数据的分析.docx
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数据的分析
数据的分析
第一部分知识梳理
一、数据的代表
1．平均数的概念
（1）平均数：
一般地，如果有n个数
那么，
叫做这n个数的平均数。
（2）加权平均数：
如果n个数中，
出现
次，
出现
次，…，
出现
次（这里
），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为
，这样求得的平均数
叫做加权平均数，其中
叫做权。
2．众数：
在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
3．中位数：
将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
二、数据的波动
1．方差的概念：
在一组数据
中，各数据与它们的平均数
的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“
”表示，即
2．标准差：
方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
第二部分例题与解题思路方法归纳
类型一平均数
【例题1】（2010•宁德）下表是中国2010年上海世博会官方网站公布的5月某一周入园参观人数，则这一周入园参观人数的平均数是 万．
〖选题意图〗本题考查的是样本平均数的求法，熟记公式是解决本题的关键．
〖解题思路〗只要运用平均数公式：
，即可求出．
〖参考答案〗解：
平均数=（36.12+31.14+31.4+34.42+35.26+37.7+38.12）÷7≈34.88（万），
所以这一周入园参观人数的平均数是34.88万．
故填34.88．
【课堂训练题】
1．某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？
若能，请说明理由．若不能，如何才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？
谈谈你的看法．
〖参考答案〗解：
（1）平均月工资=（4000+600+900+500+500+400）÷6=1150（元），
（2）∵能达到这个工资水平的只有2人，
∴平均月工资不能准确反映该酒店员工工资的一般水平，这组数据的众数是500元，才能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平，原因是它符合多数人的工资水平．
2．某企业招工广告中称，本企业所有员工的平均工资为2000元/月，如果是事实，你愿意受聘于该企业吗？
〖参考答案〗解：
不一定．
因为可能比2000元高的员工的工资的平均工资比全部的平均工资高的多，
比2000元低的员工的工资的平均数比全部的平均数低得多，
那么平均工资为2000元，这个数不能说明大多数员工的工资，
因此不一定去；
如果2000元是中位数，还是能够去的．
【例题2】在“情系玉树献爱心”捐款活动中，某校九
（1）班同学人人拿出自己的零花钱，现将同学们的捐款数整理成统计表，则该班同学平均每人捐款元 ．
捐款数（元）
5
10
20
50
人数
4
15
6
5
〖选题意图〗本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
〖解题思路〗平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
〖参考答案〗解：
（5×4+10×15+20×6+50×5）÷30=18元，
∴该班同学平均每人捐款18元．故填18．
【课堂训练题】
1．某生数学科课堂表现为90分、平时作业为92分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按30%、30%、40%的比例计入总评成绩，则该生数学科总评成绩是 分．
〖参考答案〗解：
=90×30%+92×30%+85×40%=27+27.6+34=88.6．
2．为了调查某一路口某时段的汽车流量，记录了15天同一时段通过该路口的汽车辆数，其中有2天是142辆，2天是145辆，6天是156辆，5天是157辆，那么这15天通过该路口汽车平均辆数为（ ）
A．146B．150C．153D．1600
〖参考答案〗解：
依题意有：
（142×2+145×2+6×156+5×157）÷15=153．故选C．
类型二中位数、众数
【例题3】（2010•鸡西）一组数据：
3，4，9，x，它的平均数比它唯一的众数大1，则x= ．
〖选题意图〗本题考查了确定一组数据众数与平均数的能力．正确运用分类讨论的思想是解答本题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
〖解题思路〗众数可能是3，也可能是4或9，因此应分众数是3或4或9三种情况进行讨论．
〖参考答案〗解：
当众数为3时，（3+4+9+x）÷4=4，则x=0；
当众数为4时，（3+4+9+x）÷4=5，则x=4；
当众数为9时，（3+4+9+x）÷4=10，则x=24．
∴x=0，4或24．
当x=0，24时，没有众数
∴x=4
故答案为4．
【课堂训练题】
1．100名学生进行20秒钟跳绳测试，测试成绩统计如下表：
跳绳个数x
20＜x≤30
30＜x≤40
40＜x≤50
50＜x≤60
60＜x≤70
x＞70
人数
5
2
13
31
23
26
则这次测试成绩的中位数m满足（ ）
A．40＜m≤50B．50＜m≤60C．60＜m≤70D．m＞70
〖参考答案〗解：
∵一共有100名学生参加测试，
∴中位数应该是第50名和第51名成绩的平均数，
∵第50名和第51名的成绩均在50＜x≤60，
∴这次测试成绩的中位数m满足50＜x≤60，
故选B．
2．在“庆祝建党90周年的红歌传唱活动”比寒中，七位评委给某参赛队打的分数为：
