双曲线简单几何性质的知识点整理.docx
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双曲线简单几何性质的知识点整理
四、双曲线
一、双曲线及其简单几何性质
（一）双曲线的定义：
平面内到两个定点
F，F的距离差的绝对值等于常数
2a（0＜2a＜|F
F|）的点的轨
1
2
1
2
迹叫做双曲线。
定点叫做双曲线的焦点；
|FF|=2c，叫做焦距。
1
2
●备注：
①当|PF|-|PF
2
|=2a时，曲线仅表示右焦点
F所对应的双曲线的一支（即右支）；
1
2
当|PF2|-|PF1|=2a时，曲线仅表示左焦点F1所对应的双曲线的一支（即左支）；
②当2a=|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点的2条射线；
③当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在。
双曲线x2
y2
1与y2
x2
1（a>0,b>0）的区别和联系
a2
b2
a2
b2
标准方程
x2
y
2
1
（a>0,b>0）
y2
x2
1
（a>0,b>0）
a2
b2
a2
b2
y
y
F2
A2
图像
F1A1O
A2F2
x
O
x
A1
F1
范围
对称性
顶点坐标
焦点坐标
实、虚轴
渐近线
性质
准线方程
离心率
焦半径
通径
a，b，c之间
的关系
（二）双曲线的简单性质
1．范围：
由标准方程
x2
y21（a＞0，b＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a
之间没有图象，从纵的
a2
b2
方向来看，随着
x的增大，y的绝对值也无限增大。
x的取值范围________,y
的取值范围______
2.对称性：
对称轴________对称中心________
y
3．顶点：
（如图）
顶点：
____________
N
特殊点：
____________
Q
B2M
实轴：
A1A2长为2a,a叫做半实轴长
虚轴：
B1B2长为2b，b叫做半虚轴长
A1OA2
x
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点
B1
4．离心率：
2c
c
e
a，叫做双曲线的离心率
双曲线的焦距与实轴长的比
2a
范围：
___________________
b
c2
a
2
c2
1
2
k
a
a2
e1
双曲线形状与
e的关系：
a
，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越
大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔
5．双曲线的第二定义：
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数
e
c（c
a0）
a
的点的轨迹是双曲线
其中，定点叫做双
曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线
常数e是双曲线的离心率．
准线方程：
x2
y2
1
l1
a2
对于a2
b2
F1（c,0）
:
x
来说，相对于左焦点
对应着左准线
c，
a2
F2（c,0）对应着右准线
l2:
x
相对于右焦点
c
；
6．渐近线
x2
y2
1
a，经过B1,B2作y轴的垂线y
过双曲线a2
b2
b，四条直线
的两顶点A1,A2，作x轴的垂线x
xy
0
围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（ab），这两条直线就是双曲线
的渐近线
双曲线无限接近渐近线，但永不相交。
7．等轴双曲线
定义：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
性质：
（1）渐近线方程为：
y
x；
（2）渐近线互相垂直；
（3）离心率e2
8．共渐近线的双曲线系
与双曲线x
2
y2
（a＞0，b＞0）共渐近线
的双曲线方程可表示为
x2
y2
（λ≠0λ
1
且为待定
a
2
b2
a2
b2
常数）
●备注：
与双曲线x
2
y
2
x
2
y
2
1
1
（a＞b＞0）共焦点的双曲线方程可表示为
-
b2
a
2
b2
a2
22
（λ＜a,且b＞-λ）
例1求与双曲线-＝1有共同渐近线且过点（2，3）的双曲线方程.
9．共轭双曲线
以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线
区别：
三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同
共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上
确定双曲线的共轭双曲线的方法：
将1变为-1
10.双曲线的焦半径
定义：
双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1,F2的连线段，叫做双曲线的焦半径
焦半径公式的推导：
利用双曲线的第二定义，
x2
y2
1（a
0,b
0）
MF1
e
设双曲线a2
b2
F2是其左右焦点
则由第二定义：
d1
，F1
，
MF1
e
MF1
ex0
a
同理MF2ex0
a
a2
x0
c
d
2b2
11．通径定义：
过焦点且垂直于对称轴的焦点弦a
知识
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英语万能作文（模板型）
Alongwiththeadvanceofthesocietymoreandmoreproblemsarebrought
toourattention,oneofwhichisthat....
