反比例函数经典题型doc.docx

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反比例函数经典题型doc

.

反比例函数

一、经典内容解析

1.反比例函数的概念

（1）（k≠0）可以写成（k≠0）的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决

有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；

（2）（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

（3）反比例函数

的自变量

x≠0，故函数图象与

x轴、y轴无交点.

解析式

y

k

（k为常数，且k0）

x

自变量取值范围

x

0

的实数

双曲线

图

k

0

k

0

11

Y

11

图

象

10

Y

9

10

9

8

8

7

象

的

7

5

6

6

4

5

4

性

2

2

3

3

示意图

X

X

1

1

质

-8-7-6-5-4-3-2-1-10123456789

-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

-2

-1

-3

-2

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9

位置

两个分支分别位于

两个分支分别位于

一、三象限

二、四象限

变化趋势

在每个象限内，y随x

在每个象限内，y随x

的增大而减小

的增大而增大

是轴对称图形，直线y

x是它的两条对称轴

对称性

是中心对称图形，对称中心为坐标原点

3.反比例函数的性质（与正比例函数对比）

函数解析式

正比例函数y=kx（k≠0）

反比例函数

（k≠0）

自变量的

取值范围

全体实数

x≠0

图象

直线，经过原点

双曲线，与坐标轴没有交点

图象位置（性质）

当k＞0时，图象经过一、三象限；

当当k＞0时，图象的两支分别位于一、

三

.

.

k＜0时，图象经过二、四象限.象限；当k＜0时，图象的两支分别位

于二、四象限.

（1）当k＞0时，在每个象限内

y随x

（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；

当k＜0时，在每个象

的增大而减小；

性质

当k＜0时，y随x的增大而减小.

（2）

限内y随x的增大而增大.

（2）

越大，

越大，图象越靠近

y轴.

图象的弯曲度越小，曲线越平直.

注：

（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.

（2）

正比例函数

与反比例函数

，

当

时，两图象没有交点；

当

时，两图象必有两个交点，

且这两个交点关于原点成中心对称.

（3）

反比例函数与一次函数的联系.

4.反比例函数中比例系数k的几何意义

（1）过双曲线（k≠0）上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.

（2）过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角

形的面积为

.

.

二、典型例题分析

1.反比例函数定义

【例1】如果函数y

kx2k2k2的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么

k的

值是多少？

1.反比例函数y

2的图像位于（

）

x

A．第一、二象限

B．第一、三象限C．第二、三象限

D．第二、四象限

6

2.若双曲线y＝－x经过点A（m，－2m），则m的值为（

）

A.3

B.3

C.±3

D.±3

3.已知某反比例函数的图象经过点（m，n），则它一定也经过点（）

A.（m，－n）B.（n，m）C.（－m，n）D.（︱m︱，︱n︱）

4．（2007陕西）在△ABC的三个顶点A（2，3），B（4，5），C（3，2）中，可能在

反比例函数y

k（k0）的图象上的点是

．

x

5.若点P（4，m）关于y轴对称的点在反比例函y=（x≠0）的图象上，则m

的值是

2.反比例函数的表示

【例2】已知yy1y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且

x2时和x3时，y的值都是19，求y与x间的函数解析式

1.若y与x成反比例，x与z成正比例，则y是z的（）

A、正比例函数B、反比例函数C、一次函数D、不能确定

2．已知y与（x2）成反比例关系，且当x1时，y4，

则y关于x的函数解析式为

3．已知y与x成正比例（比例系数为k），y

与x成反比例（比例系数为

k），若函数yy1y2

1

1

2

2

的图象经过点（

1，2），（2，1），则8k1

5k2

．

2

3.反比例函数的增减性问题.

【例3】在反比例函数y

1的图像上有三点x1

，y1

，x2，y2，x3

，y3。

x

若x1x2

0

x3则下列各式正确的是（

）

A．y3

y1

y2B．y3y2y1C．y1

y2

y3D．y1y3

y2

.

.

1．在反比例函数图象上有两点A（，），B（），当时，有

，则m的取值范围是（）.

A．m＜0B．m＞0C．m＜0.5D．m＞0.5

2：

已知反比例函数的图象上两点A（，），B（，），当时，

有，则m的取值范围是_________.

3：

若反比例函数上，有三点A（，），B（，），C（，），且

，则，，的大小关系是________.

