物理习题中的近似估算法初探案例1.docx
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物理习题中的近似估算法初探案例1
研究性学习课题：
物理习题中的近似估算法初探
一、教案描述
（1）问题的提出：
物理估算题和常规计算题的解题步骤虽然相似，但也有其自身特点，其题文表述简洁、条件隐蔽，常使学生无从下手，掌握其解题要领尤为重要。
近似估算法是一种半定量的物理方法，是根据物理基本原理通过粗糙的物理模型进行大致的、简单的推理或对物理量的数量级进行大致的推算。
它可以很好的培养学生对物理量的估算能力，同时增强他们对物理现象的实感，培养他们的科学素质，已成为高考命题中的一个热点。
高中物理主要涉及的力、热、光、电、原子物理等几部分知识，均涉及到估算问题。
在分析近似估算物理问题时，无需追求结果的精确性，而是忽略次要因素，突出主要矛盾，抓住问题的本质，充分运用物理规律和有关数学近似计算公式，对物理量的数量级进行快速计算和大致数据范围进行科学合理推算的方法。
它不仅是一种常用的解题方法和思维方法，而且也是一种重要的科学研究方法。
（2）问题示例：
例1.图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m/s，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（ ）
A．10-3sB．10-6sC．10-9sD．10-12s
例2.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（ ）
A.0.2 B.2 C.20 D.200
例3.卫星电话信号需要通地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：
月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 k m，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108m/s）（ ）
A．0.1sB．0.5sC．0.25sD．1s
二、研究成果部分展示
〈一〉力学部分的估算问题
力学部分的估算问题，多集中于天体测量方面，当然其他方面也有涉及。
解体方法侧重于常数估算法。
例1.图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m/s，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（ ）
A．10-3sB．10-6sC．10-9sD．10-12s
解析：
设子弹影像前后错开的距离认为约为子弹长度1.5%，
即实际错开的距离为：
L=0.05×1.5%m=7.5×10-4m，
则曝光时间为：
，
故最接近的是10-6s，故B正确
故选B
例2.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
A.0.2B.2C.20D.200
解析：
本题考察万有引力和圆周运动相关知识。
太阳对月球的万有引力
（
指太阳到月球的距离），地球对月球的万有引力
（
指地球到月球的距离），用
表示太阳到地球的距离，由题目所给信息可知
，因此在估算时可以认为
（即近似认为太阳到月球的距离等于太阳到地球的距离），所以
；再由圆周运动可求中心天体的质量，由地球绕太阳公转得
（
指地球绕太阳的公转周期，
天），由月球绕地球公转得
（
指月球绕地球的公转周期，
天），由这两个公式可得
，把该式代入
中可得
，所以ACD不正确，本题答案为B。
例3.卫星电话信号需要通地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：
月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 k m，运行周期约为27天，地球半径约为6400千米，无线电信号传播速度为3x108m/s）（ ）
A．0.1sB．0.5sC．0.25sD．1s
答案：
C
例4.总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s拉开绳索开启降落伞，如图所示是跳伞过程中的v－t图，试根据图像求：
（g取10m/s2）
（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。
（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。
解析：
（1）在t＝2s内运动员做匀加速运动，其加速度大小为
m/s2=8m/s2
根据牛顿第二定律，有mg－f＝ma得f＝m（g－a）＝80×（10－8）N＝160N
（2）从图中由“面积”估算得出运动员在14s内下落了39.5×2×2m＝158m
（估算“面积”时可适当放宽标准，38--40个格之间都算对。
下一个问按对应数据计算正确的都给分）
根据动能定理，有
所以有
＝（80×10×158－
×80×62）J≈1.25×105J
例5．某消防队员从一平台上跳下，下落2m后双脚触地，接着他用双腿弯曲的方法缓冲，使自己身体重心又下落了0.5m，在触地过程中，地面对他双脚的平均作用力估计为（）
A.自身重力的2倍B.自身重力的5倍
C.自身重力的8倍D.自身重力的10倍
解析：
将人体落下的运动简化为自由落体模型，而双腿弯曲人体向下缓冲的过程简化为匀减速直线运动模型。
具体求解过程如下：
消防队员下落h=2m末的速度为：
v=
双腿与地面作用时间为：
△t=△h/v=2△h/v
由动量定理，得
（N-mg）△t=mvN=mg+mv/△t=mg+mv2/2△h
=mg（1+h/△h）=5mg故正确答案为B
例6．1789年英国著名物理学家卡文迪许首先估算了地球的平均密度。
根据你所学过的知识，能否知道地球密度的大小？
解析：
设质量为m的小物体在地球表面所受重力为mg.则mg=GMm/R2,即M=gR2/G.
