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优化模型实例

摘要

本文主要研究人力资源安排的最优化方案问题。

根据问题1中所提供的各专业人员结构及工资情况、不同项目和各种人员的收费标准、各项目对专业技术人员结构的要求，以及在问题2中各专业人员的四种组合情况分别建立了整数规划模型。

在此基础上运用LINGO对模型进行求解，得到数学系每天的最大直接收益为40106元，以及专业人员工作天数有差异时一星期内的最大收益196070元，同时满足了各项目对专业技术人员的数量和结构要求。

然后对各专业技术人员人数改变对收益的影响和最优解不变条件下项目薪酬的变化进行了灵敏度分析。

最后在适当简化模型的同时，对模型进行了改进和推广，使得该模型在解决实际问题时更具有可信性和可用性。

关键词：

人力资源安排整数规划灵敏度分析人员能力系数LINGO

问题重述

某学校数学系现有64名教师，不同职称结构的专业技术人员相应的日工资水平标准不同。

目前，该系承接有4个项目，其中2项项目实践，需要到现场监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是理论研究，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。

由于4个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的报酬标准不同。

为了保证项目质量，各项目中必须保证各职称人员结构符合客户的要求。

根据题目中的表3可以看到，4个项目地对技术人员总人数都有限制；各项目客户对教授的配备有不能少于一定数目的限制，也不能超过其最高要求；对于项目D,由于技术要求较高，人员配备必须是讲师以上，助教不能参加；而且，C、D项目需每人每天支付50元的管理费开支。

（1）、4个项目总共同时最多需要的人数是17+20+15+18=70，多于数学系现有人数64。

因此，要求通过建立合理的数学模型，来合理分配现有的技术力量，使数学系每天的直接收益最大，并且满足各项目对专业技术人员的要求。

（2）、以一个星期为周期，每个教授最多只能工作四天，每个副教授最多只能工作5天，讲师和助教每天都可以工作。

此时又如何合理的分配现有的技术力量，使数学系一个星期的直接收益最大，并且满足各项目对专业技术人员的要求

二问题分析

在本问题中，要求合理的分配人力资源，但是问题中含有复杂的约束条件，不仅要使得数学系每天的直接收益达到最大，而且要满足了各项目对专业技术人员的要求。

因此，本问题的关键在于两个方面：

（1）尽可能的把数学系的现有人员都安排到4个项目地，因为各专业技术人员的项目报酬都比其相应的工资要髙，故对每个专业人员均能获得直接收益；

（2）要对人员的分配做到最优，因为各专业技术人员的项目报酬标准各不相同，所以不同的分配方案的直接收益可能不同；

由于人员安排不可能是小数，因此本问题应该是一个整数规划问题，数学系的直接收益是目标函数，而对于约束条件主要涉及到以下几个方面：

（1）各项目对人员总数的约束，各项目的总人数不能超过规定的限制；

（2）各项目对人员结构的约束，比如，各项目对教授的配备不能少于一定的数目，也不能超过一定的的限度。

对于项目D,由于技术要求较髙，助教不能参加，各项目对其他职称人员也有不同的限制或要求；

（3）数学系的人员总数的约束，这主要表现在现有人数和工资两个方面，数学系现有人员总数64人，少于个项目最多需要的人数70人，而数学系要发放给专业人员工资，这就使得数学系的直接收益减少；

（4）管理费开支，C、D两项目要求每人每天有50元的管理费开支，所以分配在C、D两地的人员数越多，也将使得数学系的直接收益降低。

对于问题2中，由于在一个星期内，各人员的工作天数有限制，所以必须考虑到在工作天数的限制下，如何安排各专业人员在一星期內进行工作，使得数学系在一星期内的直接收益最大，同时满足问题1中的相应要求。

