人教版高中数学必修4练习测试题模块综合能力检测题.docx

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人教版高中数学必修4练习测试题模块综合能力检测题

模块综合能力检测题

本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）

1．（09·全国Ⅰ文）已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan（α＋β）＝（　　）

A.　　　　　　　　　B．－

C.D．－

[答案]　B

[解析]　∵tanβ＝3，tanα＝4，

∴tan（α＋β）＝＝＝－.

2．（09广东文）函数y＝2cos2－1是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

[答案]　A

[解析]　因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x为奇函数，T＝＝π，所以选A.

3．（09·山东文）将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　　）

A．y＝2cos2xB．y＝2sin2x

C．y＝1－sin（2x＋）D．y＝cos2x

[答案]　A

4．（09·浙江文）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－3）．若向量c满足（c＋a）∥b，c⊥（a＋b），则c＝（　　）

A．（，）

B．（－，－）

C．（，）

D．（－，－）

[答案]　D

[解析]　设c＝（m，n），∵c＋a＝（m＋1，n＋2），a＋b＝（3，－1），

∴由（c＋a）∥b，c⊥（a＋b）得：

，解得m＝－，n＝－.

故选D.

5．函数y＝cosx·|tanx|的大致图象是（　　）

[答案]　C

[解析]　∵y＝cosx·|tanx|

＝，故选C.

6．在△ABC中，sinA＝，cosB＝，则cosC的值为（　　）

A．－

B．－

C.

D.

[答案]　C

[解析]　∵cosB＝，∴sinB＝，

∵sinB>sinA，A、B为△ABC的内角，

∴B>A，∴A为锐角，

∵sinA＝，cosA＝，

∴cosC＝－cos（A＋B）＝－cosAcosB＋sinAsinB

＝－×＋×＝.

7．已知a＝（1,3），b＝（2＋λ，1），且a与b成锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

A．λ>－5

B．λ>－5且λ≠－

C．λ<－5

D．λ<1且λ≠－

[答案]　B

[解析]　∵a与b夹角为锐角，∴a·b＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5，

当a与b同向时，存在正数k，使b＝ka，

∴，∴，因此λ>－5且λ≠－.

8．（09·陕西理）若3sinα＋cosα＝0，则的值为（　　）

A.

B.

C.

D．－2

[答案]　A

[解析]　∵3sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－，

∴原式＝＝＝＝，故选A.

9．若sin4θ＋cos4θ＝1，则sinθ＋cosθ的值为（　　）

A．0

B．1

C．－1

D．±1

[答案]　D

[解析]　解法一：

由sin4θ＋cos4θ＝1知

或，

∴sinθ＋cosθ＝±1.

解法二：

∵sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1，

∴sin2θcos2θ＝0，∴sinθcosθ＝0，

∴（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝1，

∴sinθ＋cosθ＝±1.

10．a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝5，则（2a－b）·a＝（　　）

A．3　　　　

B．9　　　　

C．12　　　

D．13

[答案]　D

[解析]　a·b＝2×5×cos120°＝－5，

∴（2a－b）·a＝2|a|2－a·b＝8－（－5）＝13.

11．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A、B、D三点共线，则k的值为（　　）

A．－

B．－

C．－

D．不存在

[答案]　A

[解析]　＝＋＝（－ke1－e2）＋（3e1－2ke2）

＝（3－k）e1－（1＋2k）e2，

∵A、B、D共线，∴∥，

∴＝，∴k＝－.

12．（09·宁夏、海南理）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）

A．重心　外心　垂心

B．重心　外心　内心

C．外心　重心　垂心

D．外心　重心　内心

（注：

三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）

[答案]　C

[解析]　∵O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，

∴O是△ABC外接圆的圆心，

由＋＋＝0，得N是△ABC的重心；

由·＝·＝·得

·（－）＝·＝0，

∴PB⊥CA，同理可证PC⊥AB，PA⊥BC，

∴P为△ABC的垂心．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．

[答案]　1－

[解析]　y＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x

＝1＋sin，

∵x∈R，∴ymin＝1－.

14．在▱ABCD中，M、N分别是DC、BC的中点，已知＝c，＝d，用c、d表示＝________.

[答案]　d－c

[解析]　d＝＋＝＋①

c＝＋＝＋②

解①②组成的方程组得＝c－d，＝d－c.

15．已知点P（sinα＋cosα，tanα）在第二象限，则角α的取值范围是________．

[答案]　2kπ－<α<2kπ或2kπ＋<α<2kπ＋　k∈Z

[解析]　∵点P在第二象限，∴，

如图可知，α的取值范围是2kπ－<α<2kπ或2kπ＋<α<2kπ＋　k∈Z.

16．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.

[答案]　c＋a－b

[解析]　＝＋＝＋

＝＋（－）＝c＋a－b.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）（09·湖南文）已知向量a＝（sinθ，cosθ－2sinθ），b＝（1,2）．

（1）若a∥b，求tanθ的值；

（2）若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值．

[解析]　

（1）因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，

于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.

（2）由|a|＝|b|知，sin2θ＋（cosθ－2sinθ）2＝5，

所以1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.