4.设有反比例函数yk1，（x1,y1）、（x2,y2）为其图象上的两点，若x10x2

x

时，y1y2，则k的取值范围是___________

4.反比例函数与图象的面积问题.

（1）求函数解析式

1．如图，P是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF的面积为3.求这个反

函数的解析式.

2.（2007山东枣庄）反比例函数yk的图象如图所示，点M是该函x

数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（）

（A）2（B）-2

（C）4（D）-4

（2）求图形面积的问题

1.图中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画

与y轴相切的两个圆，若点A的坐标为（1，2），求图中两个阴影面积的和.

.

.

（3）求特殊点组成图形的面积

1．如图，反比例函数y=与一次函数y=-x+2的图象相交于A、B两点.

（1）

求A、B两点的坐标；

（2）

求△AOB的面积.

5.k的几何意义及应用

1．点P为反比例函数图象上一点，如图，若阴影部分的面积是

12个

（平方单位），则解析式为

2．如图，反比例函数

y

5

ykx（k0）

相交于A、B

的图象与直线

x

两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于

个面积单位.

．

如图，已知双曲线

y

k

3

（x＞0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边

x

形OEBF的面积为

2，则k＝______________。

y

y

A

C

E

B

O

x

F

B

x

C

O

A

（第2题图）

（第3题图）

6.反比例函数和一次函数的综合

例1．函数y=与y=mx-m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

.

.

k

1.已知反比例函数y＝x（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而增大，那么一次

函数y＝kx－k的图象经过（

）

A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限

D.第二、三、四象限

kb

2.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数

y＝x

的图象在（

）

A.第一、二象限B.第三、四象限C.第一、三象限D.第二、四象限

k

3．在同一坐标系中，函数yx和ykx3的图像大致是（）

ABCD

4.（2007浙江宁波）如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数

y=

2的图像，则关于

x的方程kx+b=2的解为（）

x

x

（A）x

l=1，x2

=2

（B）x

l=-2，x2=-1

（C）x

l=1，x2

=-2

（D）x

l=2，x2=-1

k

5.已知反比例函数y＝x（k≠0），当x＜0时，y随x的增

大而增大，那么一次函数y＝kx－k的图象经过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

6.（2007湖北潜江）如图，反比例函数y5的图象与直线ykx（k0）相

x

交于B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于个面积单位.

例2．如图，已知A（-4，2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.

.

.

（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

解：

（1）∵点A（-4，2）和点B（n，-4）都在反比例函数y=的图象上，

∴解得

又由点A（-4，2）和点B（2，-4）都在一次函数y=kx+b的图象上，

∴解得

∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=-x-2.

（2）x的取值范围是x＞2或-4＜x＜0.

例3．直线y=k1x+b与双曲线y=只有—个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B，

C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线、双曲线的解析式.

解：

∵点A（1，2）在上

∴，∴

∴双曲线的解析式为

∵AD垂直平分OB，

∴OD=1，OB=2

∴B（2，0）

.

.

∵A（1，2），B（2，0）在直线上

∴

解得

∴直线解析式为.

例4．如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐

标为4.

（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

解：

（1）∵点A横坐标为4，∴当=4时，=2.

∴点A的坐标为（4，2）.

∵点A是直线与双曲线的交点，

∴k=4×2=8.

（2）解法一：

如图，

∵点C在双曲线上，当=8时，=1

∴点C的坐标为（1，8）.

过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，

得矩形DMON.

S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4.

.

.

S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15.

解法二：

如图，

过点C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵点C在双曲线上，当=8时，=1.

∴点C的坐标为（1，8）.

∵点C、A都在双曲线上，

∴S△COE=S△AOF=4.

∴S△COE+S梯形CEFA=S△COA+S△AOF.

∴S△COA=S梯形CEFA.

∵S梯形CEFA=×（2+8）×3=15，∴S△COA=15.

