最新高等数学课后习题及参考答案第六章优秀名师资料.docx
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最新高等数学课后习题及参考答案第六章优秀名师资料
高等数学课后习题及参考答案（第六章）
高等数学课后习题及参考答案
（第六章）
习题6,2
1,求图6,21中各画斜线部分的面积:
（1）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[0～1],所求的面积为
31211122（）[].A,x,xdx,x,x,0,0326
（2）
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0～1],所求的面积为
11xxA,（e,e）dx,（ex,e）|,1～0,0
解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1～e],所求的面积为
eeeA,lnydy,ylny|,dy,e,（e,1）,1,1,,11
（3）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,3～1],所求的面积为
1322[（3）2],A,,x,xdx,,,33
（4）
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[,1～3],所求的面积为
31323223（23）（3）|,A,x，,xdx,x，x,x,,1,,133
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积:
1222
（1）与x，y,8（两部分都要计算）,y,x2
解:
222218222222（8）2828A,,x,xdx,,xdx,xdx,,xdx,1,,,,000023
8424,16cos2,tdt,,,，,033
42（22）6,A,,,S,,,213
1
（2）与直线y,x及x,2,y,x
解:
所求的面积为
213A,（x,）dx,,ln2,,1x2
xx（3）y,e～y,e,与直线x,1,
解:
所求的面积为
11x,x,A,（e,e）dx,e，,2,0e
（4）y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb（b>a>0）.
解
所求的面积为
lnblnbyyA,edy,e,b,a,lnalna
23,求抛物线y,,x，4x,3及其在点（0～,3）和（3～0）处的切线所围成的图形的面积,
解:
y,,,2x，4,
过点（0,,3）处的切线的斜率为4～切线方程为y,4（x,3）,
过点（3,0）处的切线的斜率为,2～切线方程为y,,2x，6,
3两切线的交点为～所求的面积为（,3）2
339222[43（43）][26（43]A,x,,,x，x,，,x，,,x，x,dx,,3,,042
p24,求抛物线y=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积,（,p）2
解
2y,y,,2p,
pp,p在点处～y～法线的斜率k,,1～,,1（,p）（,p）y22
p3p法线的方程为～即,y,p,,（x,）x,,y22
p9求得法线与抛物线的两个交点为和,（,p）（p,,3p）22法线与抛物线所围成的图形的面积为
2p3py3p1116p232A（y）dy（yyy）p,,,,,,,,,,3p,3p22p226p3
5,求由下列各曲线所围成的图形的面积,
（1）,,2acos,,
解:
所求的面积为
,1222222A,（2acos,）d,,4acos,d,,,a,,,,0,22
33
（2）x,acost,y,asint;
解
所求的面积为
0a332242A,4ydx,4（asint）d（acost）,4a3costsintdt,,,,002
,3246222,12a[sintdtsintdt]a,,,,,,008
（3）,=2a（2+cos,）
解
所求的面积为
22,,12222,A,[2a（2，cos,）]d,,2a（4，4cos,，cos,）d,,18,a,,002
6,求由摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）的一拱（0,t,2,）与横轴所围成的图形的面积,
解:
所求的面积为
2a,2a2a22A,ydx,a（1,cost）a（1,cost）dt,a（1,cost）dt,,,000
2a1，cost22,,a（1,2cost，）dt,3a,,02
7,求对数螺线,,ae（,,,,,,）及射线,,,所围成的图形面积,
解
所求的面积为
2,,11a,222,2,,2,,A,（ae）d,,aed,,（e,e）,,,,,,224
8,求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积,
（1）,,3cos,及,,1，cos,
解
33,,曲线,,3cos,与,,1，cos,交点的极坐标为～,由对称性～所求的面积为A（,）B（,,）2323
,11522322[（1cos）（3cos）],A,，,d,，,d,,,,,,02243
2
（2）及,,,cos2,,,2sin,
解
22曲线与的交点M的极坐标为M,所求的面积为,,cos2,,,2sin,（,）26
,1113,,2642[（2sin）cos2],Add,，,，,,,,,,,022626
x9,求位于曲线y=e下方～该曲线过原点的切线的左方以及x轴上
方之间的图形的面积,
x解设直线y,kx与曲线y,e相切于A（x～y）点～则有00
y,kx,00,x0y,e～,0x0,,y（x）,e,k0,
求得x,1～y,e～k,e,00
所求面积为
eeee111e2,（ln）ln,,,，,,yydyyyyydy,,000022eey
