相交线与平行线复习.docx

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相交线与平行线复习

相交线与平行线

（一）

重点对顶角的概念及性质，垂线的概念及性质

难点角的计算

§知识点1邻补角与对顶角的概念

✧两条直线相交，得到四个角，其中有一条公共边的两个角互为________；而没有公共边的两个角叫做__________.两条直线相交所成的角中，如果有一个是_______，那么这两条直线互相垂直.

1、如图1，点O是直线AB上一点，∠AOD=120°，∠AOC=90°，OE平分∠BOD，

则图中的互为邻补角的有对，互补的角有对.

第1题图第2题图第3题图第4题图

§知识点2邻补角与对顶角的性质

✧__________相等，__________互补。

垂线性质：

①过一点______________一条直线与已知直线垂直；

②垂线外一点与直线内各点的连线中，_________________.

2、如图2，直线AB、CD相交于点O，且∠AOC比∠AOD小40°，则∠AOC和∠AOD

的度数分别为（）

A.100°和140°B.70°和110°C.60°和120°D.160°和200°

3、如图3，直线AB、CD相交于点O，若∠AOC与∠BOD的和为110°，则∠BOD的

度数为.

4、如图4，两直线相交，∠1:

∠2=2:

7，则∠1=_____，∠2=______，∠3=______，∠4=_______.

5、一个角是它的邻补角的2倍，则这个角等于度.

6、下列说法正确的是（）

A.对顶角相等B.相等的角是对顶角

C.不是对顶角的角不相等D.有公共顶点的角是对顶角

§综合点1对顶角、邻补角的综合计算

7、如图7，AB、CD相交于点O，∠AOD与∠BOC的和是236°，则∠AOC（）

A.62°B.118°C.72°D.59°

8、如图8，直线l1，l2，l3相交于一点，下列选项中，全对的一组是（）

A.∠1=90°，∠2=90°，∠3=90°，∠4=60°B.∠1=∠3=90°，∠2=∠4=30°

C.∠1=∠3=90°，∠2=∠4=60°D.∠1=∠3=90°，∠2=60°，∠4=30°

9、如图9，直线a，b，c相交于点O，∠1=37°42’，∠2=51°18’，则∠3_________.

§综合点2相交线与角平分线的综合计算

10、如图10，∠AOC与∠BOC是邻补角，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOC，则∠EOF=_______.

11、如图11，a，b，c相交于点O，若∠1=∠2，，3：

:

1=8:

1，求∠4的度数.

12、如图12，直线AB，CD，EF相交于点O，如果∠AOC=65°，∠DOF=50°.

（1）求∠BOE的度数；

（2）通过计算，你发现射线OA有什么特殊性？

13、如图13，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOF=3∠FOB，∠AOC=90°，求∠EOC的度数.

§拓展点1对顶角的对数与相交线的条数

①②③

14、观察下列各图，寻找对顶角：

（1）如图①，图中共有对对顶角；

（2）如图②，图中共有对对顶角；

（3）如图③，图中共有对对顶角；

（4）研究

（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有

条直线相

交于一点，则可形成对对顶角；

（5）2012条直线相交于一点，则可形成对对顶角.

15、如图15，已知三条直线AB、CD、EF两两相交于点P、Q、R，则图中邻补角共

有对，对顶角共有对.

§拓展点2方程思想与对顶角、邻补角性质结合

16、如图16，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两

个角，且∠BOE:

∠EOD=2:

3，则∠EOD=_______.

17、如图17，已知∠AOB与∠BOC互为邻补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC

内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数.

§综合点3垂线、角平分线与角的结合应用

18、如图18，OA⊥OB，OC⊥OD，∠AOD=4∠BOC，那么∠BOC=________.

19、如图19，点O在直线AB上，OC⊥AB，过O作直线DE平分∠BOC，则∠AOE=______，

∠COE=_______.

