自由落体运动与竖直上抛运动解题方法与解题技巧.docx
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自由落体运动与竖直上抛运动解题方法与解题技巧
自由落体运动与竖直上抛运动解题方法及其解题技巧
一．自由落体运动
1.知识清单：
一、自由落体运动。
1、什么是自由落体运动。
任何一个物体在重力作用下下落时都会受到空气阻力的作用.从而使运动情况变的复杂。
若想办法排除空气阻力的影响（如：
改变物体形状和大小.也可以把下落的物体置于真空的环境之中）.让物体下落时之受重力的作用.那么物体的下落运动就是自由落体运动。
物体只在重力作用下.从静止开始下落的运动叫做自由落体运动。
2、自由落体运动的特点。
从自由落体运动的定义出发.显然自由落体运动是初速度为零的直线运动；因为下落物体只受重力的作用.而对于每一个物体它所受的重力在地面附近是恒定不变的.因此它在下落过程中的加速度也是保持恒定的。
而且.对不同的物体在同一个地点下落时的加速度也是相同的。
关于这一点各种实验都可以证明.如课本上介绍的“牛顿管实验”以及同学们会做的打点计时器的实验等。
综上所述.自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。
二、自由落体加速度。
1、在同一地点.一切物体在自由落体运动中加速度都相同。
这个加速度叫自由落体加速度。
因为这个加速度是在重力作用下产生的.所以自由落体加速度也叫做重力加速度。
通常不用“a”表示.而用符号“g”来表示自由落体加速度。
2、重力加速度的大小和方向。
同学们可以参看课本或其他读物就会发现在不同的地点自由落体加速度一般是不一样的。
如：
广州的自由落体加速度是9.788m/s2.杭州是9.793m/s2.上海是9.794m/s2.华盛顿是9.801m/s2.北京是9.80122m/s2.巴黎是9.809m/s2.莫斯科是9.816m/s2。
即使在同一位置在不同的高度加速度的值也是不一样的。
如在北京海拔4km时自由落体加速度是9.789m/s2.海拔8km时是9.777m/s2.海拔12km时是9.765m/s2.海拔16km时是9.752m/s2.海拔20km时是9.740m/s2。
尽管在地球上不同的地点和不同的高度自由落体加速度的值一般都不相同.但从以上数据不难看出在精度要求不高的情况下可以近似地认为在地面附近（不管什么地点和有限的高度内）的自由落体加速度的值为：
g=9.765m/s2。
在粗略的计算中有时也可以认为重力加速度g=10m/s2。
重力加速度的方向总是竖直向下的。
三、自由落体运动的规律。
既然自由落体运动是初速度为零的竖直向下的匀加速直线运动。
那么.匀变速直线运动的规律在自由落体运动中都是适用的。
匀变速直线运动的规律可以用以下四个公式来概括：
（1）
（2）
（3）
（4）
对于自由落体运动来说：
初速度v0=0.加速度a=g。
因为落体运动都在竖直方向运动.所以物体的位移S改做高度h表示。
那么.自由落体运动的规律就可以用以下四个公式概括：
（5）
（6）
（7）
（8）
二．解题方法
自由落体运动是匀变速直线运动的特例.所涉及的题目大多是考查匀变速运动公式的灵活应用及方程组的求解.本题侧重于一段匀变速运动的平均速度等于中间时刻的瞬时速度这一规律的应用.变式题涉及的是自由落体运动运动规律的灵活运用．
三．经典例题
从某一高塔自由落下一石子.落地前最后一秒下落的高度为塔高的7/16.求塔高。
分析：
石子的下落可以近似看作自由落体运动.因此可以自由落体运动的规律来求解本问题
解法：
画出石子的运动草图。
设石下落的总时间为t.塔高为H.则下落距离为塔高的9/16时经过时间（t-1）.根据自由落体运动的位移公式：
H=gt2
解①、②两式得：
t=4s H=80m
二．竖直上抛运动
一．知识清单：
（1）全过程研究：
v0竖直向上.a＝g竖直向下.以抛出点为坐标原点.以竖直向上的v0方向为坐标的正方向。
说明：
均为负值。
vt、h的正负号表示方向跟规定正方向相同还是相反.三个公式概括了竖直上抛运动的往返运动全过程。