我们将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=4πR3/3，故地球的平均密度应为ρ=M/V=3g/4πGR
此式中的圆周率π，重力加速度g，地球半径R和万有引力G是应熟记的物理常数，将它们的数值代入上式，得ρ=3g/4πGR=5.5×103kg/m3
例7．根据你所学知识估算地球的质量。
方法一、地球表面物体的重力近似可认为是物体受到的万有引力。
GMm/R2=mg
其中M是地球质量，m是物体质量，R是地球半径
M=9.8×（ 6370×103 ）2/6.67×10-11 kg=6.0×1024 kg
方法二、地球同步卫星的向心力由万有引力提供
GMm/（R+h）2=m（2π/T）2（R+h）
其中，M是地球的质量，m是卫星的质量，R是地球半径，h是卫星距地面的高度（此高度的值是确定的h=3.6×104 km），T是卫星绕地球运动的周期，即地球的自转周期。
M=4π2（R+h）3/GT2≈6.0×1024kg
例8.人的心脏每跳一次大约输送8×10
m
的血液，正常人血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值约为1.5×10
Pa，心跳约每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率约为（）W
解析：
本题将心脏做功等改为血压主送血做功，从而估算出心脏的平均功率。
设心脏跳动一次使血液流过距离为△L，流过血管的横截面积约为s,则心跳一次做功
W=F△L=Ps△L=pv,故心脏工作的平均功率为
P=70/60×1.5×10
×8×10-5W=1.4W
例9.天文观测表明，几乎所有远处的恒量（或变量）都在以各自的速度离我们而运动，离我们越远的星体，背离我们运动的速度（称为退行速度）越大；也就是说，宇宙在膨胀，不同星体的退行速度V和它们离我们的距离r成正比，即V=Hr。
式中H为一常量，称为哈勃常数，已由天文观察测量测定。
为解释上述现象，有人提出一种理论，认为宇宙是从一个大爆炸的火球开始形成的假设大爆炸后各星体即以不同的速度向外匀速运动，并设想我们就位于其中心，则速度越大的星体现在离我们越远，这一结果与上述天文观察一致。
由上述理论和天文观察结果，可估算宇宙年龄T，其计算式为T=------，根据近期观测，哈勃常数H=3×10-2m/s光年，其中光年是光在一年中行进的距离，由此估算宇宙的年龄约为（）年。
解析：
宇宙的年龄可认为就是宇宙膨胀的时间，设离我们最远的星体离我们距离为r,则该星体的“运行”时间（膨胀时间）即为宇宙的年龄T=r/v=r/Hr=1/H而H=3×10-2m/s,光年=3×10-2/3×108（年）=10-10所以T=1010年。
〈二〉热学部分的估算问题
热学部分的估算问题，多集中于物质微观结构的分析和估算微粒数方面，解题方法侧重于理想模型法。
例10.试估算金原子19779Au的大小。
已知质子质量1.67×10-27，金的密度为19.3×103，阿伏伽德罗常数NA为6.02×1023mol-1（结果取一位有效数字）
解析：
估算金原子大小应建立如下物理模型，设想金原子是小球体，且紧密挨在一起，由此可得解题思路。
（1）一摩尔金原子的体积为摩尔质量m与金的密度的比值ρ，即：
V=m/ρ
（2）
一个金原子的体积为:
v=V/NA=m/NAρ
（3）一个金原子的半径为:
r=3√3v/4π=3√3m/4πNAρ≈1×10-10
例11.有一真空容器，在室温下容器内的气压为10-8，试估计该容器内气体中的分子数。
（取1位有效数字，已知1标准大气压P0=1×105，阿伏伽得罗常数NA=6×1023mol-1）
解析：
把容器内的气体看成理想气体模型，可知1mol该气体在标准状况下的体积为V0=22.4L根据气体状态方程P1V1/T1=P2V2/T2，1cm3的实际该气体相当于标准状况下的气体体积为V2=P1V1T2/P2T1=9.1×10-17L，因此容器中1cm3气体中的分子数为N=V2/V0NA=2×106（个）（说明：
上面的计算是取室温270C）
