7格与布尔代数.docx
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7格与布尔代数
布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的，
格又是从偏序集引出的。
所以我们先回顾一下偏序集。
是偏序集:
≤是A上自反,反对称和传递关系（偏序）.
偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来.
例如A={1,2,3,6,12,24,36},≤是A上整除关系
其Hasse图如图所示，B⊆AB≠Φ
1.B的极小元与极大元
y是B的极小元⇔∃y∈B∧⌝∃x（x∈B∧x≤y）
y是B的极大元⇔∃y∈B∧⌝∃x（x∈B∧y≤x）
24。
36。
12。
６。
２。
３。
例如{2,3,6}的极小元:
2,3极大元:
6１。
1
2.B的最小元与最大元
y是B的最小元⇔∃y∈B∧∀x（x∈B→y≤x）
y是B的最大元⇔∃y∈B∧∀x（x∈B→x≤y）
{2,3,6}的最小元:
无最大元:
6
B如果有最小元（最大元）,则是唯一的。
3.B的下界与上界
y是B的下界⇔∃y∈A∧∀x（x∈B→y≤x）
y是B的上界⇔∃y∈A∧∀x（x∈B→x≤y）
{2,3,6}的下界:
1上界:
6,12,24,36
4.B的最大下界（下确界）与最小上界（上确界）
24。
36。
12。
６。
２。
３。
１。
y是B的最大下界（下确界）：
B的所有下界x,有x≤y。
y是B的最小上界（上确界）：
B的所有上界x,有y≤x。
{2,3,6}下确界:
1上确界:
6（B若有下（上）确界，则唯一）
2
7-1格（Lattice）
一.基本概念
1.格的定义
是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界，则称是格。
右图的三个偏序
集,哪个是格？
24。
36。
30。
2。
12。
不是格，
6。
10。
６。
3。
１5。
1。
4。
因为{24,36}
无最小上界。
２。
３。
１。
2。
5。
3。
１。
和
是格。
再看下面三个偏序集，哪个是格？
3
a¡
b¡¡c
1¡
2¡¡3
a¡
b¡¡c
d4¡¡5
e¡¡6d¡¡e
这三个偏序集，都不是格，第一个与第三个是同构的。
因为d和e无下界，也无最小上界；b,c虽有下界，但无最大下界。
第二个图：
2,3无最大下界，4,5无最小上界。
2.平凡格：
所有全序都是格，称之为平凡格。
因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y,要么y≤x。
如果x≤y，则{x,y}的最大下界为x，最小上界为y。
如果y≤x，则{x,y}的最大下界为y，最小上界为x。
即这{x,y}的最大下界为较小元素，最小上界为较大元素.
4
3.
由格诱导的代数系统
设是格,在A上定义二元运算∨和∧为:
∀a,b∈Aa∨b=LUB{a,b},{a,b}的最小上界.LeastUpperBounda∧b=GLB{a,b},{a,b}的最大下界.GreatestLowerBound称是由格诱导的代数系统.（∨-并,∧-交）
例如右边的格中a∧b=ba∨b=ab∧c=e
4.子格：
设是格,是由
诱导的代数系统。
B是A的非空子
¡
a
b¡¡c¡d
e
集，如果∧和∨在B
上封闭，则称
是的子格。
是的
¡
a
b¡¡cb¡
¡d
e¡¡fe¡
g
¡
a
¡c
b¡¡c
¡f¡
gd
子格。
而不是.