92、86、88、87、92、94、86，则去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数和中位数是（ ）
A．89，92B．87，88C．89，88D．88，92
〖参考答案〗解：
根据去掉一个最高分和一个最低分后，所剩五个分数的平均数为：
平均数：
（92+86+88+87+92）÷5=89，故平均数是89；
将数据按从小到大的顺序排列得：
86、87、88、92、92．
最中间的年龄是88，
故中位数是88．故选：
C．
类型三极差、方差和标准差
【例题4】一组数据3，x，0，﹣1，﹣3的平均数是1，则这组数据的极差为 ．
〖选题意图〗本题考查了极差的定义，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
〖解题思路〗根据平均数的定义即可求得x的值，进而得到这组数据的极差．
〖参考答案〗解：
根据题意得：
3+x+0﹣1﹣3=1×5，解得x=6．
则这组数的极差是6﹣（﹣3）=9．
【课堂训练题】
1．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“+”，不足标准重量的记作“﹣”，他记录的结果是+0.5，﹣0.5，0，﹣0.5，﹣0.5，+1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是（ ）
A．0，1.5B．29.5，1C．30，1.5D．30.5，0
〖参考答案〗解：
平均数：
30+（0.5﹣0.5+0﹣0.5﹣0.5+1）÷6=30（kg），
极差：
（30+1）﹣（30﹣0.5）=1.5（kg），故选：
C．
2．一组数据为1，5，3，4，5，6，这组数据的极差、众数、中位数分别为（ ）
A．5，4，5B．5，5，4.5C．5，5，4D．5，3，2
〖参考答案〗解：
先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：
1，3，4，5，5，6．
位于最中间的数是4和5，
∴这组数的中位数是4.5．
这组数出现次数最多的是5，
∴这组数的众数是5
极差为：
6﹣1=5．
故选B．
【例题5】博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动．这两位活动同学最近四次的数学测验成绩如下表：
（单位：
分）
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分．
（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？
请说明理由．
〖选题意图〗本题考查了方差、平均数，方差的意义：
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
〖解题思路〗
（1）由平均数的公式计算即可；
（2）方差越小，成绩越稳定，反之，方差越大，成绩越不稳定．
〖参考答案〗解：
（1）
甲=
（75+70+85+90）=80，
乙=
（75+78+85+82）=80，
（2）∵S甲2=62.5，S乙2=14.5，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差．
【课堂训练题】
1．王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活98%．现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅，每棵的产量如折线统计图所示．
（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；
（2）试通过计算说明，哪个山上的杨梅产量较稳定？
〖参考答案〗解：
（1）
（千克），
（千克），
总产量为40×100×98%×2=7840（千克）；
（2）
（千克2），
（千克2），
∴S2甲＞S2乙．
答：
乙山上的杨梅产量较稳定．
2．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：
（单位：
分）
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：
标准分=（个人成绩一平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分大的考试成绩更好．请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
友情提示：
一组数据的标准差计算公式是:
S=
，其中
为n个数据x1，x2，…xnr的平均数．
〖参考答案〗解：
（1）数学考试成绩的平均分
数学=
（71+72+69+68+70）=70
英语考试成绩的标准差
S英语=
=6
（2）设A同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，
则P数学=（71﹣70）+
=﹣
；
P英语=（88﹣85）÷6=
；
∵P数学＞P英语∴从标准分来看，A同学数学比英语考得更好．
类型四统计量的选择
【例题6】甲、乙两名运动员在6次百米跑训练中的成绩如下表：
（单位：
秒）
请你比较这两组数据的众数、平均数、中位数，并利用这些数据对甲、乙两名运动员进行评价？
〖选题意图〗本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均水平的判断主要分析平均成绩，优秀成绩的判断从中位数不同可以得到，众数比较整体成绩．
〖解题思路〗平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
〖参考答案〗解：
甲：
数据10.8出现2次，次数最多，所以众数是10.8；
平均数=（10.8+10.9+11.0+10.7+11.2+10.8）÷6=10.9；
