高中数学必修五知识点整理经典最全版.docx

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高中数学必修五知识点整理经典最全版

《必修五知识点整理》第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

abc

A

为

a

b

一

解

钝

角

或

直

角

a

b

无

解

4、任意三角形面积公式为：

SABC

1bcsinA1acsinB1absinCabc

2224R

1.1.2p（p余弦a）定（p理b）（pc）

r（abc）2R2sinAsinBsinC

2

5、余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角

的余弦的积的两倍，即

a2b2

c22bccos

A，b2

a2c22cacosB，c2

a2b22abcosC.

余弦定理推论：

2

2

cosA

b2c2

2bc

a

，cosB

a2c2

2ac

b

，cosC

a2b2c2

2ab

6、不常用的三角函数值

sin

6262662

15°

75°

105°

165°

2

4444

cos

6262

44

6262

44

tan

2323

2323

1.2应用举例（浏览即可）

1、方位角：

如图1，从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。

2、方向角：

如图2，从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。

（指定方向线是指正北或正南或正西或正东）

3、仰角和俯角：

如图3，与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。

（1）方位角

（2）方向角（3）仰角和俯角（4）视角4、视角：

如图4，观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。

5、铅直平行：

与海平面垂直的平面。

6、坡角与坡比：

如图5，坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直

高度与水平宽度的比叫坡比

ih.

l

（5）坡角与坡比

第二章数列

2.1数列的概念与简单表示法

1、数列的定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列

的项。

数列中的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，，排在第n位的数称为这个数列的第n项。

所以，

数列的一般形式可以写成

a1，a2

，a3，，

an，，简记为

an.

2、数列的通项公式：

如果数列

an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，

那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

3、数列的递推公式：

如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始

的任一项

an与它的前一项an

1（或前几项）（n

2）间的关系可以用一个公式表示，那

么这个公式叫做这个数列的递推公式。

定义式为

an2an1

1（n1）

4、数列与函数：

数列可以看成以正整数集

N*（或它的有限子集1,2,3,4,

n）为定

义域的函数an

fn，当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。

通项公式可以看成函数的解析式。

5、数列的单调性：

若数列

an满足：

对一切正整数n，都有an

1

an（或an1

an），

则称数列

an为递增数列（或递减数列）。

判断方法：

①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性；

②作差比较法，即作差比较

an1与an的大小；

2.2等差数列

*

*

1、等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d

表示。

定义式为an

an1

d（n

2

，n

N）或

an1an

d（nN）

2、等差中项：

由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。

这时，A

叫做a与b的等差中项。

A是a，b的等差中项

Aab2

2Aab

AabA.

3、等差中项判定等差数列：

任取相邻的三项

an1，an，

an1（n

2,n

N*），则

an1，an，an

1成等差数列

2an

an1

an1（n2）

an是等差数列。

4、等差数列的通项公式

ana1

n1d，其中

a1为首项，d为公差。

变形为：

d

ana1

.

n1

5、通项公式的变形：

anam

nmd，其中

am为第m项。

变形为d

anam

.

nm

6、等差数列的性质：

（1）若n，m，p，q

N*，且mn

pq，则aman

apaq；

（相同数量下，项数之和相等，项之和相等）

（2）若mn

2p，则aman

2ap；

（3）若m，p，n成等差数列，则

am，ap

，an成等差关系；（等距等差）

（4）若

an为等差数列，

Sk,

S2k

SK,

S3k

S2k,

也成等差数列（片段等差）

（5）若

an成等差数列

anpn

q（公差为p，首项为p

q）；

（6）若cn

成等差数列，则

an也成等差数列；

（7）如果an

bn都是等差数列，则

pan

q，panqbm

也是等差数列。

2.3等差数列的前n项和

1、一般数列

an与

sn的关系为an

S1n1.

SnSn1n2

2、等差数列前n项和的公式：

Sn

na1an

2

na1

nn1d2

n

3、等差数列前n项和公式的函数特征：

（1）由Sn

na1

nn1d2

dn2

2

dn，令2

Ad，B2

ad，则

1

2

an为等差数列

SAn2

Bn（

A、B为常数，其中

d2A，

a1a

b）.若A

0，即d

0，则

Sn是关于n的无常数项的二次函数。

若A

0，即

d0，则Snna1.