可以看出，要使得数学系的直接收益最大，就应该使得总项目薪酬最高，而管理费和工资开支最低，用公式可以表示为：

直接收益=项目所得，巒艮酬一人员工资一管理费开支

三模型假设与符号说明

模型假设

（1）假设各数学系的人员，无论是否安排到4各项目工作，都应发放工资；

（2）假设在一段时间内，各专业技术人员的收费和工资不发生变化；

（3）C、D两项目的除管理费外没有其他费用开支，并且人员不在C、D两地工作时不开支管理费；

（4）同一级别的专业技术人员的工作能力是没有差别的；

（5）在一段时间内，公司不会再增加和减少各专业技术人员的人数；

（6）在一星期这个周期内的某一天，不因某职称的专业技术人员不工作而使得各项目的人员结构的要求受到影响。

基本符号定义与说明

i=1,2,3,4分别表示教授、副教授、讲师和助教;

j=1,2,3,4——分别表示A,B,C,D四个项目所在地；

R一一数学系的直接收益，单位为元；

c,----表示第i人员对第丿•项目的收费，其矩阵形式记为C=（c,）,；

心----表示第i人员安排在第丿•项目的人数，勺为整数；

5一一表示第i人员的工资，单位元/天；

勺一--表示第i人员的现有数量；

5-表示第丿•项目限制的人数；

S--一表示项目地丿•对人员i的最低要求，其矩阵形式记为N=（sh；

叫表示项目地丿对人员j的最高要求，其矩阵形式记为M=（叫）§；

四模型建立及分析

根据对问题的分析和模型假设，综合考虑各因素的影响，分别对问题1和问题2建立整数规划模型。

模型一：

技术人员的工作天数无差别

在各专业技术人员工作天数相同和现有人员总数的情况下，同时要保证各项目地对总人数和人员结构的限制，以每天的直接收益最大为目标函数，建立模型。

数学系的直接收益=测所得总报酬一人员血一管理费开支

其中，项目所得总报酬可以表示为：

ff5勺，管理费为：

50±（心+石），

r-lJ-1在人员数不变动时，人员工资工①勺是不变的。

f-i

在目标函数下必须考虑如下的约束条件，

数学系总人数的约束：

£切<也，，=123,4各项目对总人数的约束：

f切5心，j=1,2,3,4

r-1

各项目对人员结构的约束：

®

目标函数Max&=工》5形一工也-50》（无3+无4）

r-1;-1J-1Z-1

.立©“，21,2,3,4

n.<

心取整数，,=123,4,j=1,2,34

模型二：

技术人员的工作天数不相同

在一个星期内，由于各专业技术人员的工作天数不同，所以在问题1的情况下还应考虑由于工作天数不同而使最优方案的改变。

对问题进行分析，可以得到下述结论。

以一个星期为一个周期，为了获得最大的直接收益，数学系的专业技术人员的工作天数都应该为最大。

事实上，对于每个专业技术人员，其项目所得报酬减去工资和管理费仍然能够获得直接收益，即勺-①-50>0。

如果某专业技术人员在一星期内的工作天数没有达到最大，即使是在C、D两项目地的管理费可以不开支，数学系同样要给该技术人员发放工资，而技术人员的工资均多于管理费，也即©-50>0,这样数学系的直接收益必然要减少。

所以，为了获得最大的直接收益，各专业技术人员的工作天数都应该达到最大。

因此，在一个星期内，每个教授应该工作4天，每个副教授应该工作5天，讲师和助教一周7天都要工作。

在上面结论的条件下，数学系人员的组合情况只有以下四种「教授.副教授、讲师和助教；教授、讲师和助教；副教授、讲师和助教；讲师和助教。

而且，在一星期内，至少有2天是在教授、副教授、讲师和助教的组合情况下工作，至少有1天是在副教授、讲师和助教的组合情况下工作。

对四种不同的组合情况分别进行建模求解。

情况1:

教授、副教授.讲师和助教都工作

这种情况下，由于各专业技术人员的构成与问题1完全相同，所以此时的模型与模型一完全相同，各人员的分配情况也相同。

情况2：

只有副教授.讲师和助教工作

在只有副教授、讲师和助教工作，教授不工作时，各项目对人员构成的要求要改变为下表所示的情况：

表1副教授、讲师和助教工作，教授不工作的人员结构

A

B

（、

D

副教授

$2

M2

M2

2〜8

讲师

M2

M2

M2

Ml

助教

Ml

$3

Ml

——

总计

W16

W18

三13

W17

（注：

其中的总人数要求要相应得减去对教授的最低人数要求）

此时，只需对模型一稍作修改即可得到该情况下的模型二，如下:

目标函数MaxR违正c’Xij-工必-50工（靭+和）

r-2;-1/-2

XXjj<叽tI=2,3,4J-1

土Wj=1,2,3,4

r-2

n9

%<8

g=0

勺取整数，i=2,3,4,j=1,2,3,4

其中和分别为项目D对副教授和助教的人员要求，乞电表示对于不工作的

/-]

教授仍然要发放工资；、、中的皆）、厝、"『分别为对应于此模型下的取值。

情况3：

只有教授、讲师和助教工作

与情况类似，在只有教授、讲师和助教工作，副教授不工作时，各项目对人

员构成的要求要改变为下表所示的情况:

表2教授、讲师和助教工作，副教授不工作的人员结构

A

B

（、

D

教授

1〜3

2〜5

=2

1〜2

讲师

$2

M2

M2

$1

助教

Ml

$3

——

总计

W16

W18

三1：

?

