【分析】根据反比例函数的性质,即可判定.
【解答】解:
双曲线y=的图象经过第一、三象限,所以2k-1>0可解得k>,故选C.
【点评】本题考查反比例函数的性质.
2.下列方程是一元二次方程的是( )
A.3x2+_=0B.2x﹣3y+1=0C.(x﹣3)(x﹣2)=x2D.(3x﹣1)(3x+1)=3
【分析】只含有一个未知数,且未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点:
(1)只含有一个未知数;
(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程.
【解答】解:
选D.
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义,要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理.如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,则这个方程就为一元二次方程.
3.三角形两边的长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是( )A.24B.24或8_C.48或16_D.8_
【分析】由x2﹣16x+60=0,可利用因式分解法求得x的值,然后分别从x=6时,是等腰三角形;与x=10时,是直角三角形去分析求解即可求得答案.
【解答】解:
∵x2﹣16x+60=0,∴(x﹣6)(x﹣10)=0,解得:
x1=6,x2=10,
当x=6时,则三角形是等腰三角形,如图①,AB=AC=6,BC=8,AD是高,
∴BD=4,AD=_=2_,∴S△ABC=BC•AD=_×8×2_=8_;
当x=10时,如图②,AC=6,BC=8,AB=10,∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠C=90°,
S△ABC=_BC•AC=_×8×6=24.∴该三角形的面积是:
24或8_.故选:
B.
【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程,等腰三角形的性质,勾股定理及其逆定理,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.
4.若,则等于( )
A.B.C.2D.
【分析】设_=k,得出a=2k,b=3k,c=4k,代入求出即可.选B.
【点评】本题考查了比例的性质的应用,主要考查学生的分析问题和解决问题的能力.
5.如图,D、E分别是AB、AC上两点,CD与BE相交于点O,下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A.∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE=CD,AB=ACD.AD:
AC=AE:
AB
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析,从而得到答案.
【解答】解:
∵∠A=∠A
∴当∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD:
AC=AE:
AB时,△ABE和△ACD相似.故选C.
【点评】此题考查了相似三角形的判定,①有两个对应角相等的三角形相似;
②有两个对应边的比相等,且其夹角相等,则两个三角形相似;
③三组对应边的比相等,则两个三角形相似.
6.下列等式成立的是( )
A.sin45°+cos45°=1B.2tan30°=tan60°C.2sin60°=tan45°D.sin230°=_cos60°
【分析】根据特殊角的三角函数值,分别计算即可判断.
【解答】解:
选D.
【点评】本题考查特殊角的三角函数值,解题的关键是记住特殊角的三角函数值,属于中考常考题型.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=_,则tanB的值为( )
A._B._C._D._
【分析】根据题意作出直角△ABC,然后根据sinA=_,设一条直角边BC为5x,斜边AB为13x,根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度,然后根据三角函数的定义可求出tan∠B.
【解答】解:
∵sinA=_,∴设BC=5x,AB=13x,则AC=_=12x,
故tan∠B=_=_.故选:
D.
【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系,属于基础题,
解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用.
8.把中考体检调查学生的身高作为样本,样本数据落在1.6~2.0(单位:
米)之间的频率为0.28,于是可估计2000名体检中学生中,身高在1.6~2.0米之间的学生有( )
A.56B.560C.80D.150
【分析】根据频率的意义,每组的频率=该组的频数:
样本容量,即频数=频率×样本容量.数据落在1.6~2.0(单位:
米)之间的频率为0.28,于是2000名体检中学生中,身高在1.6~2.0米之间的学生数即可求解.
【解答】解:
0.28×2000=560.故选B.
【点评】本题考查频率的意义与计算,频率的意义,每组的频率=该组的频数:
样本容量.
