概率统计学习资料王玉宝H.docx
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概率统计学习资料王玉宝H
概率论与数理统计
学习资料
湖北经济学院数学课部
版权所有翻版必究
2015.6
知识点概要
第一章事件与概率
1.随机事件的关系和运算（和、积、差、对立/逆运算，包含、互斥/互不相容）
----结合集合的运算关系和韦恩图掌握；
2.计算概率的古典概型与几何概型，概率的公理化定义及相关性质与公式（包括加法公式、减法公式、对立事件的概率的关系）；
3.条件概率的计算、乘法公式、贝叶斯公式与全概率公式；
4.独立的定义、性质与应用。
第二章一维随机变量的分布（分布函数、分布律与密度函数）
1.0-1分布、二项分布与泊松分布的分布律公式、期望方差公式及概率计算；
2.均匀分布、指数分布、正态分布的密度函数、期望方差公式及概率计算；
3.分布函数的含义及性质，会利用性质求分布函数表达式中的参数，会利用分布函数求概率，会对分布函数与分布律、密度函数相互转化；
4.一维离散型随机变量（简单），掌握分布律的性质及其与分布函数的互化，会利用分布律计算期望方差；
5.一维连续型随机变量（重要），掌握密度函数的性质，会利用性质求解未知参数，会利用密度函数求概率、分布函数、期望与方差；
6.一维随机变量函数的分布。
第三章二维随机变量的分布（分布函数、分布律与密度函数）
1.二维随机变量分布函数的含义及性质，会利用性质求分布函数表达式中的参数，会利用分布函数求矩形区域内的概率；
2.对二维离散型随机变量（简单），了解其联合分布律的形式、会利用联合分布律求边缘分布律、概率、期望、方差、协方差，会讨论独立性；
3.对二维连续型随机变量（重要），了解其联合密度函数的形式、会利用联合密度求边缘密度、概率、期望、方差、协方差，会讨论独立性。
第四章数字特征
1.期望、方差、协方差的定义、计算与性质。
第五章中心极限定理
1.两个中心极限定理的结论（简化）与应用。
第六章数理统计初步
1.统计量的定义（会识别统计量）；
2.三大分布的定义（会识别某个统计量是何种分布）；
3.四个常用结论。
第七章参数估计
1.求矩估计和极大似然估计，判断无偏性。
1
练习题
一、单项选择题
1．A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是（
）
（A）（AB）BAB
（B）（AB）AB
（C）（AB）ABABAB
（D）（AB）C（AC）（BC）
2．设A、B、C为三个事件，P（AB）0且P（C|AB）1，则有（）
（A）P（C）P（A）P（B）1.
（B）P（C）P（AB）.
（C）P（C）P（A）P（B）1.
（D）P（C）P（AB）.
3.下列各项中表示A,B,C三事件中至少有一个发生的是（
）
（A）ABC
（B）ABACBC
（C）ABC
（D）ABC
4．设事件A与B互不相容，且P（A）0,P（B）0,则有（）
（A）
P（AB）P（A）P（B）
（B）
P（AB）P（A）P（B）
_
P（AB）P（A）
（C）
AB
（D）
5．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是（
）
（A）若P（C）1，则AC与BC也独立
（B）若P（C）1，则AC与B也独立
（C）若P（C）0，则AC与B也独立
（D）若CB，则A与C也独立
6．设随机变量X的概率密度为f（x）
1
e
（x2）2
x
4
2
且YaXb~N（0,1），则在下列各组数中应取（
）
（A）a1/2,b1.
（B）a
/2,b
2
2.
（C）a1/2,b1.
（D）a
/2,b
2
2.
7．设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为
X
0
1
Y
0
1
则有（
）
P
0.4
0.6
P
0.4
0.6
（A）P（XY）0.
（B）P（XY）0.5.
（C）P（XY）0.52.
（D）P（XY）1.
8.X~B（n,1），若EX=2，则DX=（
）
3
（A）
1
（B）2
（C）
4
（D）
8
3
3
3
3
2湖北经济学院数学课部编，版权所有，未经允许不得翻印！
K（4x2x
2）,1x2
则K=（
）
9.设随机变量X的概率密度为f（x）=
0
其它
（A）5
（B）1
（C）
3
（D）4
16
2
4
5
0
x0
1
0x1
2
，则PX1
（
）
10.已知随机变量X的分布函数为F（x）
2
1x3
3
1
x3
（A）1
（B）1
（C）
2
（D）
1
2
3
6
11．设随机变量X~N（0,1）,
X的分布函数为（x），则P（|X|2）的值为（
）
（A）2[1
（2）].
（B）2
（2）1.
