新人教版 八年级数学下册 第16章 二次根式 单元教案合集含章节小结与复习.docx

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新人教版八年级数学下册第16章二次根式单元教案合集含章节小结与复习

16.1.2二次根式

一、教学目标

1.经历探索性质（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）的过程，并理解其意义；

2.会运用性质（）2=a（a≥0）和=a（a≥0）进行二次根式的化简；

3.了解代数式的概念。

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简。

四、教学难点

正确运用二次根式的性质。

五、教学过程

（一）新课导入

【复习】在上节课的学习中，我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，以及二次根式有意义的条件。

现在，我们来复习一下吧。

判断下列各式中哪些是二次根式？

；；；；

课件展示复习题，学生快速回答。

形如（a≥0）的式子叫做二次根式。

我们知道，二次根式有这样的特点，

（1）根指数必须为2；

（2）被开方数必须是非负数。

那么二次根式还有其他什么性质吗？

今天我们就来探究一下吧。

（二）讲授新课

【探究】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。

（）2=4；（）2=2；

（）2=；（）2=0。

【过渡】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a，那么就会有：

（2=a（a≥0）。

这就是二次根式的第一个性质：

（2=a（a≥0）

【过渡】根据等式的定义，我们可以将上述式子写作：

a=（2（a≥0）。

由这个式子的特点，我们可以得到一种解决问题的办法，即如何将一个非负数写成平方的形式，而这对某些题目是有益的办法。

例题：

课本例2。

【探究】接下来，我们来看第二个探究内容。

问题2填空：

=2；=0.1；

=；=0。

和刚刚一样，我们同样将其扩展到所有范围内，则得到：

=a（a≥0）

由此，我们可以得到二次根式的第二个性质：

=a（a≥0）

同样，根据等式的定义，我们可以得到：

a（a≥0）

【过渡】利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“”的形式。

例题：

课本例3。

代数式：

问题3　回顾我们学过的式子，如5，a，a+2b，-ab，等，这些式子有哪些共同特征？

【过渡】大家对这个问题有什么答案吗？

（1）含有表示数的字母；

（2）用基本运算符号连接数或表示数的字母。

【过渡】我们一般称这样的式子叫做代数式。

用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式。

【典例精讲】1.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+-|b-a|。

解：

∵a＜0＜b，

∴a-b＜0，b-a＞0；

∴原式=|a|+|a-b|-|b-a|

=-a-（a-b）-（b-a）

=-a-a+b-b+a

=-a。

2.已知x为实数时，化简+。

解：

原式=+=|x-1|+|x|，

当x≤0时，x-1＜0，原式=1-x+（-x）=1-2x；

当0＜x≤1时，x-1≤0，原式=1-x+x=1；

当x＞1时，x-1＞0，原式=x-1+x=2x-1。

（三）重难点精讲

常见题型：

与分式的化简求值相结合。

解题方法：

（1）化简分式：

按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简；

（2）代入求值：

将含有二次根式的值代入，求出结果；

（3）检验结果：

所得结果为最简二次根式或整式。

（四）归纳小结

1.二次根式的性质

2.代数式

（五）随堂检测

1、若=3-a，则a与3的大小关系是（　　）

A.a＜3B.a≤3C.a＞3D.a≥3

2、把二次根式a•化为最简二次根式是（　　）

A.B.-C.-D.

3、已知2＜a＜3，化简+|a-3|。

4、已知实数a满足+=a，求a-20132的值。

六、板书设计

16.1.2二次根式的性质

概念例题练习

七、作业布置

1.家庭作业：

完成本节课的同步练习；

2.预习作业：

完成导学案16.2.1《二次根式的乘法》探究案

八、教学反思

16.2二次根式的乘除

一、教学目标

1.理解•＝（a≥0，b≥0），=•（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；

2.理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算；

3.了解最简二次根式的概念。

二、课时安排

1课时

三、教学重点

1.•＝（a≥0，b≥0），=•（a≥0，b≥0）及它们的运用。

2.理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算。

四、教学难点

发现规律，导出•＝（a≥0，b≥0）。

发现规律，归纳出二次根式的除法规定

五、教学过程

（一）新课导入

上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点，现在，我们一起来复习一下这些基本的知识吧。

（引导学生复习基本知识）

二次根式的特点及性质。

在有理数的运算中，我们学习了加、减、乘、除四则运算，那么，在我们学习了二次根式之后，大家有没有考虑过，两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？

