人教版初中数学八年级上册第十三章轴对称全章教案.docx
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人教版初中数学八年级上册第十三章轴对称全章教案
第十三章 轴对称
本章的内容包括：
轴对称、画轴对称图形、等腰三角形、最短路径问题．
轴对称是一种重要的对称．本章我们将从生活中的对称出发，学习几何图形的轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用．在此基础上，利用轴对称来研究等腰三角形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此体会图形变化在几何研究中的作用．在中考中，本章重点考查轴对称图形的性质、等腰三角形、等边三角形的判定及性质．
【本章重点】
轴对称图形的性质、等腰三角形的性质及判定．
【本章难点】
运用轴对称的思路分析认识复杂图形，进行推理论证．
【本章思想方法】
1．体会和掌握分类讨论思想，如：
在解答等腰三角形的问题中，当腰和底、顶角的大小、角的位置不明确时，需要进行分类讨论．
2．体会方程思想，如：
在解决等腰三角形的问题时，根据边或角之间的关系，先设适当的边或角为未知数，再将其他的边或角用含未知数的代数式表示出来，最后根据等腰三角形的周长或三角形的内角和定理等构造方程解决问题．
3．体会数形结合思想，如：
运用本章知识解决实际问题时经常根据题意画出符合条件的图形，利用数形结合思想解决问题．
13．1 轴对称3课时
13．2 画轴对称图形2课时
13．3 等腰三角形4课时
13．4 课题学习 最短路径问题1课时
13．1 轴对称
13.1.1 轴对称（第1课时）
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．
2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．
【过程与方法】
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流．
【情感态度与价值观】
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活．
二、重难点目标
【教学重点】
轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系．
【教学难点】
轴对称的性质．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P58～P60的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.
2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
3．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
4．图形轴对称的性质：
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
5．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有1个．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】判断下列图形是否为轴对称图形？
如果是，说出它有几条对称轴．
【互动探索】（引发学生思考）如何判断一个图形是否是轴对称图形？
如何找轴对称图形的对称轴？
【解答】根据轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
则
（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形，
（2）（4）（7）（8）（10）是轴对称图形．
（2）（4）（8）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（10）有2条对称轴．
【互动总结】（学生总结，老师点评）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【例2】如图，△ABC和△AED关于直线l对称，若AB＝2cm，∠C＝95°，则AE＝________，∠D＝________.
【互动总结】（学生总结，老师点评）根据轴对称的性质，有AE＝AB＝2cm，∠D＝∠C＝95°.
【答案】2cm 95°
【互动总结】（学生总结，老师点评）根据成轴对称的两个图形全等及全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．下图中的轴对称图形有（ B ）
A．
（1）
（2） B．
（1）（4）
C．
（2）（3） D．（3）（4）
2．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是（ A ）
A．130°B．150°
C．40°D．65°
3．画图：
试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数
3
4
5
6
7
…
对称轴的条数
3
4
5
6
7
…
根据上表，猜想正n边形有n条对称轴．
解：
如图．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
1．可用折叠法判断是否为轴对称图形．
2．多角度、多方法思考对称轴的条数．
3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．
4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．
请完成本课时对应练习！
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 线段垂直平分线的性质和判定
一、基本目标
【知识与技能】
探索并理解线段垂直平分线的性质及判定．
【过程与方法】
经历探索轴对称图形性质及判定的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．
【情感态度与价值观】
通过对轴对称图形性质的探索，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握线段垂直平分线的性质及判定．
【教学难点】
运用其性质及判定解答相关问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P61～P62的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，猜想一下线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
答：
直线MN垂直平分线段AA′、BB′、CC′.
2．垂直平分线的性质：
线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等.
3．垂直平分线的判定：
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
4．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（ C ）
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分∠AMB
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长．
【互动探索】（引发学生思考）△DBC的周长为35cm，求BC→需求BC＋DC的长，利用AD＝BD（垂直平分线的性质）→BC＋DC＝AC.
【解答】∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15（cm）．
【互动总结】（学生总结，老师点评）利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
【互动探索】（引发学生思考）先利用角平分线的性质得出DE＝DF，再证△AED≌△AFD，从而找出AD与EF的关系．
【解答】AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
在Rt△ADE和Rt△ADF中，∵
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
【互动总结】（学生总结，老师点评）证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分，方法2即线段垂直平分线的判定定理．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ B ）
A．6B．5
C．4D．3
2．到平面内不在同一直线上的三个点A、B、C的距离相等的点有1个．
3．如图，在△ABC中，D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连结DF，交AC于点E，连结BE，∠A＝∠ABE.