（C）2
（2）.
（D）12
（2）.
12.离散型随机变量X服从参数p
1的01分布，Fx是其分布函数，则F1=（）
3
（A）0
（B）
1
（C）2
（D）1
3
3
13．设随机变量X1,X2的分布函数分别为F1（x）,
F2（x），若F（x）aF1（x）bF2（x）也
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（）
（A）a3
b
2.
（B）a
2
b
2.
5
5
3
3
（C）a
1,b
3.
（D）a
1
b
3.
2
2
2
2
14．设随机变量X的分布函数为FX
（x），则Y35X的分布函数为FY（y）（）
（A）FX（5y3）.
（B）5FX（y）3.
（C）F（y3）.
（D）1F（3y）.
X
5
X
5
Xi
1
0
1
15．设随机变量X1,
X2的概率分布为
1
1
1i1,2.
P
4
2
4
且满足P（X1X2
0）1，则X1,X2的相关系数为X1X2
（）
（A）0.
（B）1.
（C）
1.
（D）1.
4
2
16．设随机变量X~U[0,
6],Y~B（12,
1）且X,Y
相互独立，根据切比
4
雪夫不等式有P（X3YX3）=（
）
（A）0.25.
（B）5
.（C）0.75.
（D）
5.
12
12
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3
17.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
（X,Y）
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（2,1）
（2,2）
（2,3）
P
1
1
1
1
6
9
18
3
若X,Y独立，则,的值为（
）
（A）
5,
1.
（B）
1
2.
18
18
9
9
（C）
1,
1
（D）
2
1.
6
6
9
9
18．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（）
（A）X与Y独立.
（B）D（XY）DXDY.
（C）D（XY）DXDY.
（D）D（XY）DXDY.
19.若随机变量X、Y相互独立，方差分别为8和6，则D（X-2Y）=（
）
（A）0
（B）32
（C）-24
（D）48
20．对任意随机变量X，若EX存在，则E[E（EX）]等于（
）
（A）0.
（B）X.
（C）EX.
（D）（EX）3.
21..设Xi
0,
事件A不发生
（i1,2,100）,且P（A）=0.8,X1,X2,,X100相互独立,令
事件A发生
1,
100
Y=1Xi,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（
）
100i1
（A）
N（0,1）
（B）
N（0.8,0.0016）
（C）N（0.8,0.16）（D）
N（0.8,0.4）
22．设总体X~N（,2），其中,2是未知参数，X1,X2,,Xn为取自于总体X的样
本，则如下为统计量的是（
）
n
n
X
（A）
1Xi（B）
1
（Xi）2
（C）
（D）
ni1
ni1
23．设总体X
~N（,2），其中,2是未知参数，X1,X2,,Xn为取自于总体X的样
X
本，则n
服从分布（
）
0,2
2
（A）N
1
（B）N
0,1
（C）N
（D）N
24．设随机变量X~2
（2）,Y~2（3），且X,Y相互独立，则
3X所服从的分布为（）
2Y
（A）F（2，2）
（B）F（2，3）
（C）F（3，2）
（D）F（3，3）
25．设总体X的数学期望为,X1,X2,,Xn为来自X的样本，则下列结论中
正确的是（
）
（A）X1
是的无偏估计量.
（B）X1是的极大似然估计量.
（C）X1
是的相合（一致）估计量.（D）X1不是的估计量.
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二、填空题
1．设P（A）0.5,P（B）0.6,P（B|A）0.8，则A,B至少发生一个的概率为_________.2．设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P（A）P（B）0.5，则A,B至少有一个不发
生的概率为__________.
3．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为1615，则该射手的命中
率为__________.
4．设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且P（A）P（B）0.5，P（C）0.2，则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为
___________.
5．甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个
球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.
6．设随机变量X服从泊松分布，且P（X1）4P（X2），则P（X3）______
7．设X服从泊松分布，若EX26，则P（X1）___________.
Ax2
0x1
，则A=___________.
8．设连续型随机变量X的密度函数为f（x）
0
其他
9．设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量YX2在区间（0,4）内的概率
密度为fY（y）_________.
10．设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，P（X1）e2，则
_________，P{min（X,Y）1}=_________.
2x,
0x1,
现对X进行四次独立重复观察，
11．设随机变量X的概率密度为f（x）
0,
其它,
用Y表示观察值不大于0.5的次数，则EY2___________.
1
（x
1）,
0x2,
4
12．设随机变量X的概率密度函数为f（x）
今对X进行8次独立
0
其他.
观测，以Y表示观测值大于1的观测次数，则DY___________.
