000排列组合复习题.docx
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000排列组合复习题
A—
列、组合专题复习
题型一、重复排列问题(即“谁选谁”问题)
应用乘法原理解题,关键在于分析理解题意。
例如:
a选b问题,则a只能选择一
个b,而同一个b却能被不同的a选择(也就是b可以被a重复选)。
则以a为主分步考虑每一个a有几种选法,依次将每一个a选择b的方法种数相乘即可。
例1:
)35
(1)•5名工人要在3天中各自选择1天休息,不同方法的种数是(
)。
若每个队只许一位学生参加,有()种不同结果?
(2)•4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同报法的种数(
34;43
(3)•火车上有十名乘客,沿途有
5个车站,乘客下车的可能方式有(
)种510
(4)•有4种不同溶液倒入5只不同的量杯,如果溶液足够多,每只量杯只能倒入一种溶液,
有()种不同倒法。
45
(5)•3封信进入三个不同的信箱,则进入A信箱中的信件个数X的数学期望是(
题型二、染色问题
方法有两种:
一是分步计数原理,逐块涂每块区域(一般到第三或第四块区域会因为是否第一块同色而分类。
)这是染色问题常用的方法;方法二是分类计数原理,以需要颜色的种数(最多几种颜色,最少几种颜色,划分出分类)进行分类,每一类中又需要分步。
例2:
)。
420
(1)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使用同一条棱上的两端异色,如果只有种颜色可供选择,求不同的染色方法总数(
(2)椭圆的长轴和短轴把椭圆分成4块,现在用5种不同的颜色给4块涂色,要求共边两
块颜色互异,每块只涂一色,则一共有多少不同的涂色方案()260
(3)将3种作物种植在如下图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有()种II
42
题型三、排列、组合概念及排列数、组合数公式
重点在于正确理解排列组合的概念,二者有区别也有联系。
区别在于排列有序,组和无序;联系在于,组合是排列的第一步。
再次理解排列的概念即为:
在n个不同元素中先取
n!
出m个元素,然后按照一定的顺序排成一列(含有两步)故
其中A:
n(n1)(n2)n(m1)。
(nm)!
例3:
(1)
解不等式A6Ax
答案
3,4,567,8
(2)
求证:
Am1AmmA:
(3)
优化设计第5页“经典例题”
中的例
1
(4)
规定c:
x(x(xm1)m!
其中xZ,m是正整数,
合数cm(m,n是正整数,且
m
n)的一种推广。
①求
c15
c01,这是组
组合数的两个性质:
cmcnm
cm
m1
Cn
cmi是否都能推广到
c>m(xR)的情
形,若能则给出证明,不能则说明理由;
(略,报纸讲过)
已知组合数cm是正整数,证明:
当
乙m是正整数时,cmZ
cm
m,有组合数cm的定义知cxm
xm有定义知cm0
0则x(xQ(XmQ知
m!
(1)m(xm1)(x1)(x)
m!
(xm1)0,即分子每个因数提取一个1得
(1)mcmxm
题型四、排列、组合应用问题
240
252
用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成(
用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成(用0、1、2、3、4、5则六个数字可组成(
有8张卡片分别标有数字1、2、3、4、5、
要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为
)个无重复数字且能被5整除的五位数216)个无重复数字的五位偶数312
)个无重复数字且能被3整除的三位数406、7、8,从中取出6张卡片排成3行2列,
5,则不同的排法共有()种1248
有限制条件的排列、组合应用问题常有以下方法可以求解,或可转化为以下几种模型进行求解。
(6)
从集合1,2,3,20中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数
7)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次。
甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“很遗憾,你和乙都没有得到冠军”,对乙说“你当然不会是最差的”。
从回答分析,5人的名次排列可能有()种不同情况?
