线性代数习题带答案解析.docx
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线性代数习题带答案解析
第一部分专项同步练习
第一章行列式
一、单项选择题
1．下列排列是5阶偶排列的是（）.
（A）24315（B）14325（C）41523
2．如果n阶排列j1j2jn的逆序数是k,则排列jn
（A）k（B）nk（C）n!
k
2
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有（）项
0
0
0
1
4．
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
（A）0
（B）n2
（）.
（C）（n2）!
（D）24351
j2j1的逆序数是（）.
（D）n（n1）k
2
.
（D）（n1）!
（A）0（B）1
（C）1
（D）2
00（
01
00
）.
0010
01
00
10
（A）0
（B）1
（C）1
（D）2
2x
x
1
6．在函数f（x）
1
x
1
3
2
x
0
0
0
（A）0
（B）1
a11a12
a13
7.若Da21a22
a23
1
2
，则
a31a32
a33
（A）4
（B）4
8．若a11a12a
，则
a12
ka22
a21a22
a11
ka21
（
（A）ka
（B）ka
D1
1
2
3
1
9．已知
2,5,1,x,
（A）0
10.若D
（A）1
11.若D
中x3项的系数是（
（C）
2a11
2a21
2a31
a13
a23
a33
（C）2
）.
（C）k2a
）.
（D）2
a112a12a212a22a312a32
）.
（D）2
（D）k2a
4阶行列式中第1行元依次是4,0,1,3,第3行元的余子式依次为
8
6
1
4
7
2
1
3
）.
（B）3
（C）3
（D）2
3
1
0
5
0
1
1
3
4
3
1
7
3
1
1
5
（B）2
4
1
0
2
0
1
0
2
，则D中第一行元的代数余子式的和为（
（C）3
（D）0
，则D中第四行元的余子式的和为（
）.
）.
x1x2kx30
12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组
x1kx2x30有非零解.kx1x2x30
（A）1
（B）2
（C）3（D）0
二、填空题
1.2n阶排列24（2n）13（2n1）的逆序数是.
2．在六阶行列式中项a32a54a41a65a13a26所带的符号是.
3．四阶行列式中包含a22a43且带正号的项是.
4．若一个n阶行列式中至少有n2n1个元素等于0,则这个行列式的值等于
5.
行列式
11
10
01
11
10
0020
6．行列式
000n1
n000
a11
7．行列式
a21
a1（n1）a1n
a2（n1）0
an1
a11
a12
a13
a11
a133a12
a21
a22
a23
M，则D1
a21
a233a22
a31
a32
a33
a31
a333a32
00
8．如果D
9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所
有元素，则所得的新行列式的值为
1
1
1
x1
10．行列式
1
1
x1
1
1
x1
1
1
x1
1
1
1
1
1
1
11．n阶行列式
1
1
1
1
1
1
12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则
该行列式的值为
234
5
13．设行列式D5
4
8
67
32
765
A4j（j1,2,3,4）为D中第四行元的代数余子式，
则4A413A422A43A44
14．
已知D
D中第四列元的代数余子式的和为
15．
设行列式
1
3
1
1
2
3
5
1
3
4
6
2
6，A4j为a4j（j1,2,3,4）的代数余子式，则
A41
A42
16．
1
3
5
2n1
1
2
0
0
1
0
3
0
1
0
0
n
A43A44
已知行列式D
，D中第一行元的代数余子式的和为
kx12x2
17．齐次线性方程组2x1kx2
18．若齐次线性方程组
x12x2
2x25x3
3x12x2kx3
x30
0有非零解，则0
k=
x3
0
0仅有零解的充要条件是
x1x2x30
、计算题
a
b
c
d
2
2
2
2
x
y
xy
a
b2
c
d2
;2．
3
3
3
3
y
xy
x
a
b3
c
d3
xy
x
y
bcd
acd
abd
abc
3．
解方程
1x
xa1
a1
x
a2
a2
an2
an2
4．
a1
a2
x
an2
a1
a2
a3
x
a1
a2
a3
an1
1
1
1
1
1
a011
1a11
5.11a2
1
1
1（aj1,j0,1,,n）；
111
1111
31b11
6.112b1
（n1）b
1
1
1
1
x
a1
a2
an
b1
a1
a1
a1
a1
x
a2
an
7.
b1
b2
a2
a2
；8．
a1
a2
x
an
b1
b2
b3
an
a1
a2
a3
x
9.
2
1x1
x2x1
x1x2
2
1x2
x1xn
x2xn
xnx1
xnx2
1xn2
1a
a
0
11
a
a
11．
D
0
1
1a
0
0
1
0
0
0
00
00
a0
1aa
11a
10.
21000
12100
01200
00021
00012
四、证明题
12
1．设abcd1，证明：
b2
b12
0.
a1b1xa1xb1c1
a1b1c1
2．
a2b2xa2xb2c2
（1x2）
a2b2c2
a3b3xa3xb3c3
a3b3c3
3．
a
2a
4a
1
b
b2
b4
c
2
c
4
c
1
d
d2
d4
（b
a）（ca）（da）（cb）（db）（d
c）（abcd）.
