数学建模题洁具流水时间设计.docx
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数学建模题洁具流水时间设计
数学建模题：
洁具流水时间设计
仲恺农业工程学院
数学建模课程论文
题目:
洁具流水时间设计
姓名
学院
专业班级
学号
指导老师
洁具流水时间设计
目录:
一、摘要.................................................................................................2二、问题的提出.....................................................................................3三、问题的分析.....................................................................................4四、模型假设与符号假设......................................................................4
4.1模型的假设................................................................................4
4.2符号假设....................................................................................4五、模型的建立与求解..........................................................................5
5.1模型一的建立.............................................................................5
5.2模型一的简化与求解;..............................................................5
5.3模型二的建立..............................................................................8六、结果分析与检验............................................................................12七、模型推广.......................................................................................12八、模型的优缺点...............................................................................12九、参考文献.......................................................................................12附录部分:
...........................................................................................13
1
一、摘要
本文是关于洁具流水时间的优化设计问题，从数学建模和节约能源的角度基
对男性用的全自动洁具目前主要采用的两种控制放水时间的设计方案础上出发,
进行了分析比较，并且得到了最优解，并利用MATLAB软件检验出题目所提供数据符合正态分布，进而将样本容量扩大，拟合出更精确函数图像。
在模型一中，假设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保证洁具不受下一个使用者的影响。
如果只从节约能源的角度来考虑的话，可以求解出最优解T=6秒，是最佳的选择。
如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，最佳的选择。
在模型二中，假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。
如果从节约能源的角度来设计最优化模型，此时T=6秒。
如果还从清洁度和洁具的寿命角度来设计最优化模型，此时T=11秒。
并在此基础上，考虑到清洁因素，又对洁具的流水时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。
关键词:
流水时间节能线性比较
2
二、问题的提出
我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。
特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。
许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。
而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。
某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。
方案一:
使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。
方案二:
使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。
若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。
但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。
该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间（单位:
秒）见下表:
时间（秒）12131415161718
人次1512601363
（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好,并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的;
（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。
3
三、问题的分析
该问题提出了对于洁具放水问题方案的合理假设。