注意：
由于下落过程是上升过程的逆过程.所以物体在通过同一高度位置时.上升速度与下落速度大小相等.物体在通过同一段高度过程中.上升时间与下落时间相等。
这是竖直上抛运动的对称性。
（2）分阶段研究：
上升阶段为vt=0的匀减速直线运动.下落阶段为自由落体运动。
上升时间t上=
.最大高度H=
对称性：
t上=t下.vt=－v0.在同一高度v上=-v下
（3）分运动研究：
由向上的匀速直线运动（v0）和向下的自由落体运动这两个分运动合成.设向上（v0方向）为正方向.则
注意vt、s的“＋、－”的含义。
二．方法指导：
竖直上抛运动处理方法
（1）分段法：
把竖直上抛运动的全过程分为上升阶段和下降阶段.上升阶段做末速度vt＝0、加速度a＝g的匀减速直线运动.下降阶段做自由落体运动．物体下落阶段的运动和上升阶段的运动互为逆运动．
（2）全程法：
把竖直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成是一个匀减速直线运动.其加速度方向始终与初速度v0的方向相反．
三．经典例题
例题：
一支步枪的发射速度为v0.有人每隔1s竖直向上打一枪.若不计空气阻力.求第一颗子弹射出后与第n（n≥2）颗射出的子弹彼此相遇的时间。
（设子弹不相碰.且都在空中运动）。
解法1：
从第一颗子弹射出的时刻开始计时.设相遇时第一颗子弹运动了ts。
因为每隔1s发射一颗子弹.所以相遇时第n颗子弹运动的时间为：
tn=〔t－（n－1）〕
（1）
由相遇时位移相等得：
h1=hn
（2）
又因为：
h1=v0t－
（3）
hn=v0tn－
（4）
所以.将
（1）、（3）、（4）式代入
（2）式得：
t=
（n≥2）
解法2：
根据竖直上抛运动的特点可知：
相遇时第n颗子弹与第一颗子弹的速度大小相等、方向相反.即：
vn=－v1
（1）
又因为：
v1=v0－gt
（2）
vn=v0－gtn（3）
tn=〔t－（n－1）〕（4）
所以.将
（2）、（3）、（4）式代入
（1）式得：
t=
（n≥2）
解法3：
根据竖直上抛运动的特点可知：
相遇时第n颗子弹与第一颗子弹运动的时间之和等于
.即：
t＋tn=
（1）
又因为：
tn=〔t－（n－1）〕
（2）
所以.将
（2）式代入
（1）式得：
t=
（n≥2）
解法4：
因为相遇时第一颗子弹比第n颗子弹多运动了（n－1）s.所以根据竖直上抛运动的对称性可知：
第一颗子弹从最高点下降到相遇点所经历的时间为
s.则相遇时第一颗子弹运动的时间为：
t=t上+
（1）
又因为：
t上=
（2）
所以.将
（2）式代入
（1）式得：
t=
（n≥2）
三．两个竖直上抛运动相遇问题的分析方法
1．方法指导
自由落体与竖直上抛物体的相遇问题
当两个物体从不同位置先后做自由落体运动或两个物体分别做自由落体与竖直上抛运动时.两物体在空中相遇的条件都是两物体在同一时刻位于同一位置．
上述两种情况下两个物体的相遇问题.可以地面为参考系根据自由落体规律结合位移关系和时间关系求解.也可以某一物体为参考系根据两物体相对匀速运动结合相对位移和时间关系求解．
2.经典例题：
例题：
将小球A以初速度VA=40m/s竖直向上抛出.经过一段时间Δt后.又以初速度VB=30m/s将小球B从同一点竖直向上抛出.为了使两个小球能在空中相遇.试分析Δt应满足的条件。
解析：
由于是在同一点抛出且VA＞VB.故相遇的位置一定是在A球下降阶段.B球有可能是在下降或上升阶段.其抛出的时间间隔就由这两过程决定。
方法一：
利用空中的运动时间分析
要使两小球在空中相遇.Δt应满足的条件一定是介于某一范围内.因此.只要求出这个范围的最大值和最小值就可以了。
当小球B抛出后处于上升阶段时与A球相遇.经过的时间间隔较大.故Δt的最大值为小球A刚要落回抛出点的瞬间将小球B抛出。
而小球A在空中运动的时间为：
.
即Δt的最大值为Δtmax=8s。
当小球B抛出后处于下降阶段时与A球相遇.经过的时间间隔较小.故Δt的最小值为A、B两小球同时落地.先后抛出的时间间隔。
而小球B在空中运动的时间为：
.