例12.一个房间的地面面积是15m2，高3m，试估算房间内空气的质量。
（已知空气的平均摩尔质量是2.9×10-2kg/mol）
解析：
根据题意，我们只能依据气态方程或克拉珀龙方程来进行估算，特别注意基本常数——标准状况下，1mol任何气体的体积为22.4L，若将室内空气的状况通过气态方程转化成标准状态，计算出室内空气的摩尔数，问题即可解决。
已知空气体积V1=45m3，压强P1=1atm，还特别要注意估计室温为T1=283K（t=100C），应用气态方程P0V0/T0=P1V1/T1，即可算出标准状况下，这部分气体的体积V0=43.4m3，所以这部分气体的摩尔数μ=V0/（22.4×10-3）=1.94×103mol，质量m=μM=56kg。
〈三〉光学部分的估算问题
光学部分的估算问题多集中于光路的几何运算方面，解题方法侧重于数学近似法。
例13.在水下1m处放置一个小物体，问当人从水面上方往下看时，物体离水面深度为多少？
解析：
水面下的物体A所发出的光线经水面折射，其像点为B，光路如图所示。
当人眼从水面正上方往下看时，αβ两角都应很小。
因此有：
tanα≈sinα,
tanβ≈sinβ
根据光的折射定律，有：
n=sinα/sinβ≈tanα/tanβ
=OO′/OB/OO′/OA=OA/OB
所以：
OB=OA/n=1/1.33≈0.76m
例14.在水内距水面h=20cm深处，水平地放置一块平面镜，在平面镜上方有一个小木块浮在水面，若从水面上方往平面镜看这个小木块的像，它应在水面下多深处？
（已知：
n水=4/3）
解析：
作光路图如右，从小木块发出的光线，先经平面镜反射，再由水面折射，反向延长线的交点，即为所求的虚像点。
图中S′为木块经平面镜反射后的像点，S″是再经过水面折射后的像点，即所求的像点。
由反射定律可知：
ss′=2h=40cm,设ss″=L,第二条光线射向水面时的入射
角为γ折射角为I，根据光线的可逆性可知：
n=sini/sinγ,
而sinI=d/√L2+D2sinγ=d/√（2h）2+d2
因第二条光线是接近垂直射向平面镜，光线偏转距离d<n=√（2h）2+d2/L2+d2≈2h/L
∴L=2h/n=40*3/4=30cm
<四>电学部分的估算问题
电学部分的估算问题多集中于涉及不可忽略电阻电表的电路分析方面，解题方法侧重推理估算法。
例15.实际电压表内阻并不是无限大，可等效为理想电压表与较大的电阻的并联。
测量一只量程已知的电压表的内阻，器材如下：
①待测电压表（量程3V，内阻约3KΩ待测）一只，②电流表（量程3A，内阻0．01Ω）一只，③电池组（电动势约为3V，内阻约1Ω），④滑动变阻器一个，⑤变阻箱（可以读出电阻值，0-9999Ω）一个，⑥开关和导线若干。
某同学利用上面所给器材，进行如下实验操作：
（1）该同学设计了如图甲、乙两个实验电路。
为了更准确地测出该电压表内阻的大小，你认为其中相对比较合理的是（填“甲”或“乙”）电路。
（2）用你选择的电路进行实验时，闭合电键S，改变阻值，记录需要直接测量的物理量：
电压表的读数U和（填上文字和符号）；
（3）（单选题）选择下面坐标轴，作出相应的直线图线。
（A）U—I（B）U—1/I（C）1/U—R（D）U—R
（4）设直线图像的斜率为k、截距为b，请写出待测电压表内阻表达式Rv＝。
解析：
⑴乙⑵电阻箱的阻值R（3）（ C）（4）b/k
例16.直流电源的路端电压U=182V。
金属板AB、CD、EF、GH相互平行、彼此靠近。
它们分别和变阻器上的触点a、b、c、d连接。
变阻器上ab、bc、cd段电阻之比为1∶2∶3。
孔O1正对B和E，孔O2正对D和G。
边缘F、H正对。
一个电子以初速度v0=4×106m/s沿AB方向从A点进入电场，恰好穿过孔O1和O2后，从H点离开电场。
金属板间的距离L1=2cm，L2=4cm，L3=6cm。
电子质
量me=9.1×10-31kg，电量q=1.6×10-19C。
正对两平行板间可视为匀强电场，求：
（1）各相对两板间的电场强度。
（2）电子离开H点时的动能。
（3）四块金属板的总长度（AB+CD+EF+GH）。
解析：
（1）U1∶U2∶U3=Rab∶Rbc∶Rcd=1∶2∶3,