随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。
Astowhetheritisablessingoracurse,however,peopletakedifferent
attitudes.
然而，对于此类问题，人们持不同的看法。
（Holddifferentattitudes
持不
同的看;Comeupwithdifferentattitudes有不同的看法）
Associetydevelops,peopleareattachingmuchimportanceto....
随着社会的发展，人们开始关注............
Peopleareattachingmoreandmoreimportancetotheinterviewduringjobhunting
求职的过程中，人们慢慢意识到面试的重要性。
Astowhetheritisworthwhile.....,thereisalong-running
controversialdebate.Itisquitenaturalthatpeoplefromdifferent
backgroundsmayhavedivergentattitudestowardsit.
关于是否值得___________的问题，一直以来争论不休。
当然，不同的人对此可
能持不同的观点。
Intheprocessofmodernurbandevelopment,weoftenfindourselvesin
adilemma.
在都市的发展中，我们往往会陷入困境。
Recentlythephenomenonhasarousedwideconcern,somepeopleareinalarm
that....
最近，这种现象引起了人们的广泛关注，有人开始担心______________。
Thehumanracehasenteredacompletelynewstageinitshistory,withtheincreasinglyrapideconomicglobalizationandurbanization,moreproblemsarebroughttoourattention.
人类进入了一个历史的崭新的阶段，经济全球化、都市化的速度不断加快，随
之给我们带来了很多问题。
......playssuchanimportantrolethatitundeniablybecomesthebiggest
concernofthepresentworld,therecomesaquestion,isitablessingor
acurse?
"
_______显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题，这是无可厚非的。
不过，问题是：
"我们该如何抉择?
"
Nowweareenteringanewera,fullofopportunitiesandchallenges,
现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。
Peoplefromdifferentbackgroundswouldputdifferentinterpretationson
thesamecase.
不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。
Thecontroversialissueisoftenbroughtintopublicfocus.Peoplefrom
differentbackgroundsholddifferentattitudestowardstheissue.
这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。
不同的人对此问题的看法也不尽
相同。
Whenasked...,somepeoplethink.....whilesomeprefer...
说到______，有人认为________，而另一些人则认为__________。
Justasthesayinggoes:
"somanypeople,somanyminds".Itisquite
understandablethatviewsonthisissuevaryfrompersontoperson.
俗话说，""。
不同的人对此有不同的看法是可以理解的。
Tothisissue,differentpeoplecomeupwithvariousattitudes.
对于这个问题，不同的人持不同的观点。
Thereisagoodsideandabadsidetoeverything,itgoeswithoutsaying
that...
万事万物都有其两面性，所以，勿庸置疑，____________。
Whenitcomesto...,mostpeoplebelievethat...,butotherpeople
regard...as....
提到_________问题，很多人认为_________，不过，一些人则认为______是____.
Whenfacedwith....,quiteafewpeopleclaimthat....,butotherpeople
thinkas...
提到_________问题，仅少数人认为________，但另一些人则认为_________。
Thereisapubliccontroversynowadaysovertheissueof....Therewho
criticize...arguethat....,theybelievethat...,butpeoplewhofavor..,
ontheotherhand,arguethat...
目前，____问题争议较大。
批判_____的人认为_____，他们认为_____，不过，
另一方面，赞同
_____的人则认为
_______。
Somepeopleareoftheopinionthat..
有些人认为
_________。
Manypeopleclaimthat...
很多人认为
_________。
Amajorityof
绝大多数
Alargenumberof很多人
Somepeoplecontendthat...hasprovedtobringmanyadvantages
（disadvantages）
有些人认为________有很多有利之处（不利之处）。
Thosewhoarguefor...saythat...economicdevelopmentofthecities.