则Δt的最小值为Δtmin=tA-tB=2s。
故要使A、B两小球在空中相遇.Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。
方法二：
利用位移公式分析
A、B两小球在空中相遇.不管其是在上升还是下降阶段相遇.相遇时的位移必相等。
设小球B抛出后经时间t与小球A相遇.则小球A抛出后的运动时间为（t+Δt）.由位移公式可得
整理后可得.相遇时小球B所经过时间为：
（1）
考虑到A、B小球在空中相遇.则0＜t＜6s。
由
（1）式可得：
＞0
（2）
＜6 （3）
解
（2）式得：
1＜Δt＜8
解（3）式得：
Δt＞2.或Δt＜－6（不合题意）
综合上述可得.要使A、B两小球在空中相遇.Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。
方法三：
巧选参考系分析
小球B经Δt再抛出后.以小球A为参考系.小球B作匀速直线运动.其相对速度为
=30－（40－gΔt）=gΔt－10
而此时小球A的位移为
.则小球B与小球A相遇的时间为
同样.考虑到A、B小球在空中相遇.则0＜t＜6s.亦可以得到上述的
（2）（3）两式.亦可求出要使A、B两小球在空中相遇.Δt应满足的条件为2s＜Δt＜8s。
方法四：
利用图象分析
1．利用位移图象分析
由位移公式可得A、B两小球的位移随时间的关系为
SA=40t－5t2
SB=30t－5t2
可见.它们的图象均为抛物线.在位移-时间图象中分别作出它们的图象.如图1所示的图线A和B。
经过不同时间Δt后再抛出小球B.只要将图线B逐渐向右移动.要使A、B两小球在空中相遇.必须使A、B两图线存在交点.交点的横坐标为相遇时的时刻.纵坐标为相遇时的位移。
由图1可知.当移动的时间间隔为2s时.与图线A开始有交点.如图1中的B1位置；当移动的时间间隔为8s时.与图线A开始没有交点.如图中1的B3位置。
由图可知.当2s＜Δt＜5s时.其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段.当5s＜Δt＜8s时.其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。
因此可得A、B两小球在空中相遇.Δt应满足的条件为：
2s＜Δt＜8s。
2．利用速度图象分析
由速度公式可得.A、B两小球的速度随时间的变化关系为：
VtA=40－10t.
VtB=30－10t
在速度—时间图象中分别作出它们的图象.如图2所示的图线A和B。
要使A、B两小球在空中相遇.必须使小球B抛出后.在小球A落地之前.它的位移要大于零。
而位移为速度图线与坐标轴所围成的面积.由如图2可知.将B的速度图线逐渐向右移动.移动的时间间隔在2s以内.小球A的位移总是大于小球B的位移.且小球B总先于小球A落地.A、B两小球不可能相遇.当时间间隔等于2s时.如图中B1位置.两球同时落地。
继续将B的速度图线向右移动.在小球A落地之前的时间内.如图中B2、B3、B4、B5位置.小球B的位移总是大于零.即说明了A、B两小球在空中相遇了。
由图可知.当2s＜Δt＜5s时.其相遇情况是A、B两球都处于下降阶段.当5s＜Δt＜8s时.其相遇情况是A球处于下降阶段B球处于上升阶段。
故要使A、B两小球在空中相遇.Δt应满足的条件为：
2s＜Δt＜8s。
点评：
由以上四种分析方法可以看出.采用图象法简单、直观、易懂.对于A和B两小球是在上升阶段还是下降阶段相遇非常清楚；方法一虽然也简单.但不易弄懂.要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段.若能结合图象再加以分析.就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出A和B两小球相遇的位置是上升阶段还是下降阶段.逻辑性很强.但要解不等式.相对来说要复杂一些。
【达标测试】
1.一个作自由落体运动的物体.从开始运动起通过连续三段路程的时间分别是t、2t、3t.这三段路程之比是（）
A.1：
2：
3B.1：
22：
32C.1：
23：
33D.1：
3：
5
2.某同学身高1.8m.在运动会上他参加跳高比赛.起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆。
据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（）
A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s
3.自由下落的物体第ns内通过的位移比第（n－1）s内通过的位移多（）
A.9.8mB.4.9（2n＋1）mC.3（n＋1）mD.
4.石块A自塔顶落下lm时.石块B自离塔顶nm处自由落下.二石块同时落地.则塔高为（）
A.
B.
C.
D.