中位数=（10.8+10.9）÷2=10.85；
乙：
数据10.9出现3次，次数最多，所以众数为10.9；
平均数=（10.9+10.9+10.8+10.8+10.5+10.9）÷6=10.8；
中位数=（10.8+10.9）÷2=10.85；
所以从众数上看，甲的整体成绩优于乙的整体成绩；
从平均数上看，乙的平均成绩优于甲的平均成绩；
从中位数看，甲、乙的成绩一样好．
【课堂训练题】
1．星期天上午，动物圆熊猫馆来了甲、乙两队游客，两队游客的年龄如下表所示：
（1）根据上述数据完成下表：
（2）根据前面的统计分析，回答下列问题：
①能代表甲队游客一般年龄的统计量是 ．
②平均数能较好地反映乙队游客的年龄特征吗？
为什么？
〖参考答案〗解：
（1）对于甲队：
平均数为
=
=15；
方差为
（2×4+1+4+2×4）=1.8；
对于乙队：
年龄为6的最多，故众数为6；
题中已将年龄从小到大排列，共10人；找第5、6人的年龄为5、6岁，其平均数为5.5，故中位数是5.5；
（2）①平均数或中位数或众数；
②平均数不能较好地反映乙队游客的年龄特征．因为乙队游客年龄中含有两个极端值，受两个极端值的影响，导致乙队游客年龄方差较大，平均数高于大部分成员的年龄．
2．三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使用寿命为12个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命（单位：
月）如下：
甲厂
7
8
9
9
9
11
13
14
16
17
19
乙厂
7
7
9
9
10
10
12
12
12
13
14
丙厂
7
7
8
8
8
12
13
14
15
16
17
（1）这三个厂家的广告，分别利用了统计中的哪一个特征数（平均数、中位数、众数）进行宣传；
（2）如果三种产品的售价一样，作为顾客的你选购哪个厂家的产品？
请说明理由．
〖参考答案〗解：
（1）甲厂的平均数=（7+8+9+9+9+11+13+14+16+17+19）÷11=12，
∴甲厂的广告利用了统计中的平均数；
由于乙厂数据中12有3次，是众数，故乙厂的广告利用了统计中的众数；
丙厂数据中的中位数是12，故丙厂的广告利用了统计中的中位数；
（2）选用甲厂的产品．因为它的平均数较真实地反映灯管的使用寿命．
或选用丙厂的产品．因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过12个月．
【例题7】下表是甲、乙两人各打靶十次的成绩情况统计表（单位：
环）
根据上面的统计表，制作适当的统计图表示甲、乙两人打靶成绩的变化，并回答下列问题．
（1）谁成绩变化的幅度大？
（2）甲、乙两人哪一次射击的成绩相差最大？
相差多少？
〖选题意图〗极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
〖解题思路〗
（1）谁的成绩变化幅度大实际上是比较极差的大小，因为极差反映了一组数据变化范围的大小．
（2）利用极差公式求即可．
〖参考答案〗解：
（1）∵甲中找出数据中最大的值9，最小值5，故极差是4，
乙中找出数据中最大的值10，最小值2，极差是8，
∴乙成绩变化的幅度大；
（2）从数据中找出成绩相差大的是第一次，相差9﹣2=7环．
【课堂训练题】
1．某校初三
（1）班、
（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：
（1）请你对下面的一段话给予简要分析：
初三
（1）班的小刚回家对妈妈说：
“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里可算上游了！
”
（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．
〖参考答案〗解：
（1）由中位数可知，85分排在第25位之后，从位次上讲不能说85分是上游；但也不能单纯以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段的学习内容掌握较好，从掌握学习内容上讲也可以说属于上游；
（2）高一
（1）班成绩中位数为87，说明高于87分的人数占一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也多，两极分化严重，建议加强对学习有困难者的帮助；
高一
（2）班的中位数和平均分均为79分，标准差又很小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀率．
2．射击集训队在一个月的集训中，对甲、乙两名运动员进行了10次测试，成绩如下：
甲：
9，6，6，8，7，6，6，8，8，6；
乙：
4，5，7，6，8，7，8，8，8，9．
如果你是教练员，会选择哪位运动员参加比赛？
请说明理由．
〖参考答案〗解：
选择甲运动员．
理由如下：
甲的平均数为
=7.0，
乙的平均数为
=7.0，
S甲2=
=1.2，
S乙2=
=2.2，
∴S甲2＜S乙2，
∴乙的成绩比较稳定，
∴选择甲运动员参加比赛．
第三部分课后自我检测试卷
A类试题：
1．下列数据：
16，20，22，25，24，25的平均数和中位数分别为（ ）
A．21和22B．22和23C．22和24D．21和23
2．甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射靶5次，射击成绩统计如下：
命中环数（单位：
环）
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0
从射击成绩的平均数评价甲、乙两人的射击水平，则（ ）
A．甲比乙高B．甲、乙一样C．乙比甲高D．不能确定
3．（2011•滨州）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
