三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．

面 ABCD 与面 EFGH，面 BCGF 与面 ADHE，面 ABFE 与面 DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象．

例题解析

H

G

2

E

F

D

C

【例1】 如图，已知长方体 ABCD-EFGH．

（1）哪些棱与 AB 平行？

（2）哪些棱与 AB 垂直？

（3）哪些棱与 AB 异面？

【难度】★

【答案】

（1）棱 EF、HG、DC 与 AB 平行；

（2）棱 EA、FB、DA、CB 与 AB 相交；

（3）棱 EH、GF、DH、CG 与 AB 异面．

【解析】长方体中与一个棱平行的有 3 条，垂直的有 4 条，异面的有 4 条．

【总结】考查长方体中相关基本概念．

【例2】 如图，已知长方体 ABCD-EFGH，与平面 ADHE 平行的平面是____________，与平面 ADHE 垂直的平面

是____________．

【难度】★

【答案】平面 BCGF；平面 ABFE、平面 ABCD、平面 DCGH、平面 EFGH．

H

G

【解析】长方体中与任何一个面平行的面有 1 个，与任何一个面垂直的

有 4 个面．

【总结】考查长方体中平面间的关系．

E

A

F

D             C

B

【例3】 下列关于长方体的说法中正确的是（）

A．长方体中互相平行的棱不一定相等

B．长方体中 12 条棱的位置关系只有平行和相交

C．长方体中相对的两个面一定平行

D．长方体中 6 个面的面积都相等

【难度】★

【答案】C

【解析】A、互相平行的棱一定相等；B、还有异面；D、6 个面不一定相等，当棱长都相等

时，六个面的面积都相等．

【总结】考查长方体的基本元素的认知．

【例4】 关于长方体有下列三个结论：

 长方体中每个面都是长方形；

 长方体中每两个面都互相垂直；

3

 长方体中相对的两个面是全等的长方形．

其中结论错误的个数是（）

A．0 个

B．1 个        C．2 个        D．3 个

【难度】★

【答案】B

【解析】①正确；②对面互相平行，错误；③正确．

【总结】考查长方体中每个面的特征及面与面之间的关系．

【例5】 如图，已知长方体 ABCD-EFGH．这个长方体中与棱 HE 平行的平面是____________，与棱 HE 垂直的平

面是____________．

【难度】★★

【答案】平面 ABCD、BCGF；平面 ABFE、平面 DCGH．

【解析】长方体中与任何一条棱平行的面有两个，与任何

E

H

D

F

G

C

一条棱垂直的面也有两个．

【总结】考查长方体中棱与面的位置关系．

A

B

【例6】 已知一个长方体的长、宽、高的比是 3 :

 2 :