54
1与2相邻,3与4
)个516
2.相邻问题捆绑法此类问题关键在于相邻则捆绑,捆绑后看成一个元素于剩余元素一起排列,但排列完之后一定要松绑(即捆在一起的元素内部也要排列)例5:
用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求相邻,5与6相邻,而7与8不相邻,则这样的八位数有(
这样处理有关排列
3.不相邻问题插空法根据题目的特点,首先排完某些元素,再用不相邻的元素进行插空,组合问题,往往能收到很好的效果
例6:
马路上有9盏路灯,为了节约用电,可以关掉其中的三盏灯,要求关掉的路灯不能相
(1)
邻,且不在马路的两头,那么不同的关灯方案共有(
)种?
C5310
有9个座位排成一排,若3人坐在座位上,
每人左右都有空座位,
则不同的坐法有()
种?
A5360
2位男生和3位女生共5位同学站成一排,两位女生相邻,则不同排法有(
)种?
若男生甲不站在两端,
24
3位女生中有且只有
集合1,2,,20的四元子集中,
任何两个元素的差的绝对值都不为
1,这样的四元子
集的个数为()个?
C147
2380
间接法(排除法)间接法是求解排列组合问题的常用方法。
带有限制条件的排列组合问题,对象较为复杂(正面情况较多),可用逆向思维,使用间接法求解。
即先不考虑约束条件,求出所有排列组合总数,然后减去不符合条件的排列|、组合种数。
例7:
(1)
4.
用直接法考虑
6人同时被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定,共有(
)种不同的
去法?
26163
以一个正方体的顶点为顶点的四面体有(
)个?
C846658
以一个正方体的顶点为端点可连成(
)对异面直线?
3(C8466)174
四面体的顶点和各棱的中点共
10点,在其中取出4个不共面的点有()中不同取法?
C140(4C6436)141
(5)n棱柱有()条对角线,有(
对角面?
C;c1
(n2n)n23n;
Cn2n呼
5.有固定顺序问题留后法
在有固定顺序的n个不同元素的排列中插入
m个不同元素,则这
n+m
个元素的不同
排列数为Amm。
因为这n+m个元素的排列需要占
n+m个位置,先在这
n+m
个不同位置中
选出m个位置把m个元素排进去,剩下n个元素有固定顺序,按原有顺序将这入余下的n个位置即可。
例&
(1)
n个元素放
某班新年联欢会原定的5个节目已经排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果
将这两个新节目插入原节目单中,那么不同的插法有(
)种?
A42
7名高二学生和5名高一学生排成一排,要求高一学生从左到右的高矮顺序不变,不
同的排法(
)种?
Ai72
隔板法
将n个相同元素放置m个不同位置一般采用隔板法,有两个模型:
一是位置不可空有
cm;种不同放法(将n个相同元素分成m堆,每堆至少一个元素,则需要m-1个板子。
这n个元素之间产生n-1个空当,在这n-1个空当中选m-1个空当把板子插进去即可);二是位
置不可空有Cmm1种不同放法(将n个相同元素分成m堆,需要m-1个板子,位置可空相
当于n个元素和m-1个板子在排队。
它们一共需要占n+m-1个位置,则在这不同的个位置中选m-1个位置把m-1个板子放进去,剩下n个位置放入n个元素即可)。
介绍几个可转化为隔板法模型的题型。
例9:
(1)
高二年级要从3个班级抽取10人参加数学竞赛,每班至少1人,一共有(
n+m-1
以下重点
)种不
共有()
种不同的分配方法?
Co
已知方程xyz
10,则这个方程的正整数解得个数有()个?
这个方程的
非负整数解的个数有
2
C12(把
10看成10个1,放到x,y,z三个
同的安排方法?
c2
某地有9所学校,现有先进教师名额11个,要求每所学校至少有一个名额,
不同位置。
)
已知两个实数集A
a1,a2,,a50,B
b25,若从A至UB的映射f使
得B中的每个元素都有原像,且
f(aj
f(a2)
f(a50),则这样的映射有
将不同元素放入不同位置属于排列问题仍然有两个模型位置不可空,做法先分堆后分配
位置可空,做法应用乘法原理,属于“元素在选位置”
球,有()种不同放法?