20、如图20，已知OA⊥OB，OC⊥OD，请计算∠AOC+∠DOB的度数.

21、如图21，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB，∠DOF=65°，求∠BOE和∠AOC的度数.

22、如图22，OA⊥OC，OB⊥OD，∠AOB=150°，求∠COD的度数.

相交线与平行线

（二）

重点三线八角的理解，平行线的性质及判定

难点应用平行线的性质和判定进行角度的计算或证明

§知识点1同位角、内错角和同旁内角

1、如图1所示，直线AD和BC被直线AB所截，则有∠1与∠2是角；其实，

∠2的同位角还有和

2、如图2所示，∠1与∠2是直线和被直线所截而形成的角.

3、如图3所示，AB与BC被AD所截得的内错角是和；DE与AC被

AD所截得的内错角是和；图中∠4的内错角有和.

4、如图4，直线AB，CD被EF所截，在∠1，∠2，∠3，∠4中，是同旁内角的是（）

A.∠1和∠2B.∠2和∠3C.∠1和∠4D.∠2和∠4

§综合点1同位角、内错角、同旁内角的综合应用

图①图②

5、如图①和②所示，

和

，

和

各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？

它们各是什么角？

§拓展点1数图中某种位置关系角的对数

6、如图6所示，直线

，则图中的同旁内角有（）

A.4对B.12对C.16对D.21对

7、如图7所示，，图中内错角有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

§知识点2平行线的判定定理

✧____________________，两直线平行（∠___=∠___，a∥b）

✧____________________，两直线平行（∠___=∠___，a∥b）

✧____________________，两直线平行（∠___+∠___=180°，a∥b）

8、如图8，

的条件是（）

A.

与

互补B.

C.

D.

9、如图9，可以得出DE∥BC的条件是（）

A.∠ACB=∠BADB.∠ABC=180°-∠BED

C.∠ABC=∠ADED.∠ACB=180°-∠BAD

§综合点2平行线的判定的综合应用

10、如图10，已知AB、CD相交于点O，∠A=∠1∠B=∠2，，求证：

AC∥BD.

11、如图11，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB，求证：

AB∥CD.

12、如图12，直线AB、CE相交于点D，且∠1+∠E=180°，求证：

AB∥EF.

13、如图13，已知AB⊥BC，DC⊥BC，∠1=∠2，请说明BE∥CF.

§拓展点2平行线中的说理与证明

14、如图，∵∠A=75°，∠BGE=75°（已知）

∴∠______=∠________

∴_______∥_________（）

又∵∠AGH=∠BGE（）

∠CHG=105°（已知）

∴∠AGH+∠CHG=180°，

∴______∥_______（）

15、如图，因为AC⊥BC，∠1+∠3=90°，

所以∠2=_________，

所以AB∥________（）

§知识点3平行线的性质

✧两直线平行，____________________（a∥b，∠___=∠___）

✧两直线平行，____________________（a∥b，∠___=∠___）

✧两直线平行，____________________（a∥b，∠___+∠___=180°）

✧平行公理：

经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行

✧推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

16、如图16，已知a∥b，∠1=80°，则∠2=_________.

17、如图17，已知∠1=92°，∠2=98°∠3=110°，则∠4=_______.

18、如图18，已知AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，则∠E=______.

19、如图19，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中相等的角共有（）

A.2对B.3对C.4对D.5对

20、如图20，若AB∥CD，则（）

A.∠1=∠2B.∠3=∠4C.∠1=∠3D.∠B+∠BAD=180°

§综合点3平行线性质与判定的综合应用

21、如图21，已知∠1=∠2，∠D=85°，则∠BCD=_______.

22、如图22，∠1与∠2互补，∠3=100°，则∠4=_______.

23、如图23，∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=140°，则∠4=_________.

24、如图24，AB∥CD，EG平分∠BEF，∠2=70°，则∠1=________..