9.为了解自己家的用电情况,李明在6月初连续几天同一时刻观察电表显示的情况记录如下:
日期
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
电表显示(千瓦时)
117
120
124
129
135
138
142
145
按照这种用法,李明家6月份的用电量约为( )
A.105千瓦时B.115千瓦时C.120千瓦时D.95千瓦时
【分析】根据样本估计总体的统计思想:
可先求出7天中用电量的平均数,作为6月份用电量的平均数,则一个月的用电总量即可求得.【解答】解:
30×_=120(千瓦时).选C.
10.如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论成立的有:
①∠ACD=30°;②S▱ABCD=AC•BC;③OE:
AC=:
6④S△OCF=2S△OEF.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(毎题3分,共24分)
11.点P(2m﹣3,1)在反比例函数_的图象上,则m= 2 .
【分析】此题可以直接将P(2m﹣3,1)代入反比例函数解析式即可求得m的值.
解:
∵点P(2m﹣3,1)在反比例函数_的图象上,∴(2m﹣3)×1=1,解得m=2.
【点评】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征:
点的纵横坐标满足函数解析式.
12.已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称,则该函数的解析式为 y=﹣ .
【分析】根据图象关于y轴对称,可得出所求的函数解析式.
【解答】解:
关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等,
即y=,∴y=﹣故答案为:
y=﹣.
【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性,是识记的内容.
13.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0有一个根是2,则另一根是 1 .
【分析】首先设另一个根为α,由关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0有一个根是2,根据根与系数的关系可得α+2=3,继而求得答案.
【解答】解:
设另一个根为α,∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+c=0有一个根是2,
∴α+2=3,∴α=1,即另一个根为1.故答案为1.
【点评】此题考查了根与系数的关系.注意若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q.
14.如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根,m的取值范围是 0<m≤1 .
【分析】根据题意得出△≥0,m>0,代入求出m的范围即可.
【解答】解:
∵方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根,
∴△≥0,m>0,△=22﹣4×1×m=4﹣4m≥0,解得:
m≤1,即m的取值范围是0<m≤1,
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用,注意:
如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0)的两个根,则x1+x2=﹣,x1•x2=_…
15.已知线段a=3cm,b=6cm,c=5cm,且a,b,d,c成比例线段,则d= 2.5 cm.
【分析】根据线段成比例,则可以列出方程a:
b=d:
c,代入数值求解即可.
【解答】解:
∵线段a,b,c,d成比例,
∴a:
b=d:
c,由题中a=3cm,b=6cm,c=5cm,∴代入方程可得d=2.5.
【点评】本题考查线段成比例的问题.根据线段成比例的性质,列方程求解即可.
16.如图,把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置,它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半,若AB=_,则此三角形移动的距离AA′= _ .
【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A′B,再求AA′就可以了.
【解答】解:
设BC与A′C′交于点E,
由平移的性质知,AC∥A′C′,∴△BEA′∽△BCA,
∴S△BEA′:
S△BCA=A′B2:
AB2=1:
2,∵AB=_,
∴A′B=1,∴AA′=AB﹣A′B=_,故答案为:
_.
【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
17.学校校园内有一块如图所示的三角形空地,计划将这块空地建成一个花园,以美化校园环境.预计花园每平方米造价为30元,学校建这个花园需要投资 7794 元.(精确到1元)
【分析】延长BC,过A作AD⊥BC的延长线于点D,再根据补角的定义求出∠ACD的度数,由锐角三角函数的定义接可求出AD的长,再根据三角形的面积公式求出此三角形的面积,再根据每平方米造价为30元计算出所需投资即可.
【解答】解:
延长BC,过A作AD⊥BC的延长线于点D,
∵∠ACB=120°,
∴∠ACD=180°﹣120°=60°,
∵AC=20米,∴AD=AC•sin60°=20×_=10_(米),
∴S△ABC=_BC•AD=_×30×10_=150_(平方米),
∴所需投资=150_×30≈7794(元).故答案为:
7794.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
18.在平面直角坐标系中,第1个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点A1,作第2个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2017个正方形的面积为
解:
利用相似可计算出每个正方形的边长5X(9/4)2016
三、解答题(每题8分,共24分)
19.(6分)解方程:
5x2+10x-15=0
解得:
x1=-3,x2=1 (可用因式分解或配方)
20.(6分)计算:
(-1)2017+|-1|-cos30°+2-1+2tan45°.