1
1
1
a1
a2
an
2
2
2
a1
a2
an
n2
n2
n2
a1
a2
an
n
n
n
a1
a2
an
4．
n
ai（ajai）.
i1
5．
设a,b,c两两不等，
证明
1
b
b3
0的充要条件是
abc0.
参考答案
．单项选择题
ADACCDAB
．填空题
1.n
2.“”
3.
a14a22a31a43;4.0;
5.0;6.
（1）n1n!
;
8.3M;9.160;10.x4;
11.（n）n1;12.2;
n（n1）
7.
（1）a1na2（n1）an1;
16.
13.0;14.0;15.12,9;
18.k7
n!
（11）;17.k2,3;
k1k
三．计算题
1．
（abcd）（ba）（ca）（da）（cb）（db）（dc）
2.2（x3y3）；
3.
x2,0,1;
n1
4.（xak）k1
5.
nn1
（ak1）（11）;
k0k0ak1
k0ak1
6.（2b）（1b）（（n2）b）;
7.
n
（1）n（bkak）;
k1
nn
8.（xak）（xak）;
k1k1
9.
n
1xk;
k1
10.n1;
11.（1a）（1a2a4）.
四.证明题（略）
第二章
矩阵
、单项选择题
1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是（）
2
（a）A2A2（b）A2B2（AB）（AB）（c）（AB）AA2AB（d）（AB）TATBT
2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足（）时，B=C
（a）AB=BA（b）A0（c）方程组AX=0有非零解（d）B、C可逆
3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA（）
（a）kA
（b）kA
（c）knA
（d）knA
4.设A为n阶方阵，且A0，则（）。
（a）A中两行（列）对应元素成比例（b）A中任意一行为其它行的线性组合
（c）A中至少有一行元素全为零（d）A中必有一行为其它行的线性组合
5.设A，B为n阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是（）。
（a）（AB）1A1B1（b）（AB）TAB
（c）（A1B）TA1B
（d）（AB）1A1B1
6.设A为n阶方阵,A*为A的伴随矩阵,则（）。
（a）（a）A*A1（b）A*A（c）A*An1（d）A*An1
7.设A为3阶方阵,行列式A1,A*为A的伴随矩阵,则行列式（2A）12A*（）。
278278
（a）（b）（c）（d）
827827
8.设A，B为n阶方矩阵,A2B2,则下列各式成立的是（）。
（a）AB（b）AB（c）AB（d）A2B2
9.设A，B均为n阶方矩阵,则必有（）
（a）ABAB
22
（b）ABBA（c）ABBA（d）A2B2
10.
）。
设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（
a）2A2A
11
（b）（2A）12A1
（c）[（A1）1]T
TT1TT11TT[（AT）T]1（d）[（AT）T]1[（A1）T]T
11.如果A
则A
）。
1
0
0
1
0
3
0
0
3
100
（a）
0
1
0
（b）
0
1
0
（c）
0
1
0
（d）
010
3
0
1
0
0
1
1
0
1
031
1
3
1
12.已知
A
2
2
0
，则
（
）。
3
1
1
（a）
AT
A
（b）
A
1
A*
a12
a22a32
a23
a33
a11
a21
a31
a123a32a22a32
a133a33a23a33
a13a113a31
a21
a31
100
113
100
113
c）A
001
202
（d）
001
A
202
010
311
010
311
I为单位矩阵，
若
ABCI，则
13.设A,B,C,I为同阶方阵，
）。
a）ACBI（b）CABI（c）
CBAI
d）
BACI
14.设A为n阶方阵，且|A|0，则（）
a）A经列初等变换可变为单位阵I
（b）由AXBA，可得XB
（c）当（A|I）经有限次初等变换变为（I|B）时，有A1B
（d）以上（a）、（b）、（c）都不对
15.设A为mn阶矩阵，秩（A）rmn，则（）。
a）A中r阶子式不全为零
b）A中阶数小于r的子式全为零
c）A经行初等变换可化为0r
d）A为满秩矩阵
16.设A为mn矩阵，
C为n阶可逆矩阵，
BAC，则（
）。
（c）A的每一个行向量都是非零向量
（d）伴随矩阵存在
（a）秩（A）>秩（B）（b）秩（A）=秩（B）
（c）秩（A）<秩（B）（d）秩（A）与秩（B）的关系依C而定
17.A，B为n阶非零矩阵，且AB0，则秩（A）和秩（B）（）。
（a）有一个等于零（b）都为n（c）都小于n（d）一个小于n，一个等于n
18.n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）
（b）
（a）r（A）rn
A的列秩为n
19.n阶矩阵A可逆的充要条件是（）。
（a）A的每个行向量都是非零向量
（b）A中任意两个行向量都不成比例
（c）A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示
（d）对任何n维非零向量X，均有AX0
、填空题
1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且A2I,则行列式A
0
a
b
2.行列式
a
0
c
b
c
0
1
0
1
3.设2A
0
2
0
，则行列式（A3I）1（A29I）
0
0
1
3
1
的值为
2
2
4.设A
，且已知A6I，则行列式A11
5.设A为5阶方阵，A*是其伴随矩阵，且A3，则
6.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为
a1b1
a1b2
a1b
a2b1
a2b2
a2b
anb1
anb2
anb
n
的秩为
7.非零矩阵
n
n
A*
8.设A为100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X，均有AX0，则A的秩为
9.若A（aij）为15阶矩阵，则ATA的第4行第8列的元素是
10.若
方阵A与4I相似，则A
K1
1
3K
2K
11.lim2
K1
K
1
1
2
2
12.lim
0
1
1
n
3
0
0
1
4
三、计算题
1.解下列矩阵方程（X为未知矩阵）.
