人教版八年级数学下册复习题纲整理版.docx

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人教版八年级数学下册复习题纲整理版

新人教版八年级数学下册知识点总结

第十六章    分式

1.分式的定义：

如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：

分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：

分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）

（分式的值为0的条件是：

分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。

首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。

）

4.分式的基本性质：

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为（），其中A、B、C是整式

注意：

（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。

几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。

求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：

（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；

（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：

提示：

（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：

分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是：

（其中n是正整数）

注意：

（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：

±＝

法则：

异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：

±＝±＝

注意：

（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即；当n为正整数时，（

注意：

当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9.整数指数幂：

若m、n为正整数，a≠0，am÷am＋n＝＝

又因为am÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝

一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0），即a－n（a≠0）是an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体

整数。

整数指数幂可具有下列运算性质：

（m,n是整数）

（1）同底数的幂的乘法：

；

（2）幂的乘方：

;

（3）积的乘方：

；

（4）同底数的幂的除法：

（a≠0）；

（5）商的乘方：

；（b≠0）

规定：

a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.

10.分式方程：

含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母

分式方程的解法：

转化

（1）解分式方程的基本思想方法是：

分式方程－－－－－→整式方程.

（2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：

即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；

②解这个整式方程；

③检验：

把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0

的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：

①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！

解分式方程的步骤：

（1）能化简的先化简；

（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根．

分式方程检验方法：

将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

11.含有字母的分式方程的解法：

在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，

解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的

限制条件。

计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。

12.列分式方程解应用题的步骤是：

（1）审：

审清题意；

（2）找:

找出相等关系；（3）设：

设未知数；（4）列：

列出分式方程；（5）解：

解这个分式方程；（6）验：

既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；（7）答：

写出答案。

应用题有几种类型；基本公式是什么？

基本上有五种：

（1）行程问题基本公式：

路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．

（2）数字问题：

在数字问题中要掌握十进制数的表示法．

（3）工程问题基本公式：

工作量=工时×工效．

（4）顺水逆水问题v顺水=v静水+v水．v逆水=v静水-v水．

11.科学记数法：

把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0），1≤︱a︱＜10.

　第十七章    反比例函数

1.定义：

一般地，如果两个变量x、y之间的关系表示成y＝（k为常数，k≠0）的形式，那么称

y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数。

例如y＝;y＝-;y＝（m为常数）等。

提示：

（1）y＝也可以写作y=kx-1的形式或xy=k的形式（k为常数且k≠0）；

（2）反比例函数的自变量x不能为0；

（3）k=xy是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。

2.图像：

反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。

有两条对称轴：

直线y=x和y=-x。

对称中心是：

原点。

3.性质:

当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；

　　当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。

4.|k|的几何意义：

表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

知识点：

1·一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y＝（K为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数的自变量x不能为零。

2·反比例函数的图象及其画法

反比例函数图象的画法——描点法：

⑴列表——自变量取值应以0（但（x≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的

y的值；

⑵描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；

⑶连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的

趋势，但永远不与坐标轴相交。

反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的。

当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。

小注：

⑴这两支曲线通常称为双曲线。

⑵这两支曲线关于原点对称。

⑶反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。

反比例函数

k的符号

k>0

k<0

图象

（双曲线）

x、y

取值范围

x的取值范围x≠0

y的取值范围y≠0

x的取值范围x≠0

y的取值范围y≠0

位置

第一,三象限内

第二,四象限内

性质

（1）自变量x的取值范围为：

x≠0；

（2）函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。

（1）自变量x的取值范围为：

x≠0；

（2）函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。

增减性

每一象限内,y随x的增大而减小

每一象限内,y随x的增大而增大

渐近性

反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.

对称性

反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形.

提示:

（1）反比例函数y＝（k≠0），因为x≠0，y≠0,故图像不经过原点，双曲线是由两个分支组成的，一般不说

两个分支经过第