求一次函数解析式常见 题型解析.docx
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求一次函数解析式常见题型解析
求一次函数解析式常见题型解析
一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。
第一种情况：
直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。
（已知是一次函数或已知解析式形式
或已知函数图象是直线都是已知了一次函数）
一、定义型一次函数的定义：
形如
，k、b为常数，且k≠0。
例1.已知函数
是一次函数，求其解析式。
解析：
由一次函数定义知
，故一次函数的解析式为
注意：
利用定义求一次函数
解析式时，要保证k≠0。
如本例中应保证
。
例2.已知y-1与x＋1成正比例,且当x=1时,y=5.求y与x的函数关系式;
解析：
∵y-1与x＋1成正比例，
∴可假设y-1=k（x＋1）
又当x=1时,y=5，代入求出k=2，
所以y-1=2（x＋1），变形为y=2x＋3
注意：
“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知y-1与x＋1成正比例就可以假设y-1=k（x＋1）。
二.平移型两条直线
：
；
：
。
当
，
时，
∥
，解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。
例1.把直线
向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：
直线
向下平移得到的直线与直线
平行
∴可设把直线
向下平移2个单位得到的图像解析式为
直线
与y轴交点为（0，1）向下平移2个单位得到的点为（0，-1）
∴可代入
求出b=-1∴所求解析式为
例2.已知直线
与直线
平行，且与x轴交点横坐标为1，则直线的解析式为___________。
解析：
直线
与直线
平行，∴
。
又
直线
与x轴交点横坐标为1，即过点（1,0）
代入
中可求出
故直线的解析式为
三.两点型从几何的角度来看，“两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式
中含两个待定系数k和b，所以两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。
例1.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
解析：
设一次函数解析式为
由题意得
故这个一次函数的解析式为
例2.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
解析：
设一次函数解析式为
由图可知一次函数
的图象过点（1，0）、（0，2）
有
故这个一次函数的解析式为
例3.将直线
绕原点逆时针旋转900得到直线l,求直线l的解析式
解析：
先求出直线
与两个坐标轴的交点为（
，0），（0，-4），
这两点绕原点逆时针旋转900得到的点的坐标分别为（0，2），（4，0）
设直线l的解析式为
，把（0，2），（4，0）代入解析式中求出
b=2.
所以直线l的解析式为
例4某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：
x（元）
15
20
25
…
y（件）
25
20
15
…
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．
解析：
（1）设此一次函数解析式为
由表中可知两对数值相当于两个点的坐标（15,25），（20,20）
则
解得k=
1，b=40．
即一次函数解析式为
．
（2）每日的销售量为y=-30+40=10件，所获销售利润为（30
10）×10=200元
例5.如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
（2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
解析：
（1）因为摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数关系，所以可设其函数关系式为
．
由图可知：
当
时，
；当
时，
．
把它们分别代入上式，得
，
解得
，
．∴一次函数的解析式是
．
（2）当
时，
．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．
解题策略：
以上各例看上去差别很大，但解题思路却是一致的，总是想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出待定系数从而求出函数解析式。
这类问题是见得最多的问题。
练习题：
1.已知一次函数当3≤x≤6时，9≤y≤18，求y与x的函数解析式
解析：
有已知条件可知函数图像过（3,9）、（6,18）或（3,18）、（6,9）两点，用待定系数法求出y与x的函数解析式。
2.已知直线
与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
解析：
易求得直线
与y轴交点为（0,-4）,再由直线
与两坐标轴所围成的三角形面积等于4可知直线与x轴交点为（2,0）或（-2,0），再用待定系数法求出直线解析式。
也可以：
求得直线与x轴交点为
，所以
，所以
，即
故直线解析式为
或
3.已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是。
x
-1
2
5
y
5
-1
m
解析：
由表格可看出两对数值或两个点的坐标（-1,5）、（2，-1），再用待定系数法求出y与x的函数解析式。
4．直线
与直线
的交点的横坐标为2，与直线
的交点的纵坐标为2，求直线
的函数解析式．
解析：
由“直线
与直线
的交点的横坐标为2”可知直线
上一点坐标（2,5），由“直线
与直线
的交点的纵坐标为2”可知直线