210,求由抛物线y,4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值,
解设弦的倾角为,,由图可以看出～抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
A,A，A01
,显然当时～A,0,当时～A,0,,,,,1122
因此～抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
aa8832A22axdxaxa,,,,0,0033
211,把抛物线y,4ax及直线x,x（x,0）所围成的图形绕x轴旋转～计算00
所得旋转体的体积,
解所得旋转体的体积为
xxx000222,V,,ydx,,4axdx,2a,x,2a,x0,,000
312,由y,x～x,2～y,0所围成的图形～分别绕x轴及y轴旋转～计算所得两个旋转体的体积,
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
2221128267,V,,ydx,,xdx,,x,,x,,00077
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
288223V,2,,,8,,xdy,32,,,ydyy,,00
83645332,,,,,y,,055
2/32/32/313,把星形线所围成的图形～绕x轴旋转～计算所得旋转体x，y,a
的体积,
解由对称性～所求旋转体的体积为
22aa2333V,2,ydx,2,（a,x）dx,,00
4224a3222333332（a3ax3axx）dxa,,,,，,,,,0105
H214,用积分方法证明图中球缺的体积为,,（）V,HR,3
RR222证明V,,x（y）dy,,（R,y）dy,,,,RHRH
R1H232,,,（,）,,（,）RyyHR,RH33
15,求下列已知曲线所围成的图形～按指定的轴旋转所产生的旋
转体的体积:
22
（1）～～绕y轴,y,xx,y
1111132225（）（）解,V,,ydy,,ydy,,y,y,,,,0002510
x
（2）～x,0～x,a～y,0～绕x轴,y,acha
aa1xau令,x22232解V,y（x）dx,achdx,achudu,,,,,000a
3311aa11,,u,uu,u2222,（e，2，e）du,（e，2u,e）,004422
3a,,,（2，sh2）4
22（3）～绕x轴,x，（y,5）,16
442222解V,,（5，16,x）dx,,（5,16,x）dx,,,,44
422,,4016,xdx,160,,0
（4）摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）的一拱～y,0～
绕直线y,2a,
2a,2a,22解V,,（2a）dx,,（2a,y）dx,,00
2,322,8a,,,[2a,a（1,cost）]da（t,sint）,0
2,323232,8a,,a,（1，cost）sintdt,7a,,,0
22216,求圆盘绕x,,b（b>a>0）旋转x，y,a
所成旋转体的体积,
aa222222解V,,（b，a,y）dy,,（b,a,y）dy,,,,aa
a2222,,8b,a,ydy,2ab,,0
17,设有一截锥体～其高为h～上、下底均为椭圆～椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B～求这截锥体的体积,
解建立坐标系如图,过y轴上y点作垂直于y轴的平面～则平面与截锥体的截面为椭圆～易得其长短半轴分别为
A,aB,b～,A,yB,yhh
A,aB,b截面的面积为,（A,y）,（B,y）,hh
于是截锥体的体积为
hA,aB,b1,V,（A,y）,（B,y）,dy,,h[2（ab，AB），aB，bA],0hh6
18,计算底面是半径为R的圆～而垂直于底面上一条固定直径的
所有截面都是等边三角形的立体体积,
解设过点x且垂直于x轴的截面面积为A（x）～
2由已知条件知～它是边长为的等边三角形R,x
的面积～其值为
22A（x）,3（R,x）～
R43223所以V3（Rx）dxR,,,,,,R3
19,证明由平面图形0,a,x,b～0,y,f（x）绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
b
V,2,xf（x）dx,a
证明如图～在x处取一宽为dx的小曲边梯形～小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2,x,f（x）dx～这
就是体积元素～即
dV,2x,f（x）dx～,
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
bb
V,2,xf（x）dx,2,xf（x）dx,,aa
20,利用题19和结论～计算曲线y,sinx（0,x,,）和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积,
,,2解,V,,2xsinxdx,,2,xdcosx,2,（,xcosx，sinx）,2,,,000
21,计算曲线y,lnx上相应于的一段弧的长度,3,x,8
288811，x22,解～s,1，y（x）dx,1，（）dx,dx,,,333xx
22令～即～则1，x,tx,t,1
23333113ttt1ln,s,,dt,dt,dt，dt,，,,,,222222221122t,t,11t,t,
x22,计算曲线上相应于y,（3,x）3
1,x,3的一段弧的长度,
111,～～解y,,xy,x,xx232x
1111122,,，y,x，～～1（）y,,，x24x24x
所求弧长为
3311124（）
（2）23,s,x，dx,xx，x,,,112233x