从而－2sin2θ＋2（1－cos2θ）＝4，

即sin2θ＋cos2θ＝－1，

于是sin＝－.

又由0<θ<π知，<2θ＋<，

所以2θ＋＝，或2θ＋＝.

因此θ＝，或θ＝.

18．（本题满分12分）（09·重庆文）设函数f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.

（1）求ω的值；

（2）若函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移个单位长度得到，求y＝g（x）的单调增区间．

[解析]　

（1）f（x）＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2

＝sin（2ωx＋）＋2，

依题意得＝，故ω＝.

（2）f（x）＝sin＋2，

依题意得g（x）＝sin＋2

＝sin＋2，

由2kπ－≤3x－≤2kπ＋　（k∈Z）解得

kπ＋≤x≤kπ＋　（k∈Z），

故g（x）的单调增区间为　（k∈Z）．

19．（本题满分12分）（09·陕西文）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），x∈R，的周期为π，且图象上一个最低点为M.

（1）求f（x）的解析式；

（2）当x∈时，求f（x）的最值．

[解析]　

（1）由最低点为M得A＝2，

由T＝π得ω＝＝＝2，∴f（x）＝2sin（2x＋φ）．

由点M在图象上得2sin＝－2

即sin＝－1，

∴＋φ＝2kπ－

即φ＝2kπ－，k∈Z，

又φ∈，∴k＝1，∴φ＝，

∴f（x）＝2sin.

（2）∵x∈，∴2x＋∈，

∴当2x＋＝，即x＝0时，f（x）取得最小值1；

当2x＋＝，即x＝时，f（x）取得最大值.

20．（本题满分12分）（北京通州市09～10高一期末）已知向量a＝（cosωx，sinωx），b＝sin（ωx,0），且ω>0，设函数f（x）＝（a＋b）·b＋k，

（1）若f（x）的图象中相邻两条对称轴间距离不小于，求ω的取值范围；

（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈－，时，f（x）的最大值为2，求k的值．

[解析]　∵a＝（cosωx，sinωx），b＝（sinωx,0），

∴a＋b＝（cosωx＋sinωx，sinωx）．

∴f（x）＝（a＋b）·b＋k＝sinωxcosωx＋sin2ωx＋k

＝sin2ωx－cos2ωx＋＋k

＝sin＋＋k.

（1）由题意可得：

＝≥.

∴ω≤1，又ω>0，

∴ω的取值范围是0<ω≤1.

（2）∵T＝π，∴ω＝1.

∴f（x）＝sin＋＋k

∵－≤x≤，∴－≤2x－≤.

∴当2x－＝，

即x＝时，f（x）取得最大值f＝2.

∴sin＋＋k＝2.∴k＝1.

21．（本题满分12分）（09·江苏文）设向量a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），c＝（cosβ，－4sinβ）

（1）若a与b－2c垂直，求tan（α＋β）的值；

（2）求|b＋c|的最大值；

（3）若tanαtanβ＝16，求证：

a∥b.

[解析]　

（1）∵a＝（4cosα，sinα），b＝（sinβ，4cosβ），

c＝（cosβ，－4sinβ）

∵a与b－2c垂直，∴a·（b－2c）＝a·b－2a·c＝4cosαsinβ＋4sinαcosβ－2（4cosαcosβ－4sinαsinβ）

＝4sin（α＋β）－8cos（α＋β）＝0，∴tan（α＋β）＝2.

（2）∵b＋c＝（sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ）

∴|b＋c|2＝sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＋16cos2β－32cosβsinβ＋16sin2β

＝17－30sinβcosβ＝17－15sin2β，

当sin2β＝－1时，最大值为32，

∴|b＋c|的最大值为4.

（3）由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ

即4cosα·4cosβ－sinαsinβ＝0，∴a∥b.

22．（本题满分14分）（09·福建文）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ），其中ω>0，|φ|<.

（1）若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；

（2）在

（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

[解析]　解法一：

（1）由coscosφ－sinsinφ＝0得coscosφ－sinsinφ＝0，

即cos＝0.

又|φ|<，∴φ＝；

（2）由

（1）得，f（x）＝sin.

依题意，＝.

又T＝，故ω＝3，∴f（x）＝sin.

函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数为g（x）＝sin，

g（x）是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋（k∈Z），

即m＝＋（k∈Z）．

从而，最小正实数m＝.

解法二：

（1）同解法一．

（2）由

（1）得，f（x）＝sin.

依题意，＝.

又T＝，故ω＝3，

∴f（x）＝sin.

函数f（x）的图象向左平移m个单位后所得图象对应的函数为g（x）＝sin.

g（x）是偶函数当且仅当g（－x）＝g（x）对x∈R恒成立，

亦即sin＝sin对x∈R恒成立．

∴sin（－3x）cos＋cos（－3x）sin

＝sin3xcos＋cos3xsin，

即2sin3xcos＝0对x∈R恒成立．

∴cos＝0，

故3m＋＝kπ＋（k∈Z），

∴m＝＋（k∈Z），

从而，最小正实数m＝.