2
2
0
1
乙命中相应环数的次数
1
3
1
0
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
4．一组数据10，14，20，24，19，16的极差是 ．
5．九位学生的鞋号由小到大是：
20，21，21，22，22，22，22，23，23．
这组数据的平均数、中位数和众数哪个指标是鞋厂最不感兴趣的？
哪个指标是鞋厂最感兴趣的？
B类试题：
6．甲，乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填人下表：
某同学根据上表分析得出如下结论：
①甲，乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大．上述结论正确的是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
7．三五三七鞋厂为了了解初中学生穿鞋的鞋号情况，对红华中学初二
（1）班的20名男生所穿鞋号统计如下表：
（1）写出男生鞋号数据的平均数，中位数，众数；
（2）在平均数，中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是什么？
8．某中学初三
（1）班、
（2）班各选5名同学参加“爱我中华”演讲比赛，其预赛成绩（满分100分）如图所示：
（1）根据上图信息填写下表：
平均数
中位数
众数
初二
（1）班
85
85
初二
（2）班
85
80
（2）根据两班成绩的平均数和中位数，分析哪班成绩较好？
（3）如果每班各选2名同学参加决赛，你认为哪个班实力更强些？
请说明理由．
C类试题：
9．（2011•济宁）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：
首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．图票结果统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
92
90
95
面试
85
95
80
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）补全图一和图二；
（2）请计算每名候选人的得票数；
（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：
5：
3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
10．芜湖市1985年～2008年各年度专利数一览表
年度
专利数
年度
专利数
年度
专利数
年度
专利数
1985
0
1991
21
1997
56
2003
138
1986
2
1992
27
1998
55
2004
165
1987
3
1993
32
1999
110
2005
184
1988
8
1994
22
2000
71
2006
194
1989
9
1995
19
2001
60
2007
702
1990
13
1996
36
2002
71
2008
1006
（1）请你根据以上专利数数据，求出该组数据的中位数为 ；极差为 ；
（2）请用折线图描述2001年～2008年各年度的专利数；
（3）请你根据这组数据，说出你得到的信息．
课后自我检测试卷参考答案
A类试题：
1．解：
一组数据为16，20，22，25，24，25，
∴平均数=（16+20+22+25+24+25）÷6=22；
把数据按从小到大的顺序排列：
16，20，22，24，25，25，
∴中位数=（22+24）÷2=23．
故选B．
2．解：
由题意知，甲的平均数=
=8环，
乙的平均数=
8环，
所以从平均数看两个一样．
故选B．
3．解：
甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为：
，
，
，
，
∵s甲2＜s乙2．
∴乙同学的射击成绩比较稳定．
4．由题意可知，极差为24﹣10=14．
5．解：
鞋厂最不感兴趣的指标是平均数，因为有可能没有一个学生的鞋号等于这个平均数．最感兴趣的指标是众数，因为它表明工厂应该生产最多这一鞋号的鞋．
B类试题：
6．解：
从表中可知，平均字数都是135，
（1）正确；
甲班的中位数是149，乙班的中位数是151，比甲的多，而平均数都要为135，说明乙的优秀人数多于甲班的，
（2）正确；
甲班的方差大于乙班的，又说明甲班的波动情况大，所以（3）也正确．
故选A．
7．解：
（1）由题意知：
男生鞋号数据的平均数=
=24.525；
男生鞋号数据的众数为25；
男生鞋号数据的中位数=
=24.5．
∴平均数是24.525，中位数是24.5，众数是25．
（2）厂家最关心的是众数．
8．解：
（1）中位数填85，众数填100．
（2）因为两班的平均数都相同，但初三
（1）班的中位数高，所以初三
（1）班的成绩较好．
（3）如果每个班各选2名同学参加决赛，我认为初三
（2）班实力更强些．
因为，虽然两班的平均数相同，但在前两名的高分区中初三
（2）班的成绩为100分，而初三
（1）班的成绩为100分和85分．
C类试题：
9．解：
（1）
（2）甲的票数是：
200×34%=68（票），
乙的票数是：
200×30%=60（票），
丙的票数是：
200×28%=56（票）；
（3）甲的平均成绩：
，
乙的平均成绩：
，
丙的平均成绩：
，
∵乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙．
10．解：
（1）中位数为46，极差为1006；
（2）如图：
（3）芜湖的专利数从无到有，近几年专利数增加迅速．（必须围绕专利数据来谈）
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