2x23223,计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧y,（x,1）y,33的长度,
2,23y,（x,1）,663解由得两曲线的交点的坐标为～,（2,）（2,,）,x332y,,3,
22,所求弧长为,s,21，ydx,1
因为
442x（x,1）（x,1）（,1）322,,,～～,2yy,2（x,1）yy,,,（x,1）,22yy23（x,1）3
所以
32232852s,21，（x,1）dx,3x,1d（3x,1）,[（）,1],,,1129232
224,计算抛物线y,2px从顶点到这曲线上的一点M（x～y）的弧长,
yyyy12222,解s,，xydy,，dy,p，ydy1（）1（）,,,000pp
2yyp12222,[p，y，ln（y，p，y）]0p22
22ypy，，yp22,py,，，lnpp22
3325,计算星形线～的全长,y,asintx,acost
解用参数方程的弧长公式,
222,,s4x（t）y（t）dt,，,0
22222,4[3acost,（,sint）]，[3asint,cost]dt,0
2,,12sintcostdt,6a,0
26,将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直～使细线与圆周始终相
切～细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线～它的方程为
～,x,a（cost，tsint）y,a（sint,tcost）
计算这曲线上相应于t从0变到,的一段弧的
长度,
解由参数方程弧长公式
,2222,,s,[x（t）]，[y（t）]dt,（atcost），（atsint）dt,,00
a2,,,atdt,,02
27,在摆线x,a（t,sint）～y,a（1,cost）上求分摆线第一拱成1:
3的点
的坐标,
解设t从0变化到t时摆线第一拱上对应的弧长为s（t）～则00
tt002222,,s（t）,[x（t）]，[y（t）]dt,[a（1,cost）]，[asint]dt0,,00
t0tt0,,2sin,4（1,cos）adta,022
当t,2,时～得第一拱弧长s（2,）,8a,为求分摆线第一拱为1:
3的0
点为A（x～y）～令
t0～4a（1,cos）,2a2
2,解得～因而分点的坐标为:
t,03
2223,,,横坐标～x,a（,sin）,（,）a3332
23,纵坐标～y,a（1,cos）,a32
233,故所求分点的坐标为,（（,）a,a）322
a,28,求对数螺线相应于自,0到,的一段弧长,,,e,,,
解用极坐标的弧长公式,
,2222aa,,,s,,,（），,（,）d,,（e），（ae）d,,,00
2,1，aa,a,2,,1，aed,,（e,1）,0a
3429,求曲线,,,1相应于自至的一段弧长,,,,,43
解按极坐标公式可得所求的弧长
4411332222,s,,,（），,,（）d,,（），（,）d,332,,,,44
415332,1ln,，,d,,，32,122,4
30,求心形线,,a（1，cos,，的全长,
解用极坐标的弧长公式,
,22222,s,2,,（），,,（）d,,2a（1，cos,），（,asin,）d,,,00
,,,4acosd,,8a,02
习题6,3
1,由实验知道～弹簧在拉伸过程中～需要的力F（单位:
N）与伸长量s（单位:
cm）成正比～即F,ks（k为比例常数）,如果把弹簧由原长拉伸6cm～计算所作的功,
解将弹簧一端固定于A～另一端在自由长度时的点O为坐标原点～建立坐标系,功元素为dW,ksds～所求功为
6612k（牛,厘米）,W,ksds,ks,18,002
22,直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽,设温度保持不变～要使蒸汽体积缩小一半～问需要作多少功,
解由玻,马定律知:
2,PV,k,10,（,10,80）,80000,
设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变～高度减小x厘米时压强为
2P（x）牛/厘米～则
8002P（x）,～,P（x）,[（,10）（80,x）],80000,80,,
2功元素为～dW,（,,10）P（x）dx
所求功为
404080012（J）,W,,（,10）,dx,80000,dx,800,ln2,,0080,80,,,
3,
（1）证明:
把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是
mgRh～W,R，h
其中g是地面上的重力加速度～R是地球的半径,
（2）一颗人造地球卫星的质量为173kg～在高于地面630km处进入轨道,问把这颗卫星从地面送到630的高空处～克服地球引力要作多
2少功,已知g,9,8m/s～地球半径R,6370km,
证明
（1）取地球中心为坐标原点～把质量为m的物体升高的功元素为
kMm～dW,dy2y
所求的功为
R，hkMmmMh,W,dy,k,2,RyR（R，h）
243173，5.98，10，630，10,115
（2）（kJ）,W,6.67，10,,9.75，10336370，10（6370，630），10
34,一物体按规律作直线运动～媒质的阻力与速度的平方成x,ct
正比,计算物体由x,0移至x,a时～克服媒质阻力所作的功,
3解因为～所以x,ct
2x22243,v,x（t）,3cx～阻力f,,kv,,9kct,而～所以t,（）c
424x2333,f（x）,,9kc（）,,9kcxc
功元素dW,,f（x）dx～所求之功为
242427aaa27333333W[f（x）]dx9kcxdx9kcxdxkca,,,,,,,,,0007