解原式=1.
21.(8分)已知反比例函数y=_(k为常数,k≠1).
(1)若点A(1,2)在这个函数的图象上,求k的值;
(2)若在这个函数图象的每一分支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
【分析】
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k﹣1=1×2,然后解方程即可;
(2)根据反比例函数的性质得k﹣1>0,然后解不等式即可.
【解答】解:
(1)根据题意得k﹣1=1×2,解得k=3;
(2)因为反比例函数y=,在这个函数图象的每一分支上,y随x的增大而减小,
所以k﹣1>0,解得k>1.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征:
反比例函数y=_(k为常数,k≠0)的图象是双曲线,图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k.也考查了反比例函数的性质.
四、应用题(每题8分,共24分)
22.(8分)关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)请选择一个k的负整数值,并求出方程的根.
【分析】
(1)因为方程有两个不相等的实数根,△>0,由此可求k的取值范围;
(2)在k的取值范围内,取负整数,代入方程,解方程即可.
【解答】解:
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴(﹣3)2﹣4(﹣k)>0,即4k>﹣9,解得_;
(2)若k是负整数,k只能为﹣1或﹣2;
如果k=﹣1,原方程为x2﹣3x+1=0,解得,_,_.
(如果k=﹣2,原方程为x2﹣3x+2=0,解得,x1=1,x2=2)
【点评】总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
23.(8分)为了迎接2018年高中招生考试,迎光中学对全校九年级学生进行了一次数学摸底考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中所给信息,解答下列问题:
(1)请将表示成绩类别为“中”的条形统计图补充完整;
(2)在扇形统计图中表示成绩为“优”的扇形所对的圆心角是______度;
(3)学校九年级共有400人参加了这次数学考试,估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?
【解答】
(1)如上图.
(2)成绩类别为“优”的扇形所占的百分比=10÷50=20%,
所以表示成绩类别为“优”的扇形所对应的圆心角是:
360°×20%=72°;
(3)1000×20%=200(人),
答:
该校九年级共有200名学生的数学成绩可以达到优秀.
23.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:
MC:
NC=AP:
PB.
∵BC⊥AC,∴PD∥BC,
根据折叠可知:
MN⊥CP,
∵∠1+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°,
∴∠1=∠CNM,
∵∠CDP=∠NCM=90°,∴△PDC∽△MCN,∴MC:
CN=PD:
DC,
∵∠ADP=90°,∠A=45°,∴△ADP为等腰直角三角形,∴PD=DA,
∴MC:
CN=DA:
DC,
∵PD∥BC,∴DA:
DC=PA:
PB,∴MC:
CN=PA:
PB.
24、如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置A。
(1)在图上作出A点;
(2)此时此时轮船离灯塔的PA距离约为多少米?
(参考数据:
sin68°=0.9272,sin46°=0.7193,sin22°=0.3746,sin44°=0.6947)
解:
五、综合题(共18分)
25.(8分)如图,直线l:
y=-x+1与x轴,y轴分别交于A,B两
点,点P,Q是直线l上的两个动点,且点P在第二象限,点Q在
第四象限,∠POQ=135°.
(1)求△AOB的周长;
(2)设AQ=t>0.试用含t的代数式表示点P的坐标;
26.(10分)如图,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B、C重合),连结AD.
问题引入:
(1)如图①,当点D是BC边上的中点时,S△ABD:
S△ABC=______;当点D是BC边上任意一点时,S△ABD:
S△ABC=______(用图中已有线段表示).
(2)如图②,在△ABC中,O点是线段AD上一点(不与点A、D重合),连结BO、CO,试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由.
(3)如图③,O是线段AD上一点(不与点A、D重合),连结BO并延长交AC于点F,连结CO并延长交AB于点E,试猜想的值,并说明理由