 1，它的所有棱长的和是 72 cm，那么这个长方体的体积是______

cm3 ．

【难度】★★

【答案】162cm3 ．

【解析】设长、宽、高分别为 3x、2x、x，则 4 （x + 2 x + 3x ） = 72 ，

解得：

 x = 3 ，∴长、宽、高分别为 9、6、3，

∴体积为 9 ⨯ 6 ⨯ 3 = 162cm3．

【总结】考查长方体的体积的计算．

4

模块二：

相交线与平行线

知识精讲

一、 邻补角

1、邻补角的概念：

两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为

邻补角．如图， ∠1 与 ∠2 有一条公共边 OD，它们的另一条边 OA、OB 互为反向延长线，则 ∠1 与 ∠2 互为邻补

角．

D

A

1    2

O

B

2、若 ∠1 与 ∠2 互为邻补角，则 ∠1 + ∠2 = 180︒ ．

3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．

二、 对顶角

1、对顶角的概念：

两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互

为对顶角．如图， ∠3 与 ∠4 有一个公共顶点 O，并且 ∠3 的两边 OB、OC 分别与 ∠4 的两边 OA、OD 互为反向

延长线，则 ∠1 与 ∠2 互为对顶角．

2、对顶角相等．

三、 垂线

A              3

D

C

1、垂线的概念：

如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们

的交点叫做垂足．

2、垂直的符号：

记作：

“⊥”，读作：

“垂直于”，如：

 AB ⊥ CD ，读作“AB 垂直于 CD”．

注：

垂直是特殊的相交．

3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．

简单地说：

过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直．

4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．

5、点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．

如果一个点在直线 l 上，那么就说这个点到直线 l 的距离为零．

5

四、 同位角、内错角、同旁内角

若直线 a，b 被直线 l 所截：

（1）同位角：

两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．

如：

 ∠1和 ∠5 ．

l

2 1

3 4

a

6 5

7 8

b

（2）内错角：

两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．如：

∠3 和 ∠5 ．

（3）同旁内角：

两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内

角．如 ∠3 和 ∠6 ．

注意：

三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系．

五、 平行线

1、平行线的定义：

同一平面内不想交的两条直线叫做平行线．“平行”用符号“//”表示．

2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

3、平行线的判定：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简单地说，同位角相等，两直线平行．

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简单地说，内错角相等，两直线平行．

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简单地说，同旁内角互补，两直线平行．

4、平行线的性质：

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

简单地说：

两直线平行，同位角相等．

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

简单地说：

两直线平行，内错角相等．

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；

简单地说：

两直线平行，同旁内角互补相等．

（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平

行线间的距离．

6

例题解析

【例7】 如图， ∠CEB 的邻补角为 ______， ∠CEB 的对顶角为 ______；在图中，找出一对同位角，可以是 ______

和______，找出一对同旁内角，可以是______和______．

【难度】★

【答案】∠CEA、∠BED；∠AED；∠CBE 和∠FEA；∠CBE 和∠FEB 等．

【解析】同位角像字母 F，同旁内角像字母 U．

【总结】考查三线八角的基本概念．

A

F           C

E            B

D

【例8】 在同一平面中，如果直线 a ⊥ b ， b ⊥ c ，那么直线 a 与 c 的位置关系是______；如果直线 a // b， c ⊥ a ，

那么直线 b 与 c 的位置关系是______．

【难度】★

【答案】平行；垂直．

【解析】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．

【总结】考查同一平面内直线间的位置关系．

【例9】 如图，已知 AB // CD，BF 与 CD 相交于点 E，如果 ∠DEF = 46︒ ，那么 ∠B = ______．

【难度】★

【答案】134°．

A

B

【解析】∵∠BEC=∠DEF=46°（对顶角相等）

又∵AB∥CD，

∴∠B=180° - ∠BEC=180° - 46°=134°．

C

E

D

F

【总结】考查平行线的性质及对顶角性质的综合运用．

【例10】下列说法正确的是（）

A．直线外一点到这条直线的距离是这点到这条直线的垂线段

B．同位角相等

C．如果两个角互补，那么这两个角是邻补角

D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

【难度】★★

【答案】D

【解析】A、直线外一点到这条直线的距离这点到这条直线的垂线段的长度，故错误；

B、两直线平行，同位角相等，错误； C、邻补角不仅互补而且有公共边，错误；

故选 D．

【总结】考查基本概念及直线间的位置关系．

【例11】已知直线 l // l ，直线 l 分别与直线 l 、直线 l 相交；点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 上，点 A、B 在直线