怎样运算？

让我们从研究乘法开始。

（二）讲授新课

二次根式的乘法：

【探究】现在，大家来看一下课本的探究内容，研究一下二次根式的乘法吧。

课本P6探究内容。

从刚刚的结果中，我们可以看到，分别有这样的等式，×=，×=，×=。

大家能用字母表示你所发现的规律吗？

（学生讨论回答）

将字母表示规律，就得到二次根式的乘法法则：

一般地，对二次根式的乘法规定为

·＝．（a≥0，b≥0）

从这个乘法法则中，我们需要知道：

（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数。

在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。

现在，我们来练习一下利用乘法法则计算吧。

课本例1。

例1只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。

=（a）

根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。

大家思考这样一个问题，=×成立吗？

为什么？

（学生回答）

大家回答的很正确，这样是不正确的，原因呢，就是=（a）。

课本例2。

从这个例题中，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：

（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数。

（2）应用=（a）

（3）将平方项应用=a（a）

现在，我们利用这个步骤来看一下例3的内容吧。

课本例3。

例3中，我们看到了有系数的二次根式，而且可以知道，这样的二次根式化简的时候，系数和系数相乘，积为最终结果的系数。

二次根式的除法

我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用同样的方法来总结除法法则。

大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。

课本P6探究内容。

从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？

（学生讨论回答）

将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则：

一般地，对二次根式的除法规定为

=（a≥0，b>0）

从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须要有的条件。

在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。

现在，我们来练习一下利用除法法则计算吧。

课本例4。

例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样成立。

=（a≥0，b>0）

根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。

这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。

（1）分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母；

（2）最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。

那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？

结合刚刚的例题，大家能总结出来吗？

最简二次根式：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

课件展示练习题，学生快速回答。

根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。

课本例6。

从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就需要想办法去满足。

这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。

【典例精讲】1.若等式=•成立，化简：

|2x-4|++。

解：

根据题意得：

2x-1=2-x，

解得：

x=1，

则原式=|-2|++=2+4+1=7。

2.求比（+）6大的最小整数。

解：

设+=x，-=y，x+y=2，xy=1，

又：

x2+y2=（x+y）2-2xy=

（2）2-2×1=22，

x3+y3=（x+y）（x2-xy+y2）=422，

∴（+）6+（-）6=x6+y6=（x3+y3）2-2x3y3=10582，

又0＜-＜1，从而0＜（-）6＜1，

故10581＜（-）6＜10582，

∴比（+）6大的最小整数为10582。

（三）重难点精讲

最简二次根式的条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：

不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．

（四）归纳小结

1.二次根式的性质

2.代数式

（五）随堂检测

1、若+与−互为倒数，则（　　）

A.a=b-1B.a=b+1C.a+b=1D.a+b=-1

2、把二次根式a•化为最简二次根式是（　　）

A.B.-C.-D.

3、已知：

m=，a=，b=，则m的值是（）

A．大于1B．小于1

C．等于1D．无法确定

4、已知|x-2|++z2-6z+9=0，求••的值。

5、已知x为奇数，且=，求+的值。

六、板书设计

16.2二次根式的乘除

概念例题练习

七、作业布置

1.家庭作业：

完成本节课的同步练习；

2.预习作业：

完成导学案16.3《二次根式的加减》探究案

八、教学反思

16.3二次根式的加减

一、教学目标

（1）理解和掌握二次根式加减的方法；

（2）含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。

二、课时安排

1课时

三、教学重点

二次根式的加减等运算规律。

四、教学难点

最简二次根式的判断，及二次根式的混合运算。

五、教学过程

（一）新课导入

【过渡】在之前的学习当中，我们学习了同类项的合并，大家还记得同类项合并的计算方法吗？

我们来检测一下吧。

学生活动：

计算下列各式。

（1）2x+3x；

（2）2x5-5x5+5x5；（3）3x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

【过渡】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。

同类项合并就是字母不变，系数相加减。

而我们本节内容，则主要是学习二次根式的加减，那么这两者之间有没有什么共同点呢？

现在，就让我们一起来探究一下吧。

（二）讲授新课

1．二次根式的加减

【过渡】按照我们刚刚复习的同类项的合并，我们来试着思考一下，这样的同类项合并能否用于二次根式呢？

我们来看看课本12页的思考题。

【过渡】问题是要判断能否截出两个正方形，转化为几何问题，即为判断两个正方形的边长和与长方形的边长的大小，若小于长方形的边长，则说明不能截出。

那么两个正方形的边长分别是和，两者之和为+。

该如何计算这个呢？

（学生讨论回答）

结合我们复习的同类项合并，可以这样计算。

课件展示计算过程。

【过渡】在这个问题之后，我们再来看几个简单的计算：

（1）+3=

（2）3-=（3）+=（4）-=

（5）+=（6）+=

【过渡】根据刚刚我们探究的内