5.做自由落体运动的物体在最后1s的位移是全程的7/16.则物体下落的总高度为________m.下落时间为________s。
（g＝10m/s2）
6.物体由A点自由下落.经过B点到达C点。
已知物体经过B点的速度是C点速度的1/3.BC间的距离是24m.则AC间的距离是_______。
7.如图所示.一根长为l的直杆从一圆筒的上方高H处竖直自由下落.该圆筒高为L.则杆穿过筒所用的时间为__________。
8.“9·11”事件后.美国对阿富汗内的基地组织进行了军事打击。
在一次军事打击中.美军有一架执行任务的直升机正停留在某一高空投运军用物资.测出空投物资自由下落过程中通过连续相等时间
的时间间隔内.某一相邻高度分别为23.6m、26.05m.试确定飞机所在处的重力加速度？
（物体下落时不计空气阻力）
9.气球以1m/s2的加速度由静止开始从地面竖直上升.在10s末有一个物体从气球上自由落下.这个物体从离开气球到落地所需要的时间是多少？
落地时的速度有多大？
【综合测试】
1.从某一高度先后由静止释放两个相同的小球甲和乙.若两球被释放的时间间隔为1s.在不计空气阻力的情况下.它们在空中的运动过程中（）
A.甲、乙两球的距离越来越大.甲、乙两球的速度之差越来越大
B.甲、乙两球的距离始终保持不变.甲、乙两球的速度之差保持不变
C.甲、乙两球的距离越来越大.甲、乙两球的速度之差保持不变
D.甲、乙两球的距离越来越小.甲、乙两球的速度之差越来越小
2.（2005海淀一模）将一个皮球以初速度v0从地面竖直向上抛出.经过时间t0到达距地面高度为H的最高点.又经过时间t0返回到抛出点.不计空气阻力。
可以用图中的图像定性反映皮球运动过程中速度v的大小随时间t的变化情况以及皮球离地面的高度s随时间t的变化情况.其中正确的是（）
3.从地面上竖直向上抛出一个物体A.同时在离地面某一高度有另一个物体B开始自由落下.两物体在空中同时到达同一高度时速率都为v.不计空气阻力.则下列说法中正确的是（）
A.物体A上抛时的初速度和物体B落地时的速度大小相等.都是2v
B.物体A和B在空中运动的时间相等
C.物体A上升的最大高度和物体B开始下落的高度相等
D.两物体在空中同时到达的同一个高度处一定是物体B开始下落时的高度的一半
4.在轻绳的两端各栓一个小球.一人用手拿着上端的小球站在3层楼阳台上.放手后让小球自由下落.两小球相继落地的时间差为T.如果站在4层楼的阳台上.同样放手让小球自由下落.则两小球相继落地时间差将（）
A.不变B.变大C.变小D.无法判断
5.杂技演员每隔相等的时间向上抛出一个小球.若每个小球上升的高度都是1.25m.他一共有4个小球.要想使节目连续不断地表演下去.在他的手中总要有一个小球停留.则每个小球在手中停留的时间应为_______s。
（g取
）
6.一矿井深125m.在井口每隔一段时间落下一个小球.当第11个小球刚从井口开始下落时.第一个小球恰好到达井底.则相邻两个小球开始下落时间间隔为_______s.这时第三个小球和第五个小球相距_______m。
（g取
）
7.小球在空中A点竖直上抛.落到距A点的正下方h处的速度恰是小球在距A点的正上方h处的速度的二倍.则小球所能达到的最高点距A点的高度是________。
8.从静止在一定高度的气球上自由落下两个物体.第一个物体下落1s后.第二个物体开始下落.两物体用长L=95m的细线连在一起。
则第二个物体下落____s线被拉直。
（g=10m/s2）
9.一只皮球从高h=5.0m处自由下落.着地后竖直向上反跳.上跳速率等于着地速率的3/4.以后每一次反跳的速率都等于前次着地速率的3/4.那么这只皮球经过多长时间静止于地面？
（g=10m/s2）
10.（2005东城模拟）有一种“傻瓜”相机的曝光时间（快门打开到关闭的时间）是固定不变的。
为了估测该相机的曝光时间.有位同学提出了下述实验方案：
他从墙面上A点的正上方与A相距H＝1.5m处.使一个小石子自由落下.在小石子下落通过A点后.立即按动快门.对小石子照相.得到如图所示的照片.由于石子的运动.它在照片上留下一条模糊的径迹CD。
已知每块砖的平均厚度是6cm。
请从上述信息和照片上选取估算相机曝光时间必要的物理量.用符号表示.如H等.推出计算曝光时间的关系式.并估算出这个“傻瓜”相机的曝光时间？
11.杂技演员把3个球依次竖直向上抛出.形成连续的循环。
在循环中.他每抛出一球后.再过一段与刚抛出的球刚才在手中停留的时间相等的时间.又接到下一个球。
这样.在总的循环过程中.便形成有时空中有3个球.有时空中有2个球.而演员手中则有一半时间内有1个球.有一半时间内没有球。
设每个球上升的高度均为1.25m.取g=10m/s2.求每个球每次在手中停留的时间？
【达标测试答案】
1.C
提示：
。
2.B
提示：
估计人的重心高度为0.9m.所以人实际需要将重心抬高0.9m即可越过横杆。
3.A
提示：
4.B
提示：
。
5.80.4
提示：
。
6.27m
提示：
。
7.
