平行四边形判定和性质.docx
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平行四边形判定和性质
平行四边形的性质和判定
Ø知识解读
1、平行四边形定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形对角线平分;
(4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点;
(5)
的周长
分别是
两邻边的长);
(6)
分表示平行四边形的底和高).
3、平行四边形的判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义);
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;
4、平行四边形知识的运用:
(1)直接运用平行四边形特征解决某些问题,如求角的度数,线段的长度,证明角相等或互补,证明线段相等或倍分等.
(2)识别一个四边形为平行四边形,从而得到两直线平行.
(3)先识别—个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的特征去解决某些问题.
5、平行四边形基本图形:
(1)与面积相关
①如图①,
.
②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.
如图②,
与
有公共边
,则
经典例题
类型一平行四边形判定
例题1.在四边形ABCD中,∠A和∠B互补,∠A=∠C,那么四边形ABCD是平行四边形吗?
试说明理由.
例题2.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,AO=CO,求证:
四边形ABCD是平行四边形.
例题3.如图,在平行四边形ABCD中,过点D作DE⊥AB于点E,点F在边CD上,且FC=AE,连接AF,BF.
(1)试判断四边形DEBF的形状.并说明理由;
(2)若CF=6,BF=8,DF=10,求证:
AF平分∠DAB.
例题4.如图,在△ABC中,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交边AB于点F,连接AD,CF.
(1)求证:
四边形AFCD是平行四边形;
(2)若AF=2BF,四边形AFCD的面积为S1,四边形FBCE的面积为S2,求S1:
S2.
例题5.如图所示,在▱ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:
四边形BEDF是平行四边形.
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四边形ABCD的周长.
例题6.如图,在▱ABCD中,点E、F在对角线BD上,且BE=DF,连接AE、AF、CE、CF.求证:
四边形AECF是平行四边形.
例题7.如图,已知在平行四边形ABCD中,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:
BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC、DE,求证:
四边形ACED是平行四边形.
例题8.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
类型二性质应用
例题1.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线分别交AD于点E,F,BE,CF相交于点G.
(1)求证:
BE⊥CF;
(2)求证:
AF=DE.
例题2.如图,在▱ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,且BE=DF.
(1)求证:
AE=CF;
(2)若AE平分∠BAD,BE=3,求CD的长.
例题3.已知:
如图,▱ABCD中,E,F是AB,CD上两点,且AE=CF.求证:
DE=BF.
例题4.如图所示,在▱ABCD中,点E,点F分别是AD,BC的中点,连接BE,DF.
(1)求证:
四边形BEDF是平行四边形.
(2)若BE平分∠ABC,AB=3,求平行四边形ABCD的周长.
例题5.如图,在▱ABCD中,E、F为BD上两点,BF=DE.求证:
AE∥CF.
例题6.已知:
在▱ABCD中,E、F是对角线AC上的两点,且AE=CF,对角线AC、BD交于点O.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)BF∥DE.
课后练习:
1.如图,已知平行四边形ABDC中,E,F是对角线BC上两点,且满足BF=CE.求证:
AF∥DE.
2.如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
3.如图,在▱ABCD中,点E、F分别在边CD、AB上,且满足CE=AF.
求证:
△ADE≌△CBF.
4.如图,四边形ABCD中,AB=CD,∠1=∠2,求证:
四边形ABCD是平行四边形.