（1）求证：
DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
（1）证明：
∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB.
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线．
（2）解：
∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝21°，∠F＝90°－∠ABC＝23°.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC＋AD.
【互动探索】
（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可证△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【解答】
（1）∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
【互动总结】（学生总结，老师点评）此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，利用它可以证明线段相等．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
请完成本课时对应练习！
第3课时 线段垂直平分线的有关作图
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握线段垂直平分线的有关作图．
【过程与方法】
经历探索线段垂直平分线的有关作图的过程，发展空间观念，培养学生认真探究、积极思考的能力．
【情感态度与价值观】
通过作轴对称图形的对称轴，促使学生对轴对称有了更进一步的认识，活动与操作的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力，同时培养学生动手操作的意识及能力．
二、重难点目标
【教学重点】
理解作轴对称图形的对称轴的方法．
【教学难点】
能解决有关线段垂直平分线的作图题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P62～P63的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
2．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
3．下面的图形是轴对称图形吗？
如果是，请说出它的对称轴．
解：
它们都是轴对称图形，第一幅图的对称轴是中间的水平直线，第二、三幅图的对称轴是中间的竖着直线．
4．作线段AB的垂直平分线．
解：
作法：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；
（2）作直线EF，EF即为所求的直线．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例题】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
【互动探索】（引发学生思考）如何作轴对称图形的对称轴？
【解答】所画对称轴如下所示：
【互动总结】（学生总结，老师点评）对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？
整个图形是轴对称图形吗？
它共有几条对称轴？
解：
图中有阴影的三角形与三角形1、3成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有2条对称轴．
2．观察图中的图形，是轴对称图形的画出所有的对称轴．
略
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
作对称轴的步骤：
先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．
请完成本课时对应练习！
13．2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
一、基本目标
【知识与技能】
掌握作已知图形关于直线的轴对称图形的方法．
【过程与方法】
在探索问题的过程中体会知识间的关系，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用，感受数学与生活的联系．
【情感态度与价值观】
经历实际操作、认真体验的过程，发展学生的思维空间，培养学生的应用意识和探究精神．
二、重难点目标
【教学重点】
作出简单平面图形关于直线的轴对称图形．
【教学难点】
利用轴对称进行一些图案设计
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P67～P68的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．画出下列轴对称图形的所有对称轴．
略
2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
3．几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】画出△ABC关于直线l的对称图形．
【互动探索】（引发学生思考）画已知图形关于直线对称的图形的关键是什么？
【解答】如图所示：
【互动总结】（学生总结，老师点评）我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连结即可得到．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是（ B ）
2．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
略
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例2】如图，将矩形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若∠EFB＝60°，则∠CFD＝（ ）
A．20°B．30°
C．40°D．50°
【互动探索】根据图形翻折变换后全等可得△ADE≌△FDE，∴∠EAD＝∠EFD＝90°.∵∠EFB＝60°，∴∠CFD＝30°，故选B.
【答案】B
【互动总结】（学生总结，老师点评）折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
作与图形成轴对称的图形，关键在于将图形抽象出各点，然后作点的对称点，再连线即可．
请完成本课时对应练习！
第2课时 坐标中的轴对称
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律．
【过程与方法】
1．在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生形象思维能力和数形结合的思维意识．
2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
【情感态度与价值观】
在探索规律的过程中，培养学生的应用意识和探究精神，提高学生的求知欲和好奇心．
二、重难点目标
【教学重点】
直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．
【教学难点】
能解决有关坐标中的轴对称问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P68～P70的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；
（2）关于x轴对称的点的坐标的特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数.
2．
（1）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）；
（2）关于x轴对称的点的坐标的特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
3．点P（－4,3）关于x轴的对称点为Q，则点Q的坐标为（－4，－3）.
