考点5：
求函数的值域
1．求值域的几种常用方法
（1）配方法：
对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数，可变为解决
（2）基本函数法：
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
如函数就是利用函数和的值域来求。
（3）判别式法：
通过对二次方程的实根的判别求值域。
（4）分离常数法：
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数的值域，因为
（5）利用基本不等式求值域：
如求函数的值域
（6）利用函数的单调性求求值域：
如求函数的值域
（7）图象法：
如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。
（－48）
（9）对勾函数法像，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：
（1）如，求
（1）单调区间
（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x[-1,0）（0,4],求值域
（2）如，求
（1）[3,7]上的值域
（2）单调递增区间（x0或x4）
（3）如，
（1）求[-1,1]上的值域
（2）求单调递增区间
函数的单调性
（一）知识梳理
1、函数的单调性定义：
设函数的定义域为，区间，如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间。
如果用导数的语言来，那就是：
设函数，如果在某区间上，那么为区间上的增函数；如果在某区间上，那么为区间上的减函数；
2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
（1）①定义法（取值――作差――变形――定号）；②导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，
（2）在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意,型函数的图象和单调性在解题中的运用：
增区间为，减区间为.
（3）复合函数法：
复合函数单调性的特点是同增异减
（4）若与在定义域内都是增函数（减函数），那么在其公共定义域内是增函数（减函数）。
3、单调性的说明：
（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；
（2）函数单调性定义中的，有三个特征：
一是任意性；二是大小，即；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；
（3）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和。
4、函数的最大（小）值
设函数的定义域为，如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值；如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。
（二）考点分析
考点1函数的单调性
题型1：
讨论函数的单调性
例1．
（1）求函数的单调区间；
（2）已知若试确定的单调区间和单调性．
解：
（1）单调增区间为：
单调减区间为，
（2），，
令，得或，令，或
∴单调增区间为；单调减区间为．
例2.判断函数f（x）=在定义域上的单调性.
解：
函数的定义域为{≤-1或x≥1},则f（x）=,
可分解成两个简单函数.f（x）=2-1的形式.当x≥1时，u（x）为增函数，为增函数.
∴f（x）=在［1，+∞）上为增函数.当x≤-1时，u（x）为减函数，为减函数，
∴f（x）=在（-∞1］上为减函数.
题型2：
研究抽象函数的单调性
例1．已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，
（1）求证：
是偶函数；
（2）在上是增函数；（3）解不等式．
解：
（1）令，得，∴，令，得∴，
∴，∴是偶函数．
（2）设，则
∵，∴，∴，即，∴
∴在上是增函数．
（3），∴，
∵是偶函数∴不等式可化为，
又∵函数在上是增函数，∴，解得：
，
即不等式的解集为．
题型3：
函数的单调性的应用
例1．若函数在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数的取值范围是（答：
））；
例2．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围（答：
）；
考点2函数的值域（最值）的求法
求最值的方法：
（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：
先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。
（3）基本不等式法：
当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。
（4）导数法：
当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：
画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。
题型1：
求分式函数的最值
例1．（2007上海）已知函数当时，求函数的最小值。
[解析]当时，
，。
在区间上为增函数。
在区间上的最小值为。
题型2：
利用函数的最值求参数的取值范围
例2．（2008广东）已知函数若对任意恒成立,试求实数的取值范围。
[解析]在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3，即
函数的奇偶性
（一）知识梳理
1、函数的奇偶性的定义：
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数.奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数.偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性.具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
2.函数的奇偶性的判断：
（1）可以利用奇偶函数的定义判断
（2）利用定义的等价形式,，（）
（3）图像法：
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称
3．函数奇偶性的性质：
（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
（2）若奇函数定义域中含有0，则必有.故是为奇函数的既不充分也不必要条件。
（3）定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。
如设是定义域为R的任一函数，，。
（4）复合函数的奇偶性特点是：
“内偶则偶，内奇同外”.
（5）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
（二）考点分析
考点1判断函数的奇偶性及其应用
题型1：
判断有解析式的函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）1|－－1|；
（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
题型2：
证明抽象函数的奇偶性
例1.（09年山东）定义在区间上的函数f（x）满足：
对任意的，都有.求证f（x）为奇函数；
[解析]令x=y=0，则f（0）+f（0）=∴f（0）=0
令x∈（－1,1）∴－x∈（－1,1）∴f（x）+f（－x）=f（）=f（0）=0
∴f（－x）=－f（x）∴f（x）在（－1，1）上为奇函数
例2．
（1）函数，，若对于任意实数，都有，求证：
为奇函数。
（2）设函数定义在上，证明是偶函数，是奇函数。
考点2函数奇偶性、单调性的综合应用
例1．已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
[解析]是定义在上奇函数对任意有
由条件得=
是定义在上减函数，解得
实数的取值范围是
例2．设函数对于任意的，都有，且时,
（1）求证是奇函数；
（2）试问当时，是否有最值？
如果有，求出最值；如果没有，说出理由。
例3．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，并在区间（－∞,0）内单调递增，f（2a21）[解析]设0∴f（－x2）∴f（x2）由f（2a21）2a21>3a2－2a+1.解之，得0又a2－3a+1=（a－）2－.
∴函数（）的单调减区间是
结合0函数的周期性
（一）知识梳理
1．函数的周期性的定义：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个
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