13．元件的寿命服从参数为1的指数分布，由5
个这种元件串联而组成的系统，能够正
100
常工作100小时以上的概率为_____________.
14．设随机变量X~N（10，0.022），（2.5）0.9938，则X落在区间（9.95，10.05）上的概率
为____________.（其中（x）为标准正态分布函数）
15．设X是一随机变量，且E（X）=5，D（X）=9，问对Y=aX+b（a，b为常数），当a=，
b=时，E（Y）=0，D（Y）=1.
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5
16．已知D（X）=9，D（Y）=4，D（XY）16，则XY____________.17．设二维离散型随机变量（X,Y）的分布列为
（X,Y）（1,0）
（1,1）（2,0）（2,1）
P
0.4
0.2
a
b
若EXY0.8，则Cov（X,Y）____________.
18．设X1,X2,,X17是总体N（,4）的样本，S2
是样本方差，若P（S2
a）0.01，则
a____________.
（注：
02.01（17）33.4,02.005（17）35.7,
02.01（16）32.0,
02.005（16）34.2）
（1）x,
0x1,
1.
19．设总体X的概率密度为f（x）
0,
其它
X1,X2,,Xn是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.
20．设X1,X2,,X17是总体N（,4）的样本，S2
是样本方差，若P（S2
a）0.01，则
a____________
（注：
02.01（17）33.4,02.005（17）35.7,02.01（16）32.0,02.005（16）34.2）
21.设X
X
...X
n
为正态总体N（u,2）的一个样本，X~N（,2
），则
2
n
（X）
n~______________分布.
S
三、解答题
1．已知随机事件A发生的概率p（A）=0.5,B发生的概率为p（B）=0.6,条件概率p（B︱A）=0.8，求p（A∪B）。
2．设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，现在从由A和B的产品分别占
60%和40%的一批产品中任取一件，发现是次品，求该次品属于A生产的概率？
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3．已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求
（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。
4．设有两箱同类零件，第一箱内装有40件，其中15件是一等品；第二箱内装有30件，其
中10件是一等品，现将两箱零件混放在一起，从中任意挑出一件，试求：
（1）取出的零件是一等品的概率;
（2）如果取出的零件是一等品，求他属于第一箱的概率.
5．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，且概率都是52，设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数和数学期望.
6．设随机变量服从几何分布，其分布列为
P（Xk）（1p）k1p，0p1,k1,2,，求EX与DX
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7
7．设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，
96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以Y表示成绩在60分至84分
之间的人数，求
（1）Y的分布列.
（2）EY和DY.（
（2）0.977,
（1）0.8413）
８．已知离散型随机变量X的分布列为
X2
1
0
1
3
P
1
1
1
1
11
，求YX2的分布列.
5
6
5
15
30
9．设连续型随机变量X的分布函数为
bex,
x0
F（x）
0,
x0
试求：
⑴常数b，⑵概率密度f（x），⑶P（ln2xln3）；（4）EX,DX。
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10．设随机变量X的概率密度为：
Asinx,0x/2f（x）
0,其它
试求：
（1）常数A；
（2）X的分布函数；
（3）概率P（/4X/4）；（4）EX,DX。
11．设随机变量X具有密度函数f（x）
1e|x|
，＜x＜，
2
求X的数学期望和方差.
12．设随机变量X的概率密度为
ax1,
0x2,
f（x）
0,
其它.
求
（1）常数a；
（2）X的分布函数F（x）；
（3）P（1X3）.
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9
13．设二维随机变量（X,Y）取数组（1,-1）、（0,1）、（1，1）、（0,-1）的概率分别为
a、b、13、16．试求：
①（X,Y）的联合分布律；
②确定常数a和b，使X和Y相互独立；
③（X,Y）分别关于X和Y的边缘分布律。
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14．二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布列如下：
X
0
1
2
Y
0
0.2
0.1
0.4
1
0
0.1
0.2
试求：
（1）X，Y的边缘分布律
（2）求EX，EY，DX，DY
（3）
求PY1X2
（4）判定X与Y是否不相关，给出理由
（5）
判定X与Y是否独立，给出理由.
15．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：
cx2y,
x2y1,
f（x,y）
0,
其他.
试求
（1）系数c；
（2）X和Y的边缘密度函数；（3）判断X和Y是否相互独立.
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11
16．设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为：
cxy（0x1,0y1）,
f（x,y）
0（其他）.
试求
（1）系数c；
（2）X和Y各自的边缘密度函数；（3）XY
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17．设（X,Y）的概率密度为
e（xy）,
x0,Y0,
问X,Y是否独立？
f（x,y）
0,
其他.
18．设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，
（1）求X和Y的相关系数；
（2）问X,Y是否独立？
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