4．点P（－3,4）关于y轴的对称点为M，则点M的坐标为（3,4）.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】在平面直角坐标系中，已知点A（－3,1）、B（－1,0）、C（－2，－1），请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
【互动探索】（引发学生思考）作已知图形关于坐标轴的对称图形的关键是什么？
【解答】如图，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．
【互动总结】（学生总结，老师点评）在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连结，即可作出已知图形关于坐标轴的对称图形．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．点A（2，－3）向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）.
2．点P（3,4）关于y轴对称的点的坐标是P′（a，b），则a－b＝－7.
3．已知点A（2a－b,5＋a），B（2b－1，－a＋b）．
（1）若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
（2）若A、B关于y轴对称，求（4a＋b）2018的值．
解：
（1）∵点A、B关于x轴对称，
∴2a－b＝2b－1,5＋a－a＋b＝0，
解得a＝－8，b＝－5.
（2）∵A、B关于y轴对称，
∴2a－b＋2b－1＝0,5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴（4a＋b）2018＝1.
3．画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并指出△A1B1C1的顶点坐标．
解：
画图略．其中A1（3，－4）、B1（1，－2）、C1（5，－1）．
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例3】如图，在10×10的正方形网格中，每个小方格的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点在格点上．
（1）若以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A1B1C1D1；
（2）点D1的坐标是________；
（3）求四边形ABCD的面积．
【互动探索】
（1）以点B为原点，线段BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，然后作出各点关于y轴对称的点，顺次连结即可；
（2）根据直角坐标系的特点，写出点D1的坐标；（3）把四边形ABCD分解为两个直角三角形，求出面积．
【解答】
（1）画图略．
（2）点D1的坐标为（－1,1）．
（3）四边形ABCD的面积为
×1×3＋
×1×2＝
.
【互动总结】（学生总结，老师点评）轴对称变换作图，基本作法是：
（1）先确定图形的关键点；
（2）利用轴对称性质作出关键点的对称点；（3）按原图形中的方式顺次连结对称点．求多边形的面积可将多边形转化为规则图形的面积的和或差求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
（学生总结，老师点评）
请完成本课时对应练习！
13．3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．
2．利用等腰三角形的性质解决相关问题．
【过程与方法】
经历等腰三角形性质的探究过程，通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展了合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强了语言表达能力．
【情感态度与价值观】
在活动中，培养学生自主探究、合作交流、应用数学的意识，提高学习的兴趣．
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握等腰三角形的性质．
【教学难点】
运用等腰三角形的性质解决有关问题．
环节1 自学提纲，生成问题
【5min阅读】
阅读教材P75～P77的内容，完成下面练习．
【3min反馈】
1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.
2．教材P75【探究】：
（1）如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC.
从上述过程中可知，在△ABC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形．
（2）把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角：
①重合的线段：
AB与AC、BD与CD、AD与AD；②重合的角：
∠B与∠C、∠BAD与∠CAD、∠ADB与∠ADC.
3．等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）．
（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
4．在△ABC中，若AC＝AB，则∠B＝∠C.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论（师生互学）
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【互动探索】（引发学生思考）设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解答】∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD.
设∠A＝x，则∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝1＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36.
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
【互动总结】（学生总结，老师点评）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：
∠BAD＝2∠DBC.
【互动探索】（引发学生思考）要证∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的角平分线，即作等腰三角形的高，再根据等角的余角相等求解．
【证明】过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝2∠2.
∵BD⊥AC于点D，
∴∠BDC＝90°.
∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠2.
∴∠BAD＝2∠DBC.
【互动总结】（学生总结，老师点评）解决本题的关键：
（1）从要证等式中，角之间的数量关系，利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；
（2）在有直角的平面几何图形中，可用等角的余角相等证明角相等．
活动2 巩固练习（学生独学）
1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为（ D ）
A．20° B．50°或80°
C．10° D．20°或80°
2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6cm，AD平分∠BAC，则BD＝3cm.
3．在△ABC中，AB＝AC，过点C作CN∥AB且CN＝AC，连结AN交BC于点M.求证：
BM＝CM.
证明：
∵AB＝AC，CN＝AC，
∴AB＝CN，∠N＝∠CAN.
又∵AB∥CN，
∴∠BAM＝∠N，
∴∠BAM＝∠CAM，
∴AM为∠BAC的平分线．
又∵AB＝AC，
∴AM为三角形ABC的边BC上的中线，
∴BM＝CM.
活动3 拓展延伸（学生对学）
【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130
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