从既保持清洁又节约能源的角度出发，我们主要从放水时间上对两种方案进行了比较和优化。
3.1、根据题目的特点，首先对两个方案中使用时间和放水时间的联系，列出函数关系式，得出两个分段函数。
然后对题目所给的男性使用洁具时间的数据用MATLAB软件进行了检验，得出了使用者每次使用时间符合正态分布的结果，求得期望、方差，并用区间估计得出不拒绝域假设。
之后产生出随机数将数据一般化，这样我们就可以在一个更合理的区间将函数关系式作为目标函数，以及将一般数据的规律作为限制条件建立规划的数学模型，得出最优解。
3.2、最后再用MATLAB软件对区间内的各数据绘图，之后可从图像上清晰的看出两个方案用水量在不同区间内的差异，找出最优的情况，达到最大限度节能的目的。
3.3、在模型一的设计中，我们是假设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，我们已经看出了其中结果的优越性。
从既能保持清洁又能节约能源出发，我们小组又设计出模型二，在的设计中，我们假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，进而调整了两种方案的时间计算公式，用同样的方法找出最优的情况，达到最大限度节能的目的。
四、模型假设与符号假设
4.1模型的假设
（1）厂家随机调查的100人次男性可以代表普遍男性使用时间的规律,反映出现现实情况;
（2）一般电子控制水龙头的开关采用继电器，计时系统的耗电可以忽略，只考虑继电器的耗电，因此耗电量与冲水次数和流水时间有关。
（3）用水量与只与用水时间成正比;
（4）洁具的寿命与冲水次数和冲水时间有关;
（5）使用者每次使用时间属于正态分布。
（6）前一使用者与后一使用者使用洁具是相互独立的事件。
4.2符号假设
4
T:
洁具中设计的放水时间参数（单位秒）;
:
使用者使用的时间;t
F:
用水量
:
每个人使用后冲水的时间;f
:
放水过程单位时间内流出的水量;v
R:
所有使用者使用的冲水时间的累加;
r:
每位使用者平均使用的冲水时间;
:
每个使用者使用洁具时，平均冲水的次数;c
为简化中间迭带和运算，其他中间变量，其含义见文中。
五、模型的建立与求解
5.1模型一的建立
设上一个使用者离开和下一个使用者开始使用洁具时间间隔充分大，可以保
证洁具不受下一个使用者的影响。
方案一时间的计算如下:
当使用时间不超过T-5秒时，放水一次，时间为T
秒。
否则放水时间为T+10秒。
数学表达式如下:
Tt,T,5,f,,
（1）T，10T,5,t,其中f代表冲水时间。
则用水量为Ffv,*
方案二时间的计算如下:
T2T2TnT，1使用时间不超过秒时，放水一次，时间为秒。
否则，到时刻再开始第二次放水，总的放水时间为。
依次类推，使用时间超过时，到第的时刻再开始第n+1次放水，时间为。
其函数关系式如下:
T,52nTnT,5，，
Tt,T,5,
f,2TT,5,t,2T,5（n,2,3,4）
（2）,
（n，1）TnT,5,t,（n，1）T,5,
fFfv,*其中代表冲水时间。
则用水量为
从而，我们可以得到如下规划:
minzfv,，,（3）,stcL..0,1,,,
5.2模型一的简化与求解;
5
首先用Matlab软件中的BAR函数对所给的数据进行绘图，从图可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。
然后用NORMPLOT函数画出其概率图。
使用者使用时间的直方图（图1）及正态分布概率图（图2）。
由NORMPFIT函数算出其均值为15.0900,标准差为1.0259。
已知使用者的每次使用时间服从正态分布，用TTEST函数检验其均值m是否等于15.0900。
结果:
H=0，P=1，CI=[14.8864，15.2936]。
检验结果说明:
（1）布尔变量H=0,表示不拒绝零假设。
说明提出的假设使用时间的均值15.0900是合理的;
（2）95%的置信区间为[14.8864，15.2936],它完全包括15.0900,且精度很高;
（3）P值为1,远超过0.5,不能拒绝零假设。
我们用NORMRND函数产生服从正态分布的随机数，可以对1000人进行统计他们总的使用时间和冲水次数，即:
图3（1000人冲水时间的累加图）和图4（1000人冲水次数的累加图）。
图1使用者使用时间的直方图
6
图2使用者使用时间的正态分布概率图
图31000人冲水时间的累加图
7
图41000人冲水次数的累加图
比较两种方案，方案一较好。
由图3与图4可知:
在T=22秒以前，方案一冲水时间要明显小于方案二的冲水时间。
在T=22秒以后，方案一冲水时间与方案二的冲水时间一样的。
在T=11秒以前，方案一冲水次数要明显小于方案二的冲水次数。
在T=11秒以后，方案一冲水次数和方案二的冲水次数无区别。
综上所述，无论从节约能源的角度还是从洁具寿命的角度上来看，方案一都比方案二好。
如果只从节约能源的角度来考虑的话，T=6秒，是最佳的选择。
如果还考虑清洁度和洁具的寿命的话，T=22秒，是最佳的选择。
5.3模型二的建立
假设上一使用者离开和下一使用者开始使用洁具的时间间隔比较小，洁具冲水时间受到影响。
由于洁具可以根据用户要求，设定不同的程序。
为了节约用水，一般洁具具有重新计时功能。
考虑到时间间隔，我们对方案一和方案二的冲水时间f与放水时间T函数关系式进行改进。
设G为时间间隔，模型一中的每个方案中的限制条件加入时间间隔G，这样第二个使用者在使用之前的冲水时间与上一
8
使用者的第二次冲水时间会出现重复，此时冲水时间变为t+G，该值不大于T。
这样就对模型一中的方案一进行了修正，则方案一冲水时间函数关系式改进如下:
t，Gt,T,5t，G,T,
Tt,T,5t，G,T,f,,t，Gt,T,5t，G,T，10,
T，10t,T,5t，G,T，10,（4）
还是在考虑前后使用者时间间隔的条件下，同样的会得到当时间间隔比较小的时候，下一个使用者在使用之前自动冲水系统的冲水时间T，会与上一个使用者的使用时间和间隔时间出现叠加，即前一使用者的使用时间t和间隔时间代替了下一使用者使用前的冲水时间T，n次情况亦如此。
对模型一的方案二修正后，方案二的冲水时间函数关系式改进如下:
Tt,T,5,
nTnT,5,t,（n，1）T,5t，G,2nT,f,,t，G,nTnT,5,t,（n，1）T,5t，G,（2n，1）T2nT,t，G,,（n，1）TnT,5,t,（n，1）T,5t，G,（2n，1）T,
（5）5.4模型二的简化与求解;
设时间间隔小于20秒，方案一、方案二1000人冲水时间和冲水次数的比较:
图5（G<10）
9
图6
图7（G<20）
10
图8
从图7图8可知:
在T?
