cdcd
5、解：
不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则
，
∴C、D不正确；
，
∴A不正确，B正确．故选：
B
6、执行如图的程序框图，如果输入的x,y∈R，那么输出的S的最大值为（）
A、0B、1C、2D、3
6、解：
由程序框图知：
算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：
当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：
C．
5
7、已知b>0，logb=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）
A、d=ac
B、a=cd
C、c=ad
D、d=a+c
7、解：
由5d=10，可得，
∴cd=lgb
1
lg5
=log5b=a．
故选：
B．
8、如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）
A、240（
C、120（
8、解：
如图，
-1）m
-1）m
B、180（D、30（
-1）m
+1）m
由图可知，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan（45°﹣30°）==＝2－．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣
）=120﹣60．
在Rt△ADB中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=60．
∴BC=DC﹣DB=60
﹣（120﹣60
）=120（
－1）（m）．
∴河流的宽度BC等于120（故选：
C．
－1）m．
9、设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点
P（x,y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）
A、[5,25]B、[10,25]C、[10,45]D、[25,45]
9、解：
由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
由基本不等式可得|PA|2+|PB|2≤（|PA|+|PB|）2≤2（|PA|2+|PB|2），
即10≤（|PA|+|PB|）2≤20，可得10≤（|PA|+|PB|）2≤2，故选：
B
10、已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA⋅OB=2
（其中O为坐标原点），则∆ABO与∆AFO面积之和的最小值是（）
A、2B、3C、D、
8
10、解：
设直线AB的方程为：
x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），21·cn·jy·com
由
⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，
∵OAOB=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而
，
∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，
，
∴S△ABO+S△AFO=
=．
当且仅
，
时，取“=”号，
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．
注意事项：
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。
作图题可先用
铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
第Ⅱ卷共11小题。
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11、双曲线
x2-2
4
=1的离心率等于。
11、解：
由双曲线的方程可知a2=4，b2=1，则c2=a2+b2=4+1=5，
则a=2，c=，
即双曲线的离心率e==，
2
故答案为：
2
12、复数
12、
2-2i1+i
=。
解：
复数===﹣2i，
故答案为：
﹣2i
13、设
f（x）
是定义在R上的周期为2的函数，当
x∈[-1,1）时，
⎧-4x2+2,-1≤x<0,3
f（x）=⎨
⎩
x,0≤x<1,
，则f（）=。
2
13、解：
∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴
=1．
故答案为：
1
14、平面向量a=（1,2），b=（4,2），c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=。
14、解：
∵向量
=（1，2），
=（4，2），
=m
+
（m∈R），
∴
=m（1，2）+（4，2）=（m+4，2m+2）．
∴
=m+4+2（2m+2）=5m+8，
=4（m+4）+2（2m+2）=8m+20．
，=2．
∵
与
的夹角等
与
的夹角，
化为5m+8=4m+10，解得m=2．故答案为：
2
15、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数ϕ（x）组成的集合：
对于函数ϕ（x），存在一个正数M，使得函数ϕ（x）的值域包含于区间[-M,M]。
例如，当
ϕ（x）=x3，ϕ（x）=sinx时，ϕ（x）∈A，ϕ（x）∈B。
现有如下命题：
1212
①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃x∈R，f（a）=b”；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B；
x
④若函数f（x）=aln（x+2）+
x2+1
（x>-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B。
其中的真命题有。
（写出所有真命题的序号）。
15、解：
（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：
设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：
函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．21世纪教育网版权所有
∴命题②“若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值．”是假命题；
（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．
（4）对于命题④
x
∵函数f（x）=aln（x+2）+x2+1（x＞﹣2，a∈R）有最大值，
∞时，2
∴假设a＞0，当x→+x→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与
x+1
题意不符；21*cnjy*com
假设a＜0，当x→﹣2时，
xx2+1
→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）
∴a=0．
x
即函数f（x）=x2+1（x＞﹣2）
当x＞0时
，∴，
；当x=0时，f（x）=0；
当x＜0时
，∴，
．
∴
．即f（x）∈B．
故命题④是真命题．故答案为①③④．
三、解答题：
本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分12分）
一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同。
随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c。
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率。
16、解：
（Ⅰ）所有的可能结果（a，b，c）共有3×3×3=27种，
而满足a+b=c的（a，b，c）有（1，1，2）、（1，2，3）、（2，1，3），共计3个，
31
故“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为=．
279
（Ⅱ）满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的（a，b，c）有：
（1，1，1）、（2，2，2）、（3，3，3），共计三个，
31