>

W16

（注：

其中的总人数要求要相应得减去对副教授的最低人数要求）

此时，只需对模型一稍作修改即可得到该情况下的模型三，如下:

目标函数Max鸟=工工略场-工％勺-50工（心+九）

/-Lrx2/-I/-]J-lJx2

亿，/=1,3,4

-1

ZWJj=1,23,4

nf

g=0

、切取整数，i=1,3,4,j=1,2,3,4

其中项目D对助教的人员要求，乞也表示对于不工作的副教授仍然要发放

/-]

工资；、、中的c『、兮、分别为对应于此模型下的取值。

情况4:

只有讲师和助教工作

在只有讲师和助教工作，教授和副教授不工作时，各项目对人员构成的要求为下表：

表3讲师和助教工作，副教授和教授不工作的人员结构

A

B

（、

D

讲师

22

$2

M2

助教

:

:

-i

2冷

三1

——

总计

W14

W16

<11

W15

（注：

其中的总人数要求要相应得减去对教授和副教授的最低人数要求）此时，只需对模型二或模型三稍作修改即可得到该情况下的模型四，如下：

目标函数Max&=工工4%-工必-50工（靭+兀4）

r-3；-11-3

4

・y

j=1,2,3,4

z-3

[nf

□=°

j勺取整数，i=3,4,j=1,2,3,4

其中为项目D对助教的人员要求，乞也表示对于不工作的教授和副教授仍

/-]

然要发放工资；、、中的c『、分别为对应于此模型下的取值。

五模型求解

模型一的求解

模型一中有约束条件ntj

目地丿•对人员「的最低要求，其值是表3中各项目对专业技术人员要求的最小值,即，

_i22r

2222

2221，

J31°L

叫表示项目地j对人员j的最高要求，其中〃?

]],“2，"4，加24,为相应人员要求的最大值，“3=2,〃?

44=0,其他值是表3口第/项目的总人数〃丿减去除〃仿之外第i人员最低人数之和的差值，比如叫1=〃1一"11-〃31-心1=17-1-2-1=13o

加"•的计算结果如下:

5

2

2

13

10

8

13

10

15

14

9

0

3

113

13

12

对模型运用LINGO编程进行求解，得到各项目分配人员结果如下表:

表4技术人员的工作天数无差别的分配情况

（单位：

人）

A

B

C

D

，人员总和

教授

3

5

2

2

12

副教授

11

2

10

2

25

讲师

2

5

2

8

17

助教

1

8

1

0

10

丿项目人员总和

17

20

15

12

—

j项目需求的上限

17

20

15

18

—

每天宜接总收誉人

40160元

从表4可以看出，数学系的各专业技术人员均完全分配到四个项目地，并且分配到四个项目地的教授人员恰好是各项目的最高人员要求。

对于分配到各个项目地的人员都达到了其对各技术人员结构的要求，而且各个项目地总人员数，除了D项目为12人，没有达到其上限18人外，其他3个项目的都达到了其上限人数要求。

这表明所建立的模型是合理的，数学系的人力资源做到了合理使用，并且满足了客户的要求。

模型二的求解:

模型中只有副教授、讲师和助教工作，教授不工作，所以i的取值为i=2.3Ao对于不工作的教授按照要求仍然要发放工资，所以在目标函数中仍然要除去教授的工资。

对模型用LINGO编程进行求解，得到各项目分配人员结果如下：

表5只有副教授.讲师和助教工作的人员分配情况

（单位：

人）

A

B

C

D

j人员总和

副教授

11

2

10

2

25

讲师

2

8

2

5

17

助教

1

8

1

（）

10

丿•项目人员总和

14

18

13

7

—

丿•项目需求的上喂

16

18

13

17

—

每天直接总收益R

25410元

从表5可以看出，四个项目地分配讲师的人数由模型一的B地、D地的5人和8人变化为8人和5人，其他人员的分配情况与模型一的相同，只是由于在D地要支付每人每天50元管理费的缘故。