1231212

7

l 的同侧；点 C 在直线 l 上，且点 C 不在 l 与 l 上．设直线 AC 与 l 所夹的锐角为 α ，直线 BC 与 l 所夹的

331212

锐角为 β ．试问 α 、 β 、 ∠ACB 之间有怎样的数量关系？

证明你的结论．

【难度】★★★

【答案】见解析．l3

【解析】

（1）当点 C 在直线 l 与 l 之间时，如图 1，Aα

12

过点 C 作 CE∥ l ，C

1

l1

E

则 ∠ACE = α ， ∠BCE = β ，

又 ∠ACB = ∠ACE + ∠BCE ，

∴ ∠ACB = α + β ；

B  β        l2

图 1

12

①当点 C 接近 l 时，如图 2，

2

A  α

l1

过点 C 作 CE∥ l ，则 ∠ACE = α ， ∠BCE = β ，

1

β

又 ∠ACB = ∠ACE - ∠BCE ，CB

∴ ∠ACB = α - β ；E

图 2

②当点 C 接近 l 时，

1

同理可得：

 ∠ACB = β - α ．

【总结】本题综合性较强，注意考查平行线的性质及角的和差的综合性运用，注意要分类讨

论．

8

三角形（按边分） ⎨       ⎧底边和腰不等的等腰三角形 ．

模块三：

三角形

知识精讲

一、 三角形的边与角

1、三角形的三边关系：

三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

2、三角形的高、中线、角平分线：

①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；

②联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；

③三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

3、三角形的内角和：

三角形的内角和等于 180°．

※一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角．

4、三角形的外角：

（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

（2）三角形的外角和定义：

对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外

角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于 360°．

5、三角形的分类

⎧直角三角形（有一个内角为直角）

⎪

⎩

⎧不等边三角形

⎪

⎪等腰三角形 ⎨

⎩⎩等边三角形

二、 全等三角形

1、全等形的概念：

能够重合的两个图形叫做全等形．

2、全等三角形的性质和判定方法：

一般三角形

边角边（S．A．S．）

判定角边角（A．S．A．）

角角边（A．A．S．）

直角三角形

具备一般三角形的判定方法

斜边和一条直角边对应相等（H． ．）

边边边（S．S．S．）

性质对应边相等，对应角相等

对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等

注：

①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；

9

⎪

②全等三角形面积相等．

3、证明题的思路：

⎧⎧找夹角（SAS）

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎧若边为角的对边，则找任意角（AAS）

⎪

⎪⎪⎧找已知角的另一边（SAS）

⎨已知一边一角⎨⎪

⎪⎪边为角的邻边 ⎨找已知边的对角（AAS）

⎩⎩

⎪

⎪

⎪⎧找两角的夹边（ASA）

⎪已知两角⎨

⎩⎩找任意一边（AAS）

三、 等腰三角形

1、等腰三角形的两个底角相等，简称：

等边对等角．

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：

等腰三角形三线合一．

3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线．

4、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰

三角形．简称：

等角对等边．

四、 直角三角形

1、直角三角形全等的判定：

斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（H．L．）．

2、直角三角形的性质：

（1）两个定理

定理 1：

直角三角形的两个锐角互余；

定理 2：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

（2）两个推论

推论 1：

在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

推论 2：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°．

3、勾股定理

（1）如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有 a2 + b2 = c2 ，即直角三角形两直角边的

