四点共圆练习.docx

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四点共圆练习

四点共圆

判定定理1：

若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．

判定定理2：

共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．

判定定理3：

对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、B、C、D四点共圆.

判定定理4：

相交弦定理的逆定理：

对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P，

若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。

判定定理5：

割线定理的逆定理：

对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P，

若PB·PA=PC·PD，则A、B、C、D四点共圆。

1：

如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AB=2，CD=1，求BC的长

2：

如图，正方形ABCD的面积为5，E、F分别为CD、DA的中点，BE、CF相交于P，

求AP的长

3：

如图，四边形ABCD内接于⊙O，CB=CD=4，AC与BD相交于E，AE=6，线段BE和DE的长都是正整数，求BD的长

4：

如图，OQ⊥AB，O为△ABC外接圆的圆心，F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，求证：

OA2=OP·OQ

5：

如图，P是⊙O外一点，PA与⊙O切于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，

求证：

PB：

BD=PC：

CD

6：

如图，直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点，P为圆上一点，P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm，求P到BC的距离

7：

在半⊙O中，AB为直径，直线CD交半圆于C、D，交AB延长线于M（MB

∠MKO=90°

8：

如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，求：

四边形ABCD的面积（用a表示）

一、选择题

1、设ABCD为圆内接四边形，现给出四个关系式：

（1）sinA=sinC；

（2）sinA+sinC=0；（3）cosB+cosD=0；（4）cosB=cosD；其中总能成立的关系式的个数是（）

A、一个；B、两个；C、三个；D、四个；

2、下面的四边形有外接圆的一定是（）

A、平行四边形；B、梯形；C、等腰梯形；D、两个角互补的四边形；

3、四边形ABCD内接于圆，∠A：

∠B：

∠C=7：

6：

3，则∠D等于（）

A、36º；B、72º；C、144º；D、54º；

4、如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若

，AP=1，则BD等于（）

A、

；B、2；C、3；D、

；

5、对于命题：

①内角相等的圆内接五边形是正五边形；

②内角相等的圆内接四边形是正四边形。

以下四个结论

中正确的是（）

A、①，②都对；B、①对，②错；C、①错，②对；D、①，②都错；

二、填空题

6、如图2，△ABC中，∠B=60º，AC=3cm，则△ABC的外接圆半径为。

7、如图3，△ABC中，∠ACB=65º，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则∠AED=,∠CED=。

8、如图4，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=

，BD=

，BE=

，则AE=，DE＝。

9、如图5，正方形ABCD的中心为O，面积为1989

，P为正方形内一点，且∠OPB=45º，PA：

PB＝5：

14，则PB=。

10、如图6，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中，若AB和BC的长度各为1，

，那么AD=。

三、解答题

11、如图7，在△ABC中，AD为高线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：

B、C、F、E四点共圆。

12、如图9，AB为圆的直径，AD、BC为圆的两条弦，且BD与AC相交于E。

求证：

AC·AE+BD·BE=AB2。

13、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：

CA=4：

3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）求证：

AC·CD=PC·BC；

（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？

并求出这个最大面积S。

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