（
－
）
提示：
竿穿过筒所用时间应从竿的下端到筒上端开始计时.故减掉竿下落H的时间。
8.
提示：
。
9.4.3s.33.2m/s
解答：
10s末物体的速度为v=at1=10m/s①
离地高度为h=
m②
脱落后.物体做竖直上抛运动.设落地的时间为t2.落地时的速度为v
③
④
得到
m/s⑤
t2≈4.3s⑥
【综合测试答案】
1.C
提示：
。
2.A
提示：
.其图像应是开口向下的抛物线。
3.AC
提示：
A上升最大高度应与B自由落体时高度相同.物体A是B在空中运动的时间2倍.两物体在空中同时到达的同一个高度处一定是物体B开始下落时的高度的
。
4.C
提示：
两小球都是自由落体运动.可在一v-t图象中作出速度随时间的关系曲线.如图所示.设人在3楼阳台上释放小球后.两球落地时间差为△t1.图中阴影部分面积为△h.若人在4楼阳台上释放小球后.两球落地时间差△t2.要保证阴影部分面积也是△h；从图中可以看出一定有△t2＜△t1。
5.0.33
提示：
空中一直有三个小球.小球竖直上抛到落回手的时间应均分三等分。
6.0.5.35
提示：
当第11个小球刚从井口开始下落时.第一个小球下落
10个时间间隔.这时第三个小球下落8个时间间隔.第五个小球下落6个时间间隔。
7.
提示：
最高点到A上方h处.再到A下方h处.用时之比为1:
1.则位移之比为1：
3.最高点到Ａ上方ｈ处位移为
.可得最高点距A点为
。
8.9
提示：
。
9.7s
提示：
.
。
10.t＝0.02s
提示：
设A、C两点间的距离为H1.小石子做自由落体运动.落至C点.所用时间为t1.有H+H1=
设A、D两点间的距离为H2.小石子做自由落体运动.落至D点.所用时间为t2.有H+H2＝
小石子从C点到D点所用时间即相机的曝光时间t＝t2—t1.
则t＝
—
题目给出每块砖的平均厚度是6cm.可得：
H1=0.30m.H2=0.42m.H＝1.5m.带入上式中.可得曝光时间t=0.02s
11.0.2s
提示：
设小球在手中停留时间为t.小球在空中运动时间应是5t.每个小球在手中停留t.循环时间为6t。
一、本题共10小题.每小题5分.共50分．全部选对得5分.选不全得3分.有选错或不答的得0分．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
B
B
AC
D
D
C
B
二．本题共2小题.5个空.每空3分.共15分．
11．___左端__12．⑴___1.3
6____⑵___2.29____⑶___3.83-3.93___⑷____3___
三．计算题
13．（10分）
设整个下落时
间为t
有：
-
=1004分
可得：
t=6秒2分
根据h=
可得：
h=180米2分
根据
可得
=60m/s2
分
注：
若学生利用图像等其它方法解得此题.请另行制定评分标准
14．（12分）
⑴根据若公交车的速度与该同学的速度相等时.该同学还没有追上公交车.那么该同学就不可能追上公交车了
设经过t秒后公交车的速度
与该同学的速度相等
根据
可得t=6秒2分
在6秒内.人的位移
=36米车的位移
=18米2分
因为：
18+24.5＞3
6所以：
追不上2分
⑵因为没追上.所以人与车速度相等时.两者相距最近
所以：
最近的距离
=（18+24.5）-36=6.5米
2分
⑶若人想追上车.那么最小速度对应于人与车同速时人恰好追上车
设最小速度为
.有
2分
可得：
=7米/秒
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