上又一点坐标（-1,2），再用待定系数法求出直线解析式。
5．一次函数
的图象过点（
，5），并且与y轴相交于点P，直线
与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式．
6.（20XX年山东省枣庄市）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝
．
（1）求B′点的坐标；
（2）求折痕CE所在直线的解析式．
解：
（1）在Rt△B′OC中，tan∠OB′C＝
，OC＝9，
∴
．
解得OB′＝12，即点B′的坐标为（12，0）．
（2）将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上的B′点，CE为折痕，
∴△CBE≌△CB′E，故BE＝B′E，CB′＝CB＝OA．
由勾股定理，得CB′＝
＝15．
设AE＝a，则EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3．
由勾股定理，得 a2+32＝（9－a）2，解得a＝4．
∴点E的坐标为（15，4），点C的坐标为（0，9）．
设直线CE的解析式为y＝kx+b，根据题意，得
解得
∴CE所在直线的解析式为 y＝－
x+9．
7.（2009湖北荆门）如图，一次函数
的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求该函数的解析式；
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点的坐标．
解析：
（1）将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝
，b＝4．
∴解析式为：
y＝－2x＋4；
（2）设点C关于点O的对称点为C′，连接PC′、DC′，则PC＝PC′．
∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．
连接CD，在Rt△DCC′中，C′D＝
＝2
；
易得点P坐标为（0，1）．（亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△）
8.如图，已知直线
与x轴、y轴分别交与A点和B点，另一条直线
经过点C（1，0）．且把△AOB分成两部分．
（1）写出A、B点的坐标；
（2）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值.（两点型）
（3）若P点和C点在直线AB的同侧,且△CBA与△PBA的面积相等,求直线CP的解析式.（平移型）
四、探索型不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式
例1．（2009白银）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：
［注：
“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］
鞋长（cm）
16
19
21
24
鞋码（号）
22
28
32
38
（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？
（2）求x、y之间的函数关系式；
（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？
解析：
（1）通过描点推测这是一个一次函数。
（2）设函数解析式为
将（16,22）和（19,28）代入
得
求出
，
所以函数解析式为
，再用另两点代入解析式验证．
（3）当
时，即
，解得x=27
所以某人穿44号“鞋码”的鞋，他的鞋长是27（cm）
例2.通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量
（千克）与市场价格
（元/千克）（
）存在下列关系：
（元/千克）
5
10
15
20
（千克）
4500
4000
3500
3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量
（千克）与市场价格
（元/千克）成正比例关系：
（
）．现不计其它因素影响，如果需求数量
等于生产数量
，那么此时市场处于平衡状态．
（1）请通过描点画图探究
与
之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：
当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量
与市场价格
的函数关系发生改变，而需求数量
与市场价格
的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600元．请问这时该农副产品的市场价格为多少元？
解析：
（1）描点略．
设
，用任两点代入求得
，
再用另两点代入解析式验证．
（2）
，
，
．
总销售收入
（元）
农副产品的市场价格是10元/千克，农民的总销售收入是40000元．
（3）设这时该农副产品的市场价格为
元/千克，
则
，解之得：
，
．
，
．
这时该农副产品的市场价格为18元/千克．
第二种情况：
不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的实际问题之间数量关系，建立函数模型。
解题策略：
首先要明确自变量和函数变量各自的含义，然后把自变量看成某个固定的已知值去求相应的函数变量值，就可以得到函数解析式。
如果难以找到数量关系，可以先用特殊自变量值试探以探求思路。
例1.某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。
解析：
由题意得
，即
故所求函数的解析式为
（
）
注：
本题隐含的数量关系是：
油箱中剩油量Q（升）=存油20升-流出的油量。
例2.甲车速度为20米/秒，乙车速度为为25米/秒。
现在甲车
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