平方和等于斜边的平方．

（2）勾股定理逆定理：

如果三角形的三边满足a2 + b2 = c2 ，那么三角形是直角三角形．

例题解析

10

【例12】（2014 学年· 杨浦区二模· 第 4 题）下列命题中，真命题是（）

A．周长相等的锐角三角形都全等

C．周长相等的钝角三角形都全等

B．周长相等的直角三角形都全等

D．周长相等的等腰直角三角形都全等

【难度】★

【答案】D

【解析】A、B、C 不一定全等，D、周长相等的等腰直角三角形可以由“SSS”判断出全等．

【总结】考查全等三角形的概念及判定方法的运用．

【例13】（2015 学年· 闸北区二模· 第 5 题）如图，已知 ∠BDA = ∠CDA ，则不一定能使A

∆ABD ≌ ∆ACD 的条件是（）

A． BD = CD

B． AB = AC    C． ∠B = ∠C    D． ∠BAD = ∠CAD

【难度】★

【答案】B

B         C

D

【解析】A、可以通过“SAS”判断出全等；C、可以通过“AAS”判断出；D、可以通过“ASA”判断出．

【总结】考查全等三角形的判定．

【例14】（2015 学年· 徐汇区二模· 第 6 题）下列命题中假命题是（）

A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等

B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

【难度】★

【答案】A

【解析】可通过画图举出反例．

【总结】考查全等三角形的判定，注意当出现三角形边上的高时，通常都要分两种情况讨论．

【例15】（2014 学年· 静安区、青浦区二模· 第 6 题）三角形的内心是（）

A．三边垂直平分线的交点

C．三条高所在直线的交点

B．三条角平分线的交点

D．三条中线的交点

【难度】★

【答案】B

【解析】A 是外心；C 是垂心；D 是重心．

【总结】考查三角形中四心的基本概念．

【例16】（2015 学年· 静安区二模· 第 15 题）在 Rt∆ABC 中，∠C = 90︒ ，∠A 、∠B 的平分线相交于点 E，那么 ∠AEB

的度数是______．

【难度】★

【答案】135°．

11

【解析】∠AEB=180° - ∠BAE - ∠ABE=180° - 1 （∠A + ∠B ） =180° - 45°=135°．

2

【总结】考查三角形内角和及其外角性质的综合应用．

【例17】（2014 学年· 静安区、青浦区二模· 第 13 题）如图，在 Rt∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ，AB = 2AC，点 E 在中线

CD 上，BE 平分 ∠ABC ，那么 ∠DEB 的度数是______．

【难度】★

A

【答案】45°．

【解析】∵AB=2AC， ∠ACB = 90︒ ，∴∠ABC=30°．

C

E

D

B

又∵CD 为中线，∴BD = CD∴∠BDC=120°．

又∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE=15°，

∴∠DEB=180° - ∠BDC - ∠DBE=45°．

【总结】本题主要考查直角三角形的性质定理的推论及三角形内角和的综合运用．

【例18】（2014 学年· 徐汇区二模· 第 4 题）如图，已知∆ABC 中， ∠ACB = 90︒ ，CH、CM 分别是斜边 AB 上的高和

中线，则下列结论不正确的是（）

A． AB2 = AC 2 + BC 2

B． CH 2 = AH HB      C． CM = 1 AB

1

2

AB

【难度】★★

【答案】D

【解析】A、勾股定理，正确；B、射影定理，正确；

C、直角三角形斜边中线等于斜边一半，正确；

A

C

M  H       B

D、只有当∠A=30°时才成立，错误．

【总结】考查三角形的基本性质及其推论的运用．

【例19】（2014 学年· 徐汇区二模· 第 16 题）如图，DE 为 ∆ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且 ∠AFB 为直角，若 AB=

8，BC= 10，则 EF 的长为______．

【难度】★★

【答案】1

A

【解析】∵DE 为中位线，∴ DE =

1

2

BC = 5 ．

D

F  E

∵DF 为直角三角形 ABF 斜边 AB 上的中线，

B

C

1

2

【总结】考查直角三角形的性质及中位线定理的综合运用．

【例20】如图，网格中小正方形的边长均为 1， ∆ABC 的三个顶点在格点上．C

12

B

A

求证：

 ∆ABC 是等腰直角三角形．

【难度】★★

【答案】略．

【解析】由图易知：

 AC = BC = 5 ， AB = 10 ，

∴ AC 2 + BC 2 = AB2 ，∴△ABC 为等腰直角三角形．

【总结】考查勾股定理及其逆定理的综合运用．

【例21】如图，已知 Rt∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AD 平分 ∠A ，交边 BC 于点 D，AB = 10，

AC = 6，求点 D 到边 AB 的距离．

【难度】★★

【答案】3．

【解析】过 D 作 DE⊥AB 于点 E，

则 DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等）

A

E

C                   B

D

所以 AE=AC=6，

设 DC=DE=x，则 DB=8 - x，BE=4，在 Rt BDE 中，由勾股定理得：

x2 + 42 = （8 - x ）2 ，解得：

x=3，

∴点 D 到边 AB 的距离为 3．

【总结】考查角平分线性质定理及勾股定理的综合运用．

【例22】如图，等边三角形 ABC 的两条角平分线 BD、CE 相交于点 P，BP = 10 cm，求 PD 的长．

【难度】★★

【答案】5cm．

【解析】∵△ABC 为等边三角形，CE 平分∠ACB

∴∠ACE=30°，又∵BP=10cm，∴CP=10cm

E

A

P    D

1

2

【总结】考查等边三角形及直角三角形的性质的综合运用．

B                   C

【例23】（2014 学年· 崇明县区二模· 第 15 题）如图，已知 ∆ABC 和