因b∧c=d∉B,（判定子格：
看去掉的元素是否影响封闭）5
二.格的对偶原理
设是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
所以也是格，的Hasse图是将的
Hasse图颠倒180º即可。
格的对偶原理：
设P是对任何格都为真的命题，如果将
P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’,称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。
例如：
P:
a∧b≤aP’:
a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a{a,b}的最小上界≥a
三.格的性质
是由格诱导的代数系统。
∀a,b,c,d∈A
1.a≤a∨bb≤a∨ba∧b≤aa∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
6
2.如果a≤b，c≤d，则a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。
证明：
如果a≤b，又b≤b∨d,由传递性得a≤b∨d,
类似由c≤d，d≤b∨d，由传递性得c≤b∨d,
这说明b∨d是{a,c}的上界，而a∨c是{a,c}的最小上界，
所以a∨c≤b∨d。
类似可证a∧c≤b∧d。
推论：
在一个格中，任何a,b,c∈A，如果b≤c，则
a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。
此性质称为格的保序性。
3.∨和∧都满足交换律。
即
a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
7
4.∨和∧都满足幂等律。
即a∨a=aa∧a=a
证明：
由性质1得a≤a∨a（再证a∨a≤a）
又≤自反得a≤a,这说明a是{a}的上界，而a∨a是{a}的最小上界，所以a∨a≤a。
最后由反对称得a∨a=a。
由对偶原理得a∧a=a
5.∨和∧都满足结合律。
即
（a∨b）∨c=a∨（b∨c），（a∧b）∧c=a∧（b∧c）。
证明：
⑴先证明（a∨b）∨c≤a∨（b∨c）
∵a≤a∨（b∨c）b≤b∨c≤a∨（b∨c）
∴（a∨b）≤a∨（b∨c）∵c≤b∨c≤a∨（b∨c）
∴（a∨b）∨c≤a∨（b∨c）
⑵同理可证a∨（b∨c）≤（a∨b）∨c
最后由反对称得（a∨b）∨c=a∨（b∨c）
类似可证（a∧b）∧c=a∧（b∧c）。
8
6.∨和∧都满足吸收律。
即
a∨（a∧b）=a，a∧（a∨b）=a。
证明：
⑴显然有a≤a∨（a∧b）
⑵.再证a∨（a∧b）≤a
∵a≤aa∧b≤a∴a∨（a∧b）≤a
最后由≤反对称得a∨（a∧b）=a，类似可证a∧（a∨b）=a。
7.是代数系统，如果∨和∧是满足吸收律的二元运算，则∨和∧必满足幂等律。
证明：
任取a,b∈A∵∨和∧是满足吸收律。
∴有
a∨（a∧b）=a------⑴a∧（a∨b）=a-------⑵。
由于上式中的b是任意的，可以令b=a∨b并代入⑴式得
a∨（a∧（a∨b））=a由⑵式得a∨a=a
同理可证a∧a=a9
8.
∨和∧不满足分配律。
但有分配不等式：
¡a
a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c），
¡
（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）。
b¡
我们先看右图的例子：
¡d
¡c
d∨（b∧e）=d∨c=d
（d∨b）∧（d∨e）=a∧e=ed≤e即
d∨（b∧e）≤（d∨b）∧（d∨e）
证明：
⑴∵a≤a∨ba≤a∨c∴a≤（a∨b）∧（a∨c）
∵b∧c≤b≤a∨bb∧c≤c≤a∨c
∴b∧c≤（a∨b）∧（a∨c）
于是有a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）
由对偶原理得a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）。
即（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）。
10
*9.a≤b⇔a∨b=b⇔a∧b=a
证明：
⑴教材P239已证a≤b⇔a∧b=a这里从略。
⑵下面证明a≤b⇔a∨b=b
先证a≤b⇒a∨b=b
设a≤b，又b≤b∴a∨b≤b
又∵b≤a∨b由≤反对称得a∨b=b
再证a∨b=b⇒a≤b
已知a∨b=b∵a≤a∨b∴a≤b。
最后得a≤b⇔a∨b=b
这是个很重要的定理，在以后经常用到此结论。
11
四.格的同态与同构
1.定义：
设和是两个格，由它们诱导的代数系统分别是和，如果存在映射f:
A1→A2使得对任何a,b∈A1,
f（a∨1b）=f（a）∨2f（b）
f（a∧1b）=f（a）∧2f（b）
则称f是到的同态映射。
也称是的同态像。
如果f是双射的，就称f是到，的格同构，也称格和同构。
12
例如,A={1,2,3,6},≤是A上整除关系。
,E={a,b}
它们诱导的代数系统分别是和
其中∨和∧分别是求两个数的最小公倍数和最大公约数.
¡6
2¡¡3
¡
1
{a}¡
¡{a,b}
¡{b}
¡
Φ
A→f
6¡
3¡
2¡
1¡
P（E）
¡{a,b}
¡{b}
¡{a}
¡Φ
f（2∨3）=f（6）={a,b}f
（2）∪f（3）={a}∪{b}={a,b}
f（2∧3）=f
（1）=Φf
（2）∩f（3）={a}∩{b}=Φ
f（2∨6）=f（6）={a,b}f
（2）∪f（6）={a}∪{a,b}={a,b}
f（2∧6）=f
（2）={a}f
（2）∩f（6）={a}∩{a,b}={a}
可见它们同构。
格同构，它们的图的形状一定相同。
13
2.格同态的保序性
定理：
设f是格到的同态映射，则对任何a,b∈A1,如果a≤1b,则f（a）≤2f（b）.