（2）若

an为等差数列，

Sn也是等差数列，公差为dn2

（3）若Sn

m，Sm

n，则Smn

mn（5）若

SmSn，则

Smn0

（4）若an

bn是均为等差数列，前n项和分别是

An与

am

B

n，则有

bm

A2m1

B2m1

（5）

a

1

等差数列

an中，a1

0，d

0，则Sn有最大值，a1

0，d

0，则Sn有最小值。

2.4等比数列

1、等比数列：

一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那

么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示q0.

定义式：

an

an1

q，（n

2,an

0,q

0）.

2、等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a

与b的等比数列。

a，G，b成等比数列

GbG2

aG

abGab.

两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。

n1a1n

3、通项公式：

an

a1qq

*

q

其中首相为

a1，公比为q.

4、等比数列的性质：

an

aqnm（n，m

N）.

2.5

m

等比数列的前n项和

na1q1

1、等比数列的前n项和的公式：

Sn

a11q

n

1q

a1anqq1

1q

2、等比数列的前n项和的函数特征：

当

q1时，Sn

a11q

n

1q

a1a1qn.记

1q1q

n

Aa1，即

1q

SAqn

A.（帮助判断等比数列）

3、等比数列的前n项和的性质：

在等比数列中：

（1）当

Sk，S2k

Sk，

S3k

S2k，均不为零时，数列成等差数列。

公比为qk.

（2）

nmnmmn

SSqnSSqmS

am

（3）（3）

an

qmn或aaqmn（m、n

N*）

（4）

mn

若mnpq，则aman

apaq

（5）若

an为等差数列，则

Can

为等比数列

（6）若

an为正项等比数列，则logCan

是等差数列

第三章不等式

3.1不等式关系与不等式

3.2一元二次不等式及其解法

1、

2、一元二次不等式定义：

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

使一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，

一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集。

3、二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三者之间的关系

b24ac0

00

ax2

bxc0

a0的图像

ax2

bxc0

两个不相等的实数根

两个相等的实数根

a0的根

x1x2

x1x2

没有实数根

ax2bxc0

xxx1或xx2

xxb

R

2a

a0的解集

ax2

bxc0

xx1

xx2

a0的解集

附：

韦达定理

2

在函数ax

bxc0a

0，则

x1x2

bc

，x1x2.

aa

3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

1、平面区域：

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式

AxByC

0表示直线

AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括

边界。

不等式

AxByC

0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。

2、平面区域的判定：

一般地，当

y

kx

b时，表示y

kx

b的上方区域；

当y

kx

b时，表示y

kx

b的下方区域。

3.3.2简单的线性规划问题

3、线性规划有关概念：

①在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称线性规划问题。

②若约束条件是关于变量的一次不等式（方程），则成为线性约束条件。

③

要求最大（小）值所涉及的关于变量x，y的一次解析式叫做线性目标函数。

④满足线性约

束条件的解（x，y）叫做可行解，⑤由所有可行解组成的集合叫做可行域。

⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

3.4基本不等式：

abab

2

1、主要不等式：

设a，bR，则a2

b22ab（当且仅当ab时取“=”）

ab

2、基本不等式：

设a

0，b

0，则

2

ab（当且仅当ab时取“=”）

即两个整数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

变形：

ab2

ab.

2ababa2b2

ab2a2b2

3、应用：

ab

ab22

ab（a，bR）

22

（调几算方）

4、基本不等式的应用

（1）如果和xy是定值S，那么当且仅当xy

2

；

SS

时，积xy有最大值

24

（2）如果积xy是定值P，那么当且仅当xyP时，和xy有最小值2P.

应注意以下几点：

①各项或各因式必须为整数；

②各项或各因式的和（或积）必须为常数；

③各项或各因式能够取相等的值；

④多次使用均值不等式时必须同时取等号。

以上三个条件简称为“一正，二定，三相等，四同时”