板间距离之比L1∶L2∶L3=1∶2∶3 故三个电场场强相等E=
=1516.67N/C
（2）根据动能定理eU=
mv2-
mv02电子离开H点时动能Ek=
mv02+eU=3.64×10-17J
（3）由于板间场强相等，则电子在“竖直方向”受电场力不变，加速度恒定.可知电子做类平抛运动：
“竖直方向”L1+L2+L3=
“水平方向”x=v0t
消去t解得x=0.12m. 极板总长AB+CD+EF+GH=2x=0.24m
例17.如图所示电路中，电源电动势E=6V,内阻r=0.5Ω,R1=500Ω,R2=5Ω,R3=300Ω,RA=8Ω,RV=500KΩ
试估算电流表和电压表的读数：
、
解析：
R3与电流表串联，∵R3》RA，∴R3A≈R3=300Ω
同理：
R3A与R2，RV并联，∴R23V≈R2=5Ω
回路总电阻R总=r+R1+R23V≈R1=500Ω
∴回路总电流I总=E/R总≈E/R1=0.012A
电压表读数：
UV=I总*R23V=0.06V
电流表读数：
IA=UV/R3A≈UV/R3=2*10-4
例18.一只普通家用照明白炽灯泡正常发光时，通过它的电流强度与与列哪一组数据较接近（）
A.20AB.2AC.0.2AD.0.02A
解析：
本问题涉及到普通家用照明白炽灯泡的功率大致为几十瓦的常识，如取60W，则由I=P/U得：
I=0.27A（额定电压取消220V）,帮选项C正确.
例19.如图所示电路，R1、R2两定值电阻接在输出电压稳定的12V直流电源上，有人把一个内阻不是远大于R1、R2的电压表接在R1两端时，读数为8V，如果把电压表接在R2两端时，其读数为（）
A.小于4VB.等于4V
C.大于4V，小于8VD.等于或大于8V
解析：
串联电路中，电压接电阻阻值分配，电压表并入测量时，R并〈R1，所以R1分配到的电压（既电压表的读数）小于未测量时，R1两端的电压U1大于8V，故R2两端电压小于4V，在测量R2时，由于Rv的并联作用，读数就更小，故答案应选A。
例14.将一标有“6V，3W”的小灯泡L1接到某电池组上（电源内阻不能忽略），小灯泡恰好正常发光，若改将“6V，4W”的灯泡L2接到该电池组上，则该灯的实际功率可能是（不考虑温度对灯丝电阻的影响）（）
A.1.5WB.2.5WC.3.5WD.4.5W
选项BC正确。
<五>原子物理部分的估算问题
例20.试从α粒子散射实验中估算金核的大小
解析：
估算金核的大小主要在于想像α粒子与金核的“对心碰撞”物理模型：
两者之间的库仑斥力使用权正射而来的α粒子在距金核
处停止。
这时α粒子的动能完全转化为在核电场中的电势能，然后返回散射，因此为解题铺路搭桥，由1/2mv2=rQq/
得金核的最大半径为
=KQq/mv2式中Q为金核的电量，代入数据得
=4.26*10-14m。
三、课后的余味：
（这部分可作为课后的继续研究）
帮助学生了解物理估算题的特点是培养其估算能力的基础.正所谓知己知彼方能百战百胜.高中物理的力、热、电、光、原子等部分都有此类问题，且形式多样.学生在习题处理的亲身体验后，教师要将典型问题集中提供给学生，让学生在反思的基础上自主归纳在“理”不在“数”的特点.
高考物理估算题，一般都是依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算.其贴近生活，与课堂的解题模式脱离，基本无公式直接可套.这就要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住事物的本质特征和影响事物发展的主要因素，忽略次要因素，从而使问题得到简捷的解决，迅速获得合理的结果.
此外，高考估算题还具有所求物理量与已知物理量之间的关系较隐蔽的特点，难以直接察觉，往往需要寻找一个或两个中间量来搭桥修路，才能顺利达到预期目标.
四、总结与反思
求解估算问题的一般程序可以粗分为以下4点.
（1）理顺显性条件，挖掘隐性条件
估算问题一般很简洁，同时明暗两线共存.在审题这个环节，考生要能够明确题目要求解什么量，已知什么量，还需要什么量，需要的物理量是否隐含在某个规律之中.将显隐两种条件都找准了，就可以说是万事俱备，只欠东风了.