7或T,20秒，方案一的冲水时间和冲水次数小于方案二的。
在7,T?
20秒，方案二的冲水时间和冲水次数小于方案一的。
对于方案一，T=5秒，R=15730秒，r=15.73秒，平均每人用15.73×v水量，C=2.1;T=22秒，R=21780秒，r=21.780秒，平均每人用21.78×v水量，C=1.1。
对于方案二，T=11秒，R=16070秒，r=16.070秒，平均每人用16.070×v水量，C=1.19。
如果从节约能源的角度来选;方案一是最佳的，且选T=5秒。
如果还从清洁度和洁具的寿命角度来选方案二是最佳，且选T=11秒。
我们还考虑了时间间隔是10秒以内，30秒以内，40秒以内的随机数。
我们发现具有以上同样的规律。
而在50秒以内，60以内，70秒以内…的随机数，我们发现方案一在各方面都好于方案二，T的选择可作类似分析见图7图8。
综上所述，如果洁具用在人比较少的地方，比如家庭则选方案一，设定T=5秒;如果洁具用在人比较多的地方，比如公共厕所则选方案二，设定T=11秒，时间间隔为20秒以内的随机数。
11
六、结果分析与检验
本文从题目所提供的两个方案中，根据使用时间和放水时间的联系，列出了函数关系式，得出两个分段函数，建立了模型一。
然后用Matlab软件模拟函数图像，从图像中得到:
方案一优于方案二。
在方案一中得到两个最优解T=6秒，T=22秒，对于T=6秒是仅从最大限度节约水、电的目的来考虑而得出的;而T=22秒是从节约能源、清洁度和洁具的寿命三方面综合考虑得出的。
故为能达到问题一中最大限度节约水、电的目的，T=6秒为厂家的最佳选择。
但T=22秒比较符合实际生活中的情况。
七、模型推广
本文中模型就是从冲水时间与放水时间之间的函数关系式出发，然后列出优化方案建立起来的。
因此可以将这种模型推广到其他主要应用自动感应工作原理工作的物品的优化问题上，如教室）走廊内感应照明灯等。
八、模型的优缺点
两个模型，对全自动洁具目前主要采用的两种出流方案进行了分析比较，用MATLAB求出了各方案出流时间设计参数T的最优值，并在此基础上，对全自动洁具的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。
此模型的结果很精确，能很好地符合题目的要求，也适合于其它主要应用自动感应工作原理工作的物品的优化问题，因此有很强的实用性。
该模型运用MATLAB软件模拟函数图像，从图像中可直观的看出两种方案在考虑不同因素时T的最优解，并在此基础上，对感应式小便器的出流时间进行了优化设计，给出了一套既节水又卫生的流水方案。
对冲水时间进行合理求解，冲水时间从人开始应用洁具起延迟2妙钟，再冲水，可以起到节约用水的目的。
九、参考文献
[1]杨勇.洁具出流时间的优化设计.中国陶瓷.2007（43）第10期:
31-35.[2]刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）.北京.高等教育出版社.2006.7[3]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第二版）.北京.高等教育出版社.2003.6
12
[4]周义仓，赫孝良.数学建模实验（第二版）.西安.西安交通大学出版社.2007.8
[5]姜启源.数学模型（第二版）.北京.高等教育出版社.1993
[6]冯杰，黄力伟，王勤，伊成义.数学建模原理与案例.科学出版社.2007.
奚梅成,陈长松.数值计算方法和算法.科学出版社.2000.[7]张韵华
[8]全国大学生数学建模网.
