线性代数上机作业题答案.docx
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线性代数上机作业题答案
线性代数上机作业题答案
线性代数机算与应用作业题
学号：
姓名：
成绩：
一、机算题
1．利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。
（1）计算A＋B，A－B和6A
（2）计算
，
和
（3）计算行列式
，
和
（4）若矩阵A和B可逆，计算
和
（5）计算矩阵A和矩阵B的秩。
解输入：
A=round（rand（5）*10）
B=round（rand（5）*10）
结果为：
A=
24163
22374
49425
310611
94333
B=
86549
02248
955101
710603
55793
（1）输入：
A+B
结果为：
ans=
101061012
2451112
13149126
10201214
14910126
输入：
A-B
结果为：
ans=
-6-2-42-6
2013-4
-54-1-84
-4001-2
4-1-4-60
输入：
6*A
结果为：
ans=
122463618
1212184224
2454241230
18603666
5424181818
（2）输入：
（A*B）'
结果为：
ans=
8211210790135
10012110783122
809910578107
6182137121109
7870133119134
输入：
B'*A'
结果为：
ans=
8211210790135
10012110783122
809910578107
6182137121109
7870133119134
输入：
（A*B）^100
结果为：
ans=
1.0e+270*
1.62931.65261.44941.56201.6399
1.93741.96511.72341.85731.9499
2.41562.45012.14882.31582.4313
2.01372.04251.79131.93052.0268
2.46552.50082.19322.36362.4815
（3）输入：
D=det（A）
结果为：
D=
5121
输入：
D=det（B）
结果为：
D=
-9688
输入：
D=det（A*B）
结果为：
D=
-49612248
（4）输入：
inv（A）
结果为：
ans=
0.0217-0.0662-0.0445-0.01350.1453
0.1845-0.15820.02640.0475-0.0334
-0.31990.2742-0.04570.1178-0.0088
0.17070.0283-0.13430.0471-0.0002
-0.16190.10700.2785-0.1877-0.0490
输入：
inv（B）
结果为：
ans=
0.1726-0.15600.0357-0.0667-0.0471
-0.26420.26930.17860.2157-0.2007
0.1982-0.2957-0.3214-0.09930.4005
-0.13050.14780.14290.0050-0.0553
0.08180.0577-0.0357-0.0316-0.0223
（5）输入：
rank（A）
结果为：
ans=
5
输入：
rank（B）
结果为：
ans=
5
2．求解下列方程组
（1）求非齐次线性方程组
的唯一解。
（2）求非齐次线性方程组
的通解。
解
（1）输入：
A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-9,21,-7];
b=[5;8;5;10];
x=A\b
结果为：
x=
-0.8341
-0.2525
0.7417
1.3593
（2）输入：
A=[5,9,7,2,8;4,22,8,25,23;1,8,1,8,8;2,6,6,9,7];
b=[4;9;1;7];
[R,s]=rref（[A,b]）;
[m,n]=size（A）;
x0=zeros（n,1）;
r=length（s）;
x0（s,:
）=R（1:
r,end）;
x0
x=null（A,'r'）
结果为：
x0=
-1.6635
0.1346
1.5865
0
0
x=
4.18270.8558
-1.3269-1.0577
-1.5673-0.3942
1.00000
01.0000
所以方程组的通解为
x=k1[4.1827,-1.3269,-1.5673,1.0000,0]’+k2[0.8558,-1.0577,-0.3942,0,1.0000]’+[-1.6635,0.1346,1.5862,0,0]
3．已知向量组
，
，
，
，
，求出它的最大无关组，并用该最大无关组来线性表示其它向量。
解输入：
a1=[3;4;0;8;3];
a2=[1;1;0;2;2];
a3=[2;3;0;6;1];
a4=[9;3;2;1;2];
a5=[0;8;-2;21;10];
A=[a1,a2,a3,a4,a5];
rref（A）
结果为：
ans=
10102
01-103
0001-1
00000
00000
即最大无关组为a1、a2、a4
a3=a1-a2
a5=2a1+3a2-a3
4．求下列矩阵的特征值和特征向量，并判断其正定性。
（1）
；
（2）
解
（1）输入：
A=[1,2,3;2,5,6;3,6,25];
[V,D]=eig（A）
结果为：
V=
0.93570.32790.1303
-0.35180.89610.2706
-0.0280-0.29900.9538
D=
0.158200
03.72970
0027.1121
输入：
lamda_A=eig（A）
结果为：
lamda_A=
0.1582
3.7297
27.1121
即矩阵A正定
（2）输入：
B=[-20,3,1;3,-10,-6;1,-6,-22];
[V,D]=eig（B）
结果为：
V=
-0.38100.90590.1850
0.4005-0.01860.9161
0.83340.4231-0.3557
D=
-25.340400
0-19.59470
00-7.0649
输入：
lamda_B=eig（B）
结果为：
lamda_B=
-25.3404
-19.5947
-7.0649
即矩阵B负定
5.用正交变换法将下列二次型化为标准形。
其中“
”为自己学号的后三位。
解输入：
A=[1,0,2;0,2,1.5;2,1.5,3];
[V,a]=eig（A）
结果为：
V=
0.74880.51390.4186
0.3389-0.83960.4246
-0.56960.17610.8028
a=
-0.521400
01.68540
004.8361
即标准型为f=-0.5214y1^2+1.6854y2^2+4.8361y3^2
二、应用题
1．在某网格图中，每一个节点的值与其相邻的上、下、左、右四个节点的值有如下关系：
，其中系数
；
；
；
。
如图所示，如：
。
请计算该网格节点1，2，3，4的值（计算结果按四舍五入保留小数点后1位）。
解输入：
A=[1,-0.3,-0.2,0;-0.4,1,0,-0.2;-0.3,0,1,-0.3;0,-0.3,-0.4,1];
b=[25;15;18;8];
U=rref（[A,b]）
结果为：
U=
1.000000045.8452
01.00000040.8267
001.0000042.9863
0001.000037.4426
即T1=45.8℃，T2=40.8℃，T3=43.0℃，T4=37.4℃
2．假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：
每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。
若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。
那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？
解输入：
A=[0.88,0.1;0.12,0.9];
X0=[800000;200000];
X20=A^20*X0
结果为：
X20=
1.0e+005*
4.5695
5.4305
即20年后市区和郊区人口数约为456950和543050.
3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。
表1混凝土的配方
型号1混凝土
型号2混凝土
型号3混凝土
水
10
10
10
水泥
22
26
18
砂
32
31
29
石子
53
64
50
灰
0
5
8
现在有一个用户要求混凝土中含水、水泥、砂、石子及灰的比例分别为：
24，52，73，133，12。
那么，能否用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土如果需要这种混凝土520吨，问三种混凝土各需要多少
解输入：
u1=[10;22;32;53;0];
u2=[10;26;31;64;5];
u3=[10;18;29;50;8];
v=[24;52;73;133;12];
U=[u1,u2,u3,v];
[U0,r]=rref（U）
结果为：
U0=
1.0000000.6000
01.000000.8000
001.00001.0000
0000
0000
r=
123
即能用这三种型号混凝土配出满足用户要求的混凝土。
且520吨水泥需要1号130吨，2号173吨，3号217吨。
4．某城市有如下图所示的交通图，每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段该路段的车流量。
若针对每一个十字路口（节点），进入和离开的车辆数相等。
请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流量
。
解输入：
A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];
b=[-100;72;37;-9];
U=rref（[A,b]）
结果为：
U=
100-19
010-1109
001-137
00000
即x1=x4+9
x2=x4+109
x3=x4+37
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