5,用铁锤将一铁钉击入木板～设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比～在击第一次时～将铁钉击入木板1cm,如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等～问锤击第二次时～铁钉又击入多少,
解设锤击第二次时铁钉又击入hcm～因木板对铁钉的阻力f与铁
钉击入木板的深度x（cm）成正比～即f,kx～功元素dW,fdx,kxdx～击第一次作功为
11～W,kxdx,k1,02
击第二次作功为
1，h12,W,kxdx,k（h，2h）2,12
因为～所以有W,W12
112～k,k（h，2h）22
解得（cm）,h,2,1
6,设一锥形贮水池～深15m～口径20m～盛满水～今以唧筒将水吸
尽～问要作多少功,
2解在水深x处～水平截面半径为～功元素为r,10,x3
222dW,x,,rdx,,x（10,x）dx～
3
所求功为
1522W,,x（10,x）dx,03
15423,,（100x,40x，x）dx,09
1875（吨米）,57785.7（kJ）,
7,有一闸门～它的形状和尺寸如图～水面超过门顶2m,求闸门上
所受的水压力,
解建立x轴～方向向下～原点在水面,
水压力元素为
～dP,1,x,2dx,2xdx
闸门上所受的水压力为
552（吨）=205,8（kN）,P,2xdx,x,21,22
8,洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体～尺寸如图所示,当水
箱装满水时～计算水箱的一个端面所受的压力,
解建立坐标系如图～则椭圆的方程为
32（x,）2y4,，,12312（）4
压力元素为
83322dP,1,x,2y（x）dx,x,（）,（x,）dx～344所求压力为
3,83383332222P,x,（）,（x,）dx,（1，sint）,cost,costdx,,,,034434442
9922（吨）,17.3（kN）,cos,tdx,,,0416
33（提示:
积分中所作的变换为）x,,sint44
9,有一等腰梯形闸门～它的两条底边各长10m和6m～高为20m,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力,
解建立坐标系如图,直线AB的方程为
1～y,5,x10
压力元素为
1～dP,1,x,2y（x）dx,x,（10,x）dx5
所求压力为
201（吨）,14388（千牛）,P,x,（10,x）dx,1467,05
10,一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片～铅直地沉没在水中～顶在上～底在下且与水面平行～而顶离水面3cm～试求它每面所受的压力,
解建立坐标系如图,
2腰AC的方程为y,x～压力元素为3
24～dP,（x，3）,2,x,dx,x（x，3）dx33
所求压力为
66441332（克）,,,,,（牛）,P,x（x，3）dx,（x，x）,168,003332
11,设有一长度为l、线密度为,的均匀细直棒～在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M～试求这细棒对质点M的引力,
解建立坐标系如图,在细直棒上取一小段dy～引力元素为
mdyGm,,～,,,dFGdy2222，，ayay
dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为
ya～,dF,,dFdF,dFxyrr
llGmGml,,a1F,（,,）dy,,aGmdy,,～,x22,,22222200ra，y（a，y）a，yaa，l
llyGm,111F,,dy,Gmdy,Gm,,,,（）y22,,22222200ra，yaa，ya，ya，l（）
12,设有一半径为R、中心角为,的圆弧形细棒～其线密度为常数,,在圆心处有一质量为m的质点F,试
求这细棒对质点M的引力,
解根据对称性～F,0,y
G,m,dsdF,,cos,x2R
,,Gm（Rd）Gm～,,cos,,cos,d,2RR
,Gm2F,cos,d,x,,,R2
2Gm2Gm,,,2,cosd,sin,,,,0RR2
2Gm,,引力的大小为～方向自M点起指向圆弧中点,sinR2
总习题六
1（x）,1,一金属棒长3m～离棒左端xm处的线密度为,
x，1（kg/m）,问x为何值时～[0～x]一段的质量为全棒质量的一半?
x3111dt,dt解x应满足,,,002t，1t，1
x31111x3因为～～dt,[2t，1],2x，1,2dt,[2t，1],100,,0022t，1t，1所以～2x，1,2,1
5（m）,x,4
2,求由曲线,,asin,～
,a（cos,，sin,）（a>0）所围图形公共部分的面积,
3,1a14222解S,,,（），a（cos,，sin,）d,,,2222
3,22aa,1,,42,,，（1，sin2）d,a,,,,8242
23,设抛物线通过点（0～0）～且当x,[0～1]时～y,0,试y,ax，bx，c
2确定a、b、c的值～使得抛物线与直线x,1～y,0所围图形y,ax，bx，c
4的面积为～且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小,9
2解因为抛物线通过点（0～0）～所以c,0～从而y,ax，bx，c
2,y,ax，bx
2抛物线与直线x,1～y,0所围图形的面积为y,ax，bx
1ab2（）,S,ax，bxdx,，,032
ab48,6a令～得,，,b,3299
该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
221abab22,（）,（）V,ax，bxdx,，，,0532
218686a,aa,a2,,[（）（）],，，53929
5dV,a126a,81令～得a
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