附录部分:
1计算程序
以下程序均在MATELAB7.0中运行样本的输入
x1=[12];
>>fori=1:
5
x2（i）=13;
end
>>fori=1:
12
x3（i）=14;
end
>>fori=1:
60
x4（i）=15;
end
>>fori=1:
13
x5（i）=16;
end
>>fori=1:
6
x6（i）=17;
end
13
>>fori=1:
3
x7（i）=18;
end
>>x=[x1x2x3x4x5x6x7]
图1源程序:
t=[12,13,14,15,16,17,18];>>n=[1,5,12,60,13,6,3];>>bar（t,n）
图2源程序:
normplot（x）
假设检验）期望方差源程序:
normplot（x）
>>[M,S,MCI,SCI]=normfit（x,0.05）3
M=
15.0900
S=
1.0259
MCI=
14.8864
15.2936
SCI=
0.9007
1.1917
>>[H,P,CI]=ttest（x,M,0.05,0）
H=
0
P=
1
CI=
14
14.886415.2936>>
图3源程序:
t=normrnd（M,S,1,1000）;>>fori=1:
26
f（i）=0;
F（i）=0;
end
>>forT=5:
30
fori=1:
1000
ift（i）<=T-5
f（T-4）=f（T-4）+T;
elsef（T-4）=f（T-4）+T+10;end
end
end
>>forT=5:
30
fori=1:
1000
forn=1:
inf
ift（i）<=（n+1）*T-5&t（i）>n*T-5
F（T-4）=F（T-4）+（n+1）*T;break
end
end
end
end
>>plot（5:
30,f,5:
30,F）,title（'1000人冲水时间'）,text（7,2.5e+004,'（G）'）,text（10,1.9e+004,'（B）'）,text（23,3.8e+004,'
蓝线:
方案1'）,text（23,3.5e+004,'绿线:
方案2'）;
15
图4源程序:
t=normrnd（15.09,1.0259,1,1000）;
>>fori=1:
26
c（i）=0;
C（i）=0;
end
>>forT=5:
30
fori=1:
1000
ift（i）<=T-5
c（T-4）=c（T-4）+1;elsec（T-4）=c（T-4）+2;end
end
end
>>forT=5:
30
fori=1:
1000
forn=0:
inf
ift（i）>n*T-5&t（i）<=（n+1）*T-5C（T-4）=C（T-4）+n+1;break
end
end
end
end
plot（5:
30,c,5:
30,C）,title（'1000人冲水次数
'）,text（7,3200,'（G）'）,text（8,1900,'（B）'）,text（15,3800,'蓝线:
方案
1'）,text（15,3500,'绿线:
方案2'）;
16
图5源程序:
t=normrnd（15.09,1.0259,1,1000）;
>>fori=1:
26
f（i）=0;
F（i）=0;
end
>>forT=5:
30
forG=0:
10
fori=1:
1000
ift（i）ift（i）<=T-G
f（T-4）=f（T-4）+t（i）+G;elsef（T-4）=f（T-4）+T;end
elseift（i）<=T+10-Gf（T-4）=f（T-4）+t（i）+G;elsef（T-4）=f（T-4）+T+10;end
end
end
end
end
>>forT=5:
30
forG=0:
10
fori=1:
1000
forn=0:
inf
ift（i）<=T-5
F（T-4）=F（T-4）+T;
17
break
elseift（i）>n*T-5&t（i）<=（n+1）*T-5&t（i）<=2*n*T-G
F（T-4）=F（T-4）+n*T;
break
end
ift（i）>n*T-5&t（i）<=（n+1）*T-5&t（i）>2*n*T-G&t（i）<=（2*n+1）*T-G
F（T-4）=F（T-4）+t（i）+G-n*T;break
end
ift（i）>n*T-5&t（i）<=（n+1）*T-5&t（i）>（2*n+1）*T-G
F（T-4）=F（T-4）+（n+1）*T;
break
end
end
end
end
end
end
f=f/20;
F=F/20;
plot（5:
30,f,5:
30,F）,title（'1000人冲水时间
'）,text（15,8100,'（G）'）,text（11,1.1e4,'（B）'）,text（12,16000,'蓝线:
方案1'）,text（12,15000,'绿线:
方案2'）;
图6源程序:
t=normrnd（15.09,1.0207,1,1000）;>>fori=1:
26
f（i）=0;
18
F（i）=0;
end
>>forT=5:
30
forG=0:
10
fori=1:
1000
ift（i）f（T-4）=f（T-4）+1;elsef（T-4）=f（T-4）+2;
end
end
end
end
>>forT=5:
30
forG=0:
10
fori=1:
1000
forn=0:
inf
ift（i）<=T-5
F（T-4）=F（T-4）+1;break
elseift（i）>n*T-5&t（i）<=（n+1）*T-5&t（i）<=（2*n+1）*T-G
F（T-4）=F（T-4）+n;break
elseift（
升级会员 