（2）建立恰当模型，探寻问题实质
高考估算问题中要求解的物理量和发掘的物理量之间的关系一般不明朗.通常的做法是：
弄清物理过程,建立简化模型，进行相关计算.所以，要让学生在平时的训练中有意识地记牢一些常见模型，比如力学中的匀速圆周运动模型（主要是天体运动）、匀变速直线运动模型；热学中的固体、液体、气体分子模型等.
（3）寻找物理规律，调用常识数据
模型建立之后就要寻找物理量之间的关系，选用合适的物理规律建立估算关系或者信息联系.有时需要采用量纲分析、现象类比、近似理论等作一些精确计算，做到“粗”中有“细”.此外，由于估算题一般具有贴近生活的特点，所以考生应当具备识记一些常用数据的能力.常用的基本常数和数量级有：
万有引力常量，地球半径，月球绕地球转动周期28d，成人质量65kg，电子电量，阿伏加德罗常数，普朗克常数，1mol理想气体体积为22.4L等.
（4）合理处理数据，规范估算结果
实际生活生产和科研中估算的目的之一是获得对数量级的认识，因此为避免繁杂的计算，许多常数只需取一位有效数字，最后结果也只要求取一位有效数字，有些题甚至只要求最后结果的数量级正确即可.鉴于此，实际教学时要引导学生从解题依据出发，运用有关数学工具，借助物理常数及生活常识，简化求解过程和计算难度，科学处理数据，得出相应合理的结论.
诚然，学生的估算能力并非旦夕可就，但教学实践足以证实，教师在日常教学中有意识地设置估算的问题情境，结合生活实际，给学生提供丰富的感性材料，积极引导，逐步使学生建立估算意识、树立估算信心、掌握估算方法，帮助学生形成估算的能力，就能达到运用估算知识灵活解决生活实际问题的目的,进而提升学生这一方面的科学素养.
五、教案分析
（一）、可行性论证
1、知识要求
学生已经全部完成高中物理的学习课程，这几位同学的学习能力很强，具有完成这一研究性课题的基本素养。
2、任务分工
五名同学分类整理和汇总高中物理力、热、光、电、原子物理五部分近似估算试题。
（二）、活动设计的目的：
通过对近似估算法的研究过程：
1、体会估算价值，增强估算意识
一开始接触到估算，如果体会不到它的价值所在，学生就会觉得学习估算没有用，就会逐渐失去学习估算的兴趣.因此，培养学生的估算能力，一要结合具体情境使学生感受估算的价值.教师要善于引导学生在具体的、真实的问题情景中进行估算，使学生感受到估算的价值，体会估算在学习、生活中的重要作用.二要结合具体问题使学生增强估算的意识.学生估算意识的培养，应该从日常教学和日常生活的点滴开始，引导学生在解决问题中，逐步地去理解这种估算的意义，去发展学生这种估算的意识，去体会估算的必要性.[2]常此下去学生估算的意识也就会不断加强，逐步养成一种估算的习惯，当形成这种良好的习惯以后，学生就会自觉地在遇到问题时先进行估算，做到在解决问题时心中有数.
2、了解估算特点，提升估算信心
帮助学生了解物理估算题的特点是培养其估算能力的基础.正所谓知己知彼方能百战百胜.高中物理的力、热、电、光、原子等部分都有此类问题，且形式多样.学生在习题处理的亲身体验后，教师要将典型问题集中提供给学生，让学生在反思的基础上自主归纳在“理”不在“数”的特点.
高考物理估算题，一般都是依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的、合理的推算.其贴近生活，与课堂的解题模式脱离，基本无公式直接可套.这就要求考生在分析和解决问题时，要善于抓住事物的本质特征和影响事物发展的主要因素，忽略次要因素，从而使问题得到简捷的解决，迅速获得合理的结果.
此外，高考估算题还具有所求物理量与已知物理量之间的关系较隐蔽的特点，难以直接察觉，往往需要寻找一个或两个中间量来搭桥修路，才能顺利达到预期目标.
3、重视估算方法，形成估算潜力
在了解了高考估算题的特点之后，接下来要帮助学生掌握一些处理的常规方法，这样学生在遇到此类问题时就能自己对症下药了.常用方法有：
理想模型抽象法；隐含条件挖掘法；利用合理近似估算法；利用常量（经验知识）估算法；创设物理情景估算法等.
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