北京市房山区高三数学文科一模试题及答案.docx
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北京市房山区高三数学文科一模试题及答案
房山区2018年高考第一次模拟测试试卷
数学（文）
本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，，则集合等于
（A）（B）（C）（D）
（2）已知，满足约束条件，那么的最大值是
（A）（B）（C）（D）
（3）下列函数中，与函数的单调性和奇偶性相同的函数是
（A）（B）（C）（D）
开始
输入n,k
开始
n=1,k=1
k=k+1
n=n+1
k≤4
是
否
输出n!
结束
结束
（4）阶乘（factorial）是基斯顿·卡曼于年发明的运算符号，的阶乘.例如：
，.执行如图所示的程序框图．则输出的值是
（A）（B）
（C）（D）
（5）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为，则的值
（A）（B）
（C）（D）
（6）如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）“”是“函数的图象与函数的图象的交点个数为个的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）若五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为.第二位同学首次报出的数也为，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第个数被报出时，五位同学拍手的总次数为
（A）（B）（C）（D）
第二部分（非选择题共分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
（10）如果复数（其中是虚数单位）是实数，则实数.
（11）已知命题，，则为.
（12）已知，，且与的夹角为，则.
（13）已知函数同时满足以下条件：
周期为；值域为；．
试写出一个满足条件的函数解析式.
（14）设函数则
1 ；
2 若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是.
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题分）
已知数列是等差数列，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
（16）（本小题分）
在△中，内角的对边分别为，且．
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求△的面积．
（17）（本小题分）
分组
频数
频率
合计
年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过天，重度污染的天数仅有天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如①减少机动车尾气排放；②实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：
千立方米）均在区间（0,5]内，将数据按区间列表如下：
（Ⅰ）求表中，的值；
（Ⅱ）若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；
（Ⅲ）从用气量高于3千立方米的用户中任选2户，进行燃气使用的满意度调查，求这2户用气量处于不同区间的概率.
（18）（本小题分）
如图，四棱锥中，△是以为斜边的等腰直角三角形，，=，，.
（Ⅰ）若为中点，求证：
平面；
（Ⅱ）求证：
面；
（Ⅲ）求四棱锥的体积.
（19）（本小题分）
已知椭圆:
过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，若线段的垂直平分线交轴于点，求证：
．
（20）（本小题分）
已知函数，为曲线:
在点处的切线．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）设，若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
房山区2018年高三一模考试试卷
数学（文科）
参考答案
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
C
D
D
A
D
A
B
2、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）（0，1）（10）（11）（12）
（13）或等（14）,
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题分）
（Ⅰ）由等差数列中，.
得，所以．
所以．…………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
…………13分
（16）（本小题分）
（Ⅰ）解：
由已知得，
即．
解得，或．
因为，故舍去．
所以．…………6分
（Ⅱ）解：
由余弦定理得．
将，代入上式，整理得．
因为，
所以．
所以△的面积．…………13分
（17）解：
（Ⅰ），
（Ⅱ）.05
（Ⅲ）设（3,4]组内数据为a,b,c,d（4,5]组内数据为：
e,f
从月均用气量高于3千立方米的中随机抽取2户的基本事件空间为
={（a,b）,（a,c）,（a,d）,（a,e）,（a,f）,（b,c）,（b,d）,（b,e）,（b,f）,（c,d）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）,（e,f）}
共有15种情况,
设随机抽取2户不在同一组为事件A
则A中共有：
（a,e）,（a,f）,（b,e）,（b,f）,（c,e）,（c,f）,（d,e）,（d,f）共有8种情况
P（A）=…………13分
（18）证明：
（I）法1：
取PA的中点F，连接EF，BF
在△APD中，EF分别为PA，PD的中点，
EFAD
EFBC
四边形FECB为平行四边形
FB//CE
平面…………5分
法2：
作AD的中点O，连接EO，CO
在△APD中，EOAP
BCAO
四边形ABCO为平行四边形
AB//CO
面EOC//面PAB
（Ⅱ）取AD的中点O，连接PO，OB
，
由题
…………5分
（Ⅲ）在等腰直角三角形PAD中，O为AD的中点
又
…………4分
（19）（Ⅰ）根据题意
解得：
所以椭圆的方程为…………5分
（Ⅱ）设直线的方程为
由
得
由得且
设，线段中点
那么，
设，根据题意
所以，得
所以
=
…………14分
（20）解：
（Ⅰ）.
所以，切点为.
所以的方程为…………………5分
（Ⅱ）定义域为
设
恒成立
所以在上是减函数，且
则当时，即
则当时，即
所以的单调递增区间为，的单调递减区间.
…………………9分
（Ⅲ）因为
当时，当时
所以在上的最小值为=
所以若关于的不等式有解，则，即
…………………13分
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