§综合点4平行线的实际应用

25、如图25，已知从一只船上B点测得一灯塔A的方向是北偏东25°，那么从灯塔看这只船应在方向.

26、如图26，在A、B两地之间要修建一条公路，在A地测得公路的走向是北偏东80°，∠1=80°，现要求在A，B两地同时施工，那么在B地公路走向应按∠2等于多少？

【典型例题】

例1.已知AB∥CD，E在AB与CD之间，且∠B=40°，∠D=20°.求∠BED的大小.

例2.如图所示，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=（）

A.630°B.720°C.800°D.900°

变式如图，已知AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D.证明：

β=2α

例3.光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角．若已知∠1=35°，∠3=75°，则∠2=（）

A．50°B．55°C．66°D．65°

变式潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明，进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？

为什么？

【中考真题】

1.如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=________.

2.如图，给出下列四个条件：

①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD.其中能使AD∥BC的条件有（）

A.①②B.③④C.②④D.①③④

3.如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=______.

4.将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与∠1互余的角是__________.

5.如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有_____个；若∠1=50°，则∠AHG=______.

6.如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需再有下列条件中的（）即可.

A.∠1=∠2B.∠1=∠DFEC.∠1=∠AFDD.∠2=∠AFD

7.在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52°，现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（）

A.北偏西52°B.南偏东52°C.西偏北52°D.北偏西38°

8.如图，已知AB∥CD，那么∠A+∠C+∠AEC=（）

A.360°B.270°C.200°D.180°

9.如图，D、G是△ABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有（）

A.4对B.5对C.6对D.7对

10.如图，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=_______度.

11.如图，已知AB∥CD，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC=________.

12.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D’、C ’的位置，若∠EFB=65°，则∠AED’等于______.

13.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数为_______.

14.如图，CD∥BE，则∠2+∠3-∠1的度数等于（）

A.90°B.120°C.150°D.180°

15.如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（）

A.∠ABE=3∠DB.∠ABE+∠D=180°C.∠ABE-∠D=90°D.∠ABE=2∠D

16.如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D，求证：

∠A=∠F.

17.如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，试探索∠BEF与∠EFC之间的关系，并说明理由.

18.如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠ACB的的大小关系，并对结论进行证明.

19.如图，∠1=∠B，∠2=∠3，∠5=80°，求∠ADC的度数.

20.如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC，求证：

AB∥GF.

【探究创新】

1.两条相交直线所成的各角中（）

A.必有一个钝角B.必有一个锐角C.必有一个不是钝角D.必有两个锐角

2.如图，已知AB∥CD，∠BCD的三等分线是CP、CQ，且CR⊥CP.若∠B=78°，则∠RCE的度数为（）

A.66°B.65°C.58°D.56°

3.如图，已知FD∥BE，则∠ACD+∠ABH-∠BAC=（）

A.90°B.135°C.150°D.180°

4.如果一条直线上有两点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线的位置关系是_____________.

5.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE，垂足为E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED=______.

6.在同一平面内有2008条直线：

a1，a2，…，a2008，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…那么a1与a2008的关系是____________.

7.如图，已知CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，∠EDC+∠ECD=90°，那么∠A=_____.

8.如图，AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：

∠AFC=∠AEC

9.如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，求证：

DG∥BA.

10.如图，六条直线满足a1∥a2，a3∥a4，a1，a3，a5交于一点，则图中同旁内角的对数是多少？

11.平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°.

12如图，∠ABE+∠DEB=180°，∠1=∠2.求证：

∠F=∠G.

13.实验证明，平面镜反射光线的规律是：

射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射.若被b反射出的

光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=______，∠3=_______.

（2）在

（1）中，若∠1=55°，则∠3=______°，若∠1=40°，则∠3=______.

（3）由

（1）、

（2），请你猜想:

当两平面镜a、b的夹角∠3=_____时，可以使任何射到平面镜a上的

光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?