22
3
2
2
1）
11
0
X
3
2
12
1
0
2
0
1
0
1
3
2
0
1
0
0
X
2
1
1
1
0
0
1
1
0
2）
1
3.已知A0
1
4.设A1
1
0
4
A3
A4
求
A1
A3
A2
A4
3
1
0
1
0
1
3）X（IB1C）TBTI,其中B
4
0
4
；C
2
1
2
4
2
2
1
2
1
101
4）AXA2XI,其中A020
101
423
5）AXA2X,其中A110
123；
2.设A为n阶对称阵,且A20,求A.
10
21,求（A2I）（A24I）1
01
112
5.设A224,求一秩为2的方阵B,使AB0.
336
211
6.设A101,B
110
011
121,求非奇异矩阵C,使ACTBC.
110
7.求非奇异矩阵P,使P1AP为对角阵.
112
1）A
2）A131
201
8.已知三阶方阵A的三个特征根为
1,1,2,其相应的特征向量依次为
（0,0,T1）,（1T,1,0）,,T求（矩阵A.
532
9.设A644,求A100.
445
四、证明题
1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.
2.设Ak0（k为整数）,求证IA可逆.
3.设a1.a2,,ak为实数,且如果ak0,如果方阵A满足Aka1Ak1ak1AakI0,求证A是非奇异阵.
4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.
5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.
6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.
7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.
8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.
9.证明不可逆矩阵的伴随矩阵的逆不大于1.
10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。
第二章参考答案
13.b；14.a；
：
1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；
15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.
．1.1或-1；
2.0；3.-4；4.1；
5.81；
15
6.0；7.1；8.100；9.ai4
i1
ai8；10.I；
1
100
11
143
201
三、1.1）、
132
；2）、
223
；3）、
153
；4）、
030
160
10
164
102
12.0；11.
2
0
0
2
0
5）、
2129
11不唯
5.1
031
2.0；3.131
010
010
6.100；7.1）、
001
11
11
1210
0121
4.0012
0001
2）、21
12
3
2
0
3100（221001）
221003100
31001
8.
1
0
0
；9.
（221003100）4
42100（23100）
（231001）
1
1
1
（231001）
（213100）
（23100）1
100
第三章向量
一、单项选择题
1.1,2,3，1,2都是四维列向量，且四阶行列式
1231m,1232n,则行列式
12312（）
（a）mn
（b）mn
（c）mn
（d）mn
2.设A为n阶方阵，且A0,则（）
（a）A中两行（列）对应元素成比例
（b）A中任意一行为其它行的线性组合
（c）A中至少有一行元素全为零
（d）A中必有一行为其它行的线性组合
3.设A为n阶方阵，r（A）rn，则在A的n个行向量中（）
（a）必有r个行向量线性无关
（b）任意r个行向量线性无关
（c）任意r个行向量都构成极大线性无关组
（d）任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示
4.n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）
（a）r（A）rn
（b）A的列秩为n
（c）A的每一个行向量都是非零向量
（d）A的伴随矩阵存在
5.n维向量组1,2,,s线性无关的充分条件是（）
（a）1,2,,s都不是零向量
（b）1,2,,s中任一向量均不能由其它向量线性表示
（c）1,2,,s中任意两个向量都不成比例
（d）1,2,,s中有一个部分组线性无关
6.n维向量组1,2,,s（s2）线性相关的充要条件是（）
（a）1,2,,s中至少有一个零向量
（b）1,2,,s中至少有两个向量成比例
（c）1,2,,s中任意两个向量不成比例
（d）1,2,,s中至少有一向量可由其它向量线性表示
7.n维向量组1,2,,s（3sn）线性无关的充要条件是（）
（a）存在一组不全为零的数k1,k2,,ks使得k11k22kss0
（b）1,2,,s中任意两个向量都线性无关
（c）1,2,,s中存在一个向量,它不能被其余向量线性表示
（d）1,2,,s中任一部分组线性无关
8.设向量组1,2,,s的秩为r,则（）
（a）1,2,,s中至少有一个由r个向量组成的部分组线性无关
（b）1,2,,s中存在由r1个向量组成的部分组线性无关
（c）1,2,,s中由r个向量组成的部分组都线性无关
（d）1,2,,s中个数小于r的任意部分组都线性无关
9.设1,2,,s均为n维向量,那么下列结论正确的是（）
（a）若k11k22kss0,则1,2,,s线性相关
（b）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks,都有
k11k22kss0,则
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