晶体结构习题集.docx

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晶体结构习题集

第一章晶体结构

1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。

解：

晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。

非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。

准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。

另外，晶体又分为单晶体和多晶体：

整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。

2.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？

解：

晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。

当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。

晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：

晶格点阵＋基元＝实际晶体结构

3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？

解：

晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。

4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？

为什么？

如果是，指明它属于那类布喇菲格子？

如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？

（a）（b）（c）（d）

图1.34

（a）“面心＋体心”立方；（b）“边心”立方；（c）“边心＋体心”立方；（d）面心四方

解：

（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。

从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。

（b）“边心”立方不是布喇菲格子。

从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。

虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。

竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。

（c）“边心+体心”立方不是布喇菲格子。

从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。

显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。

（d）“面心四方”

从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。

5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。

解：

以下给出了了二维有心长方晶格示意图：

由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示：

（a）（b）

从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。

6.倒格子的实际意义是什么？

一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？

解：

倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。

设一种晶体的正格基矢为、、，根据倒格子基矢的定义：

式中是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。

同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。

所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。

7.为什么说晶面指数（）和Miller指数（）都能反映一个平行晶面族的方向？

解：

晶面指数（）是以固体物理学原胞的基矢、、为坐标轴来表示面指数的，而Miller指数（）是以结晶学原胞的基矢、、为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。

8.试画出体心立方、面心立方的（100），（110）和（111）面上的格点分布。

解：

体心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：

体心立方（100）面体心立方（110）面体心立方（111）面

面心立方（100），（110）和（111）面上的格点分布为：

面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面

9.一个物体或体系的对称性高低如何判断？

有何物理意义？

一个正八面体（见图1.35）有哪些对称操作？

解：

对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。

如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。

晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。

而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。

正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。

10.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？

解：

7种典型的晶体结构的配位数如下表1.1所示：

晶体结构

配位数

晶体结构

配位数

面心立方

六角密积

12

氯化钠型结构

6

体心立方

8

氯化铯型结构

8

简立方

6

金刚石型结构

4

11.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为

（1）简单立方；

（2）体心立方；（3）面心立方

（4）六角密积；（5）金刚石。

解：

（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：

（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则体心立方的致密度为：

（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则面心立方的致密度为：

（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，，则六角密积的致密度为：

（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则金刚石的致密度为：

12.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

解：

我们知体心立方格子的基矢为：

根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：

由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。

同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。

13.对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为

试求倒格子基矢。

解：

根据倒格子基矢的定义可知：

＝

＝

=

14.一晶体原胞基矢大小，，，基矢间夹角，，。

试求：

（1）倒格子基矢的大小；

（2）正、倒格子原胞的体积；

（3）正格子（210）晶面族的面间距。

解：

（1）由题意可知，该晶体的原胞基矢为：

由此可知：

==

==

==

所以

＝＝

＝＝

＝＝

（2）正格子原胞的体积为：

＝＝

倒格子原胞的体积为：

＝＝

（3）根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子（210）晶面族的面间距为：

==

=

15.如图1.36所示，试求：

（1）晶列，和的晶列指数；

（2）晶面,和的密勒指数；

（3）画出晶面（120），（131）。

图1.36

解：

（1）根据晶列指数的定义易求得晶列的晶列指数为[111]，晶列的晶列指数为[110]，晶列的晶列指数为[011]。

（2）根据晶面密勒指数的定义

晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为，故该晶面的密勒指数为（111）。

晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1/2，∞和1，则其倒数之比为，故该晶面的密勒指数为（201）。

晶面在，和三个坐标轴上的截距依次为1/2，-1和∞，则其倒数之比为，故该晶面的密勒指数为（210）。

（3）晶面（120），（131）分别如下图中晶面和晶面所示：

16.矢量，，构成简单正交系。

证明晶面族的面间距为

解：

由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：

由此可求得其倒格子基矢为：

根据倒格子矢量的性质有：

17.设有一简单格子，它的基矢分别为，，。

试求：

（1）此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？

（2）该晶体的倒格子基矢；

（3）密勒指数为（121）晶面族的面间距；

（4）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？

（5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为多少？

解：

（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。

（2）由倒格子基矢的定义可知：

（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为

（4）由于面密度，其中是面间距，是体密度。

对布喇菲格子，等于常数。

因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为，则该晶面族的面间距应为最大值，所以有

由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距，因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。

（5）[111]与[111]晶列之间的夹角余弦为

18.已知半导体GaAs具有闪锌矿结构，Ga和As两原子的最近距离d＝2.45×10-10m。

试求：

（1）晶格常数；

（2）固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；

（3）密勒指数为（110）晶面族的面间距；

（4）密勒指数为（110）和（111）晶面法向方向间的夹角。

解：

（1）由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：

由此可知：

—Ga原子—As原子

故=

（2）由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：

其倒格子基矢为：

（3）密勒指数为（110）晶面族的面间距为：

（4）根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为（110）和（111）晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢和之间的夹角，设为，则有：

＝

19.如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求：

（1）正格子基矢和倒格子基矢；

（2）画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。

解：

（1）取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使的方向和的方向相同，于是有：

那么有：

（2）根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示：

上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为：

20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条件。

解：

（1）在面心立方结构的原胞中包含