另外，与模型一不同，在表4中只有匕C两项目地分配的人员总数达到了其上限值。

模型三的求解

模型中只有教授、讲师和助教工作，副教授不工作，所以，的取值为/=1,3,4o

对于不工作的副教授按照要求仍然要发放工资，所以在目标函数中仍然要除去副教授的工资。

对模型用LINGO编程进行求解，得到各项目分配人员结果如下：

表6只有教授.讲师和助教工作的人员分配情况

（单位：

人）

A

B

C

D

j人员总和

教授

3

5

2

2

12

讲师

2

5

2

8

17

助教

1

8

1

0

10

j项目人员总和

6

18

5

10

—

丿•项目需求的上眼

16

18

13

16

—

每天直接总收益

19760元

从表6可以看岀，四个项目地分配人员的与模型一的相同，与模型一不同的只是在表6中只有B项目地分配的人员总数达到了其上限值。

模型四的求解

在这里，只有讲师和助教工作，，的取值只能为i=3,4,对于不工作的教授和副教授按照要求仍然要发放工资，所以在目标函数中仍然要除去教授和副教授的工资。

对模型用LINGO编程进行求解，得到各项目分配人员结果如下：

表7只有讲师和助教工作的人员分配情况

（单位：

人）

A

B

C

D

i人员总和

讲师

2

8

2

5

17

助教

1

8

1

0

10

J项目人员总和

3

16

3

5

—

丿•项目需求的上限

14

16

11

15

—

每天直接总收益

5010元

从表7可以看出，除了教授和副教授不工作外，四个项目地分配人员的情况与模型二的相同，只是此情况下只有B项目地分配的人员总数达到了其上限值。

根据以上结果，四种情况下的数学系每天直接收益分别为40160元、25410元.19760元和5010元。

由于教授在一星期内要工作四天，而在情况1下工作时直接收益最髙，故教授只能工作在教授、副教授、讲师和助教的组合之下。

另外，至少有1天是在情况2下工作，即副教授、讲师和助教的组合情况，此时副教授的工作天数以达到了5天，所以剩下的两天只能是讲师和助教的组合情况，即情况4。

可以看岀，在以一星期为周期时，为了使数学系的直接收益达到最大，应该安排4天在情况1下工作，1天在情况2下工作，2天在情况4下工作。

这样，数学系在一星期内的直接收益为：

x40160+25410+2x5010=196070元

平均每天可得到直接收益为28010元，比模型一的每天直接收益40160元要少12150元。

对于具体的工作方案可以按照实际情况灵活安排，比如在一星期内，周一到

周四所有的专业技术人员按照表4分配到四个项目地工作，周五教授不工作，周六到周七副教授也不工作，并且从周五开始要从D项目地抽调3位技术人员到B项目地工作。

六灵敏度分析

由于模型中的数据不是绝对不变的，因此有必要分析以下这些数据发生波动时，对目前的最优解和最优值会产生什么影响，即灵敏度分析。

模型以及参数的敏感性反映了各种因素影响结果的显著程度。

在本题中对模型结果产生影响的因素很多，故选取主要的参数进行灵敏度分析，特别地，这里只对模型一进行灵敏度分析，而对于模型二和三可进行相似的灵敏度分析。

各专业技术人员人数的改变对收益的影响

在LINGO中对每个专业技术人员的人数逐个的在一5到10之间增加或减少,分析人员变动对数学系收益的影响。

其变化趋势可以从下图中明显地看出来。

直接收益陆人贞増减地变化

图直接收益随人员增减的变化趋势

由图可以看出，模型的结果随变量的增加程线性变化，模型的稳定性较好。

在现有的教授的情况下，数学系的直接收益最大，而无论是增加和减少教授人数都会使得数学系收益减少；副教授、讲师和助教在增加不超过3人时，收益是一直增加的，而大于3人时，对于副教授其收益不变，对于讲师和助教其收益均有所减少。

所以，在其他条件不变的情况下，该数学系可以考虑在各增加3名副教授、讲师和助教的人数，以提髙其直接收益。

最优解不变条件下项目薪酬标准的变化范围

在实际中由于各项目的薪酬标准会不断变化，导致了目标函数中C的变化，所以当C在一定范围变化，而最优解不变时，最优解则具有可信性，模型也有更好的应用价值。

在LINGO中对整数规划没有提供灵敏度分析的功能，但是在去掉模型中切的整数约束时，发现模型的最优解并没有改变，所以可以考虑去掉整数约束以进行相应灵敏度分析，其输出结果见附录5,其中与Current