故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为=，
279
∴“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为1﹣=．
17、（本小题满分12分）
已知函数f（x）=sin（3x+π
4
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若α是第二象限角，f（）=4cos（α+）cos2α，求cosα-sinα的值。
354
17、解：
（1）∵函数f（x）=sin（3x+
），令2kπ﹣
≤3x+
≤2kπ+
，k∈z，求得
﹣
≤x≤
+
，故函数的增区间为
﹣
，
+
]，k∈z．
（2）由函数的解析式可得f（
）=sin（α+
），又f（
）=cos（α+
）cos2α，
∴sin（α+
）=cos（α+
）cos2α，即sin（α+
）=cos（α+
）（cos2α﹣sin2α），
∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．
又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，
当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．
当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．
综上所述：
cosα﹣sinα=﹣
或﹣．
18、（本小题满分12分）
在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形。
（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：
直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE//平面A1MC？
请证明你的结论。
18、（Ⅰ）证明：
∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，
∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，
∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，
∴直线BC⊥平面ACC1A1；
（Ⅱ）解：
取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O
连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，
∴MD∥OE，MD=OE，
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
∴DE∥MO，
∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，
∴DE∥平面A1MC，
∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．
19、（本小题满分12分）
设等差数列{a}的公差为d，点（a,b）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）。
nnn
（Ⅰ）证明：
数列{bn}为等差数列；
（Ⅱ）若a=1，函数f（x）的图象在点（a,b）处的切线在x轴上的截距为2-1
，求数列
122
{ab2}的前n项和S。
ln2
nnn
19、（Ⅰ）证明：
由已知得
＞0，当n≥1时，
∴数列{bn}为首项
，公比为2d的等比数列；
（Ⅱ）解：
f′（x）=2xln2
∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为y﹣
=
ln2（x﹣a2），
1
∵在x轴上的截距为2﹣
，
ln2
∴a2﹣
1
ln2
=2﹣
1
ln2
，∴a2=2，
nn
∴d=a2﹣a1=1，an=n，bn=2n，ab2=n4n，
∴Tn=1•4+2•42+3•43+…+（n﹣1）•4n﹣1+n•4n，
4Tn=1•42+2•43+…+（n﹣1）•4n+n•4n+1，
∴Tn﹣4Tn=4+42+…+4n﹣n•4n+1=
﹣n•4n+1=
，
∴Tn=．
20、（本小题满分13分）
x2y2
已知椭圆C：
a2
+=1（a>b>0）的左焦点为F（-2,0），离心率为。
b23
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=-3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q。
当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积。
20、解：
（Ⅰ）由题意可得，
解得c=2，a=，b=．
∴椭圆C的标准方程
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），
设T（﹣3，m），则直线TF的斜率
，
∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
联
，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，
△＞0，∴y1+y2=
，y1y2=
．
∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=
．
∵四边形OPTQ是平行四边形，
∴
，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），
∴，解得m=±1．
此时四边形OPTQ的面积S=═
=2．
21、（本小题满分14分）
已知函数f（x）=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R，e=2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数。
（Ⅰ）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0,1]上的最小值；
（Ⅱ）若f
（1）=0，函数f（x）在区间（0,1）内有零点，证明：
e-221、解：
∵f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，又g′（x）=ex﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤ex≤e，
∴①
时，则2a≤1，g′（x）=ex﹣2a≥0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；
②
，则1＜2a＜e，
∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=ex﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=ex﹣2a＞0，
∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；
③
时，则2a≥e，g′（x）=ex﹣2a≤0，
∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g
（1）=e﹣2a﹣b，综上：
函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为
；
（2）证明：
由f
（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由
（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，
1）内至少有三个单调区间”这一要求．2·1·c·n·j·y
若
，则gmin（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e﹣1
令
（1＜x＜e）
则．
＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间
，e）上单调递减，
=，即gmin（x）＜0恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，
又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：
e﹣2＜a＜1．
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