34;
C4A3
(2)某校安排5个班到4个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一
个班,不同的安排方法共有(
(3)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级上的人不区
分位置,则不同的站法共有(
)种?
737336;或A;C;A;336
以下是排列组合问题中典型的几个题
1•甲、乙、丙、丁4人各写了1张贺卡,放在一起,再各取有多少种不同取法?
(分步乘法原理解题3311
2•一个有十级台阶的楼梯,每步可上一级或两级,
1张不是自己所写的贺卡,共
9)
共有多少种上楼梯的方法?
C0q1q3q4q5
10C9C8C7C6C5
3•如图将一个矩形分成24个全等的矩形,则从A沿矩形的边走到
B的最短走法有多少种?
(A、B分别为大矩形的对角线端点)C14,
5人只会排版,4人只会印刷,还有现从这11人中选出4人排版,4人印刷,有多少种不同的选法?
5.将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中。
中标号为1、2的卡片放入同一信封,则不同放法共有()
2人既会排版又会印刷。
185
若每个信封放2张,其
种?
18(2010高考)
二项式的考察重点放在二项展开式的特殊项的求解以及系数的相关
问题。
求解思路利用通项及赋值法。
以下给几个2010年各省高考题以做练习:
置不可空)
12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,要求每个盒子中的小球数不小
于其编号数,则不同的放法有()种?
10
注意:
一是:
二是:
例10:
(1)4个不同小球随机放入3个不同的盒子,有()种不同放法?
若每个盒子至少一个
2.
3.(1
4.在(X
9
a的展开式中x3的系数是84,则a
x
6
展开式中,x3的系数等于(
x2)(x
16
-)的展开式中的常数项为(
x
冏)20展开式中,系数为有理数的项共有(
)项.6
(2010高考)
以下是二项式中几个比较典型的证明问题:
5.求证:
cn2C23C3
ncnn2n1
证明一、利用公式kC:
nCk
11转化求和
证明二、倒序求和法
注:
此题在优化设计16页能力提升第三小题。
由此题引申改编为另一题(在报纸第一章水
平测试B卷)
an1C;;n2n对任意nN都成
是否存在等差数列an,使a1C0a2C1asC2
立?
若存在,
求出数列
an;若不存在请说明理由。
6.若nN,
求证:
2^1
2n
C;n22n
证明一、22n
(1
1)2n
C2nC;n
C2n
C;nnC;n
又22n(11)2n
C2n
C;n
C2n
C<2C2nC;n
c2n1
C2n
且C2nC;n(r
0、1、2、
2n)
所以22n
2C2nC2n
2nC2n(当n1时取等)
22n所以——
2n
C2n
2
综上知——
2n
C2n22n
C2n
证明二、
2n!
2n(2n1)(2n2)21
2n(2n1)(2n3)31
对于
2n
n!
n!
n!
n!
2n2n12(n1)1
31
21
n!
2k1
k
12(n
2(k
1,2,3n)
C2n
1)n1
22n
31
21
2n
2n(2n1)(2n2)2
2n!
n!
n!
2n2n12(n1)1
2n(2n1)(2n3)31
n!
n!
n!
11
1
k12n12(n
1
k
1
n2"
2(k
1,2,3n)
1)
31
2n1
C;n
2n2n1
2^
2n
当n=1
时
2n
C2n
C;n
22n
对nN
2n
22n
2n
C2n22n
以上两种解法是类似这类题的主要证明思路,以供参考
有关答案后续,请同学们关注(若题目有明显错误请勿深究,原谅老
人家年事已高。
)希望同学们能把2010年第20题(概率题)在考试
之前做一下,最新的信息往往时出题老师关注的点。
下面再附上2008
—2009排列组合题。
(答案明天揭晓,今天没时间了)