Coefficient对应的AllowableIncrease和AllowableDecrease给出了最优解不变的条件下目标函数系数（即，项目薪酬标准）的允许变化范围，按照CurrentRHS—AllowableDecrease

表6最优解不变时项目薪酬的变化范围单位元

系数C

允许的下限

允许的上限

系数c

允许的下限

允许的上限

C11

50

inf

C31

-inf

700

C12

50

inf

C32

700

800

C13

-inf

2400

C33

-inf

750

C14

0

inf

C34

550

650

C21

750

1750

C41

-inf

600

C22

-inf

800

C42

500

inf

C23

750

2000

C43

-inf

650

C24

750

800

C44

-inf

550

只要四个项目地的薪酬标准在上表的变化范围内，可以不改变模型，上述模型仍然是最优的，从而可以减少时间和精力，提高人员分配的效率。

七模型的简化、评价与推广

模型简化

在模型一中，每个项目都有最低要求，故可以先按照其最低要求对人员进行预分配,即按照矩阵N=gj先将勺的值取为X⑹=（『\5=川，此时可以计算得ff5曙_±”；。

>_50乞（切+冷）=15760元，其中曙=（6,&7,5），此时r-1；-1/・1r-1

数学系还剩下6名教授，而项目的最高要求恰好为6名，故可以先把教授分配完,此六名教授的直接收益为5950元，而4个项目地分配教授分别为3,5,2,2。

故可以对模型一进行简化，得到简化的模型如下：

目标函数Max尺=工工勺召-工勺仇-50》（无3+g）

r-2j-l*f-2/-2

.Vx..

/-1

罗，丿T,2,3,4

Xjj5，i=2,3,4,j=1,2,3,4

七取整数，i=2,3,4,j=1,2,3,4

其中，曙=（17,10,5）,df=（9,8,8,13）

9886

98813

9880

模型推广

在实际问题中，由于各级别专业的技术人员的工作能力是有区别，即使是同一级别的专业人员其工作能力也不可能完全相同，所以各个项目客户必然对不同能力的专业人员的薪酬标准有所区别，而不仅仅是由项目的难易程度来决定人员的薪酬标准。

因此，可以考虑定义一个人员的能力系数指标，以便来确定人员的薪酬标准。

人员能力系数心=适宜度勺x熟练度爲

其中，适宜度％指各专业技术人员对不同难易程度项目的适应性的大小，

其取值范围在［0,1］之间，熟练度角是指各人员对所从事的项目经验的髙低，解

决问题的熟练程度的度量，其取值也在［0J］之间。

适宜度a和熟练度0可以由项目客户的专家与数学系负责人之间确定。

然后，将各个客户拟定的各项目薪酬标准勺与10心相乘，即可得到更合理地薪酬标准內，即几=10心勺。

将內替换掉以上模型中的勺即可得到相应的模型，并进行求解分析。

当不同的数学系承担某项目时，只需要评测相应的人员能力系数知即可，从而使得模型应用更广泛、操作更简洁。

模型评价

模型的优点：

（1）本文建立的最优模型与实际紧密联系，结合实际情况对问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性较强，而且模型简单易行，有可靠的依据。

（2）问题2中，对于得到的最优方案，如何安排人员工作可以根据实际情况做出决定，灵活方便，易于施行，又不会影响模型的使用。

（3）针对重要的因素进行了灵敏度分析，为合理分配人员，提高人力资源的利用率有很好的参考价值。

模型的缺点:

（1）在灵敏度分析中，对模型中最优值的影响因素只是从单个方面的变化因素进行考虑的，不是十分的全面。

（2）在模型建立上，只是从规划的方面进行讨论和求解，对于其他方面只是进行简单的说明，而没有实际的求解过程。

参考文献

[1]吴建国主编，数学建模案例精编，北京：

中国水利水电出版社，2005.

[2]袁新生主编，LINGO和Excel在数学建模中的应用，北京：

科学出版社，2007.

[3]姜启源谢金星叶俊编，数学模型（第三版），北京：

髙等教育出版社,2003.

[4]陶学明应俊郑洁，但琦，人力资源安排