觉得_____的人认为，______城市的经济发展。
Somepeopleadvocatethat....
有些人在坚持认为_________。
Theyholdthat...他们认为_________。
People,whoadvocatethat...,havetheirsoundreasons（grounds）
坚持认为______的人也有其说法（依据）。
Thosewhohavealreadybenefitedfrompracticingitsinghighpraiseof
it.那些从中受益的人对此大家褒奖。
Thosewhostronglyapproveof...havecogentreasonsforit.
强烈认同_______的人有很多原因。
Manypeoplewouldclaimthat...有人会认为___________。
Peoplewhosupport...givesomeorallofthefollowingreasons.
那些支持_________观点的人列出了如下原因：
________。
Butothersholdtheviewthat...但是，另外一些人则认为_______。
观点的用词：
Attitude,opinion,与其搭配的动词以及词组：
Take,have,come
upwith，setforth,putforward等。
Butontheotherhand,therearealsoquiteafewpeoplewhostronglyadvocatethat..,.
不过，另一方面，也有少部分人坚持认为_______________。
Butpeoplewhoare...,ontheotherhand,maintainthat...
不过，另一方面，________的人认为__________。
However,therearealargenumberofpeoplewhoholdadifferentview
concerningthiscase.
然而，很多人对此有不同的看法。
问题用词：
Issue,phenomenon
，后接介词
on,over
等。
However,someothersarguethat...然而，另一些人则认为However,therearealsosomeotherswhocontendthat...
____。
然而，也有人认为__________。
Butotherpeoplesetforthcompletelytotallydifferentargument
concerningthiscase.
不过，对于此，另一些人则持完全不同的观点。
Somepeopleexaminethisissuefromanotherangle.
有的人用另一角度来看这一问题。
Ontheotherhand,therearealsomanyopponentswhostrongly...
另一方面，也有很多反对的人，他们认为_____________。
According
tomypersonality
andfondness,
Iwouldprefer
...
rather
than...
根据我的个性以及兴趣，我选择
_______而不会选择
__________。
Personally,Isidewiththelatter（former）opinion...
就我个人而言，我支持后者（前者）___________。
Personally,Iaminfavoroftheformerpointofview.
就我个人而言，我较同意前一种看法。
Tomypointofview我认为
Tomymind,theadvantagesfaroverweighthedrawbacks（disadvantages,
shortcomings）
我认为，优点胜过缺点。
Formypart,Istandonsideofthelatteropinionthat..
就我而言，我较赞同后一种观点________________。
AsfarasIamconcerned,Iaminclinedtobeonthesideofthelatter
view.
在我看来，我较同意后一种观点。
Afterathoroughconsideration,formypart,Iaminfavorofthelatter
viewthat...
经过深思熟虑，我较支持后一种看法，亦即___________。
Ifaskedtomakeadecision,Iwouldprefer...
如果真的需要作出选择，我宁愿____________。
展现问题篇
问题的常用词：
question,problem,issue
Recently,theissueof......hasbeenbroughtintopublicfocus.
近来，_______的问题引起了社会的广泛关注。
Nowweareenteringabrandnewerafullofopportunitiesandinnovations,
andgreatchangeshavetakenplaceinpeople’sattitudetowardssometraditionalpractice.
现在我们进入了一个充满机遇和创新的崭新时代，很多人对某些传统的看法也
发生了很大改变。
Recentlytheissueofwhetherornot...hasbeeninthelimelightand
hasarousedwideconcerninthepublic.
近来，是否____的问题已经非常明确而且引起了社会的广泛关注。
Theissuewhetheritisgoodornotto....hasarousedaheateddiscussion
alloverthecountry.
______的利与弊已在全国范围内引起热烈的讨论。
Atpresent,somepeoplethink....whileothersclaim...Bothsideshave
theirmerits.
目前，一些人认为_____而另一些人则认为_____。
其实，两种观点都其可取之
处。
Peoplerarelyreachanabsoluteconsensusonsuchac
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