7.反比例函数图象上、下平移；关于坐标轴对称；关于坐标原点中心对称；绕原点顺（逆）

时针旋转90后的解析式

1．如图，一次函数y

xb与反比例函数y

k

A、B两点，若已知一个交

的图象相交于

x

点为A（2，1），则另一个交点B的坐标为（

）

A.（2，－1）

B.（－2，－1）

C.（－1，－2）

D.（1，2）

2

2．反比例函数的图象经过点M（3,），将其图象向上平移

3

2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为

k

3．若将反比例函数y的图象绕原点O逆时针旋转90后经过点A（-2，3），则反比例

x

函数的解析式为：

8.反比例函数与一次函数、方程、不等式的综合问题

1．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和y

k2

的图象大致是（

）．

x

y

y

y

y

x

x

x

x

A

B

C

D

y

2．如图，已知直线

y1x

m与x轴、y轴分别交于点

A、B，

B

C

D

.

A

O

x

（第24题图）

.

与双曲线y2k（x<0）分别交于点C、D，且点C的坐标为（-1，2）．

x

错误!

未找到引用源。

分别求出直线及双曲线的解析式；

错误!

未找到引用源。

求出点D的坐标；

错误!

未找到引用源。

利用图象直接写出当x在什么范围内取值时，y1y2．

9.求双曲线与直线交点问题；数形结合等思想方法的应用

1．反比例函数中y=5，当x<2时，y的取值范围是

；

x

当y≥-1时，x的取值范围是

.

2．一次函数y=kx+b与反比例函数

y=

2的图象如图，则关于

x的

2的解为（

x

方程kx+b=

）

x

（B）x=-2，x=-1

（A）x=1，x=2

l

2

l

2

（C）x=1，x=-2

（D）x=2，x=-1

l

2

l

2

（第26题图）

3．如图，利用函数图象解不等式x

1

，

x

则不等式的解集为

4．不解方程，利用函数的图象判断方程

2

x

0

的

x

解的个数为

1

k

（第27题图）

5．如图，已知直线

x与双曲线

（k

0）

交于A，B两点，且点A的横坐标为

4．

y

y

（1）求k的值；

2

x

y

k（k

（2）若双曲线y

0）上一点C的纵坐标为

8，

x

A

求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y

k（k

0）于P、Q

O

x

x

B

两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组

29图

成的四边形面积为24，求点P的坐标．

.

.

10．反比例函数中的综合问题及探究性问题

1．将x1

2

y

1

中，所得函数值记为

y1，将y1的值代入x

y1

1

中，

代入反比例函数

x

3

1

得到

x2

x

y

y

y

的值；并将

中，所得函数值记为

2

的值

2的值再次代入函数

2，再将

x

1

代入x

y21中得到x3

，并再次将x3

代入函数y

y3，，

中，所得函数值记为

x

如此继续下去．

错误!

未找到引用源。

完成下表.

y

y

2

y

3

y

4

y

5

1

3

2

错误!

未找到引用源。

观察上表，你发现了什么规律？

猜想y2007=．

2．如图，已知点A在反比例函数的图象上，

（第2题图）

ABx轴于点B，

点C（0，1），且

ABC的面积是3，求反比例函数的解析式.

3．已知点A（a,b）,且ab0，AM⊥y轴于点M，点N（c,0）在

x轴上，AMN的面积是3个平方单位，探究点

A在怎样

的函数图象上运动，并求出这个函数的解析式.

（第3题图）

（通过举例实践、探究、认知）

4．如图，正方形ABCD的边长是2，E、F分别在BC、CD两边上，

且E、F与BC、CD两边的端点不重合，AEF的面积是1，

设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.

5．已知点（2,a）在反比例函数

y

6

（x0）的图象上．点

第4题图

B是

x

点A（2,a）关于直线y

x的对称点，

（1）求点A、B的坐标；

（2）光线由点A发出，照射到x轴上的点C,若反射光线恰好经过点B，求点C的坐标.

第5题图

.

.

6．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点

A、C分别在x轴、y轴上，

点B在函数y

k

k

（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数y

（k＞0，x＞0）的图象上任

x

x

意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为

E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外

的部分的面积为

S.

⑴求B点坐标和k的值；

y

9

时，求点P的坐标；

⑵当S

2

C

B

⑶写出S关于m的函数关系式.

x

OA

n

第6题图

7．已知正比例函数ykx（k

0）和反比例函数

的图象交于点A（a,b），点B在正比

y

x

例函数ykx的图象上，点C在反比例函数y

n

的图象上，且B、C两点的纵坐标都是k，

x

（本题中所有的

k都表示同一个量）设BC的长记作S，

（1）当k=2，a=3时，求反比例函数的解析式；

（2）求S关于a的函数解析式及

a的取值范围，并说明

S与