证明：
令和是格和
诱导的代数系统，任取a,b∈A1,设a≤1b,则a∧1b=af（a∧1b）=f（a）而f（a∧1b）=f（a）∧2f（b），所以f（a）∧2f（b）=f（a），所以f（a）≤2f（b）.
3.格同构的保序性
定理：
设双射f是格到的同构映射，当且仅当对任何a,b∈A1,若a≤1b⇔f（a）≤2f（b）.
证明：
令和是格和
诱导的代数系统，
14
1）.充分性：
已知，任取a,b∈A1,若a≤1b⇔f（a）≤2f（b）.
（应证出f（a∧1b）=f（a）∧2f（b）f（a∨1b）=f（a）∨2f（b））
a）先证f（a∧1b）=f（a）∧2f（b）
令a∧1b=c∴c≤1ac≤1b由已知得f（c）≤2f（a）和
f（c）≤2f（b）.所以f（c）≤2f（a）∧2f（b）---------⑴
再证f（a）∧2f（b）≤2f（c）：
由于f（a）,f（b）∈A2,又∧2的封闭性得f（a）∧2f（b）∈A2,又由f:
A1→A2是满射，必有d∈A1,使得f（d）=f（a）∧2f（b）所以f（d）≤2f（a）f（d）≤2f（b）
由已知条件得：
d≤1ad≤1b∴d≤1a∧1b=cd≤1c
f（d）≤2f（c）即f（a）∧2f（b）≤2f（c）--------⑵
由⑴⑵得f（c）=f（a）∧2f（b）
即f（a∧1b）=f（a）∧2f（b）。
b）类似可证f（a∨1b）=f（a）∨2f（b）所以f是它们的同构映射
2）.必要性：
已知f是格到的同构映射，
（证出：
任取a,b∈A1,若a≤1b⇔f（a）≤2f（b））
a）先证a≤1b⇒f（a）≤2f（b）
任取a,b∈A1,设a≤1b，由格同态保序性得f（a）≤2f（b）
b）再证f（a）≤2f（b）⇒a≤1b
设f（a）≤2f（b），∴f（a）=f（a）∧2f（b）=f（a∧1b）
∵f是入射，∴a=a∧1b所以a≤1b由a）,b）最后得a≤1b⇔f（a）≤2f（b）。
定理证毕。
由格的同构得：
具有一、二、三个元素的格分别同构于含有一、二、
¡a
三个元素的链。
¡a
¡a¡b
¡
¡
16
具有四个元素的格分别同构于下面两种格形式之一：
¡a¡a
¡b
b¡¡c
¡
¡d¡d
具有五个元素的格分别同构于下面五种格形式之一：
¡a
¡a
¡b
¡cb¡
¡
a
¡c¡db¡
¡
a
¡a
b¡¡c¡
¡
cd
¡d
¡¡e
¡e
¡d¡d¡¡
¡e¡e
作业P242
（1）
（2）（4）（7）
17
7-2几个特殊格
一.分配格
前面我们介绍一般的格，∧和∨只满足分配不等式。
a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c），
（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）。
下面介绍的是满足分配律的格----分配格。
1.定义：
是由格诱导的代数系统。
如果
对∀a,b,c∈A，有
a∨（b∧c）=（a∨b）∧（a∨c），
a∧（b∨c）=（a∧b）∨（a∧c）
则称是分配格。
例是分配格（诱导的代数系统是）。
18
2.二个重要的五元素非分配格：
2∧（3∨5）=2∧30=2（2∧3）∨（2∧5）=1∨1=12¡
c∧（b∨d）=c∧a=c（c∧b）∨（c∧d）=e∨d=d可见它们都不是分配格。
¡30¡a
¡c
¡3¡5b¡
¡d
¡1¡e
3.分配格的判定：
见书P245
一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何子格与上述两个五元素非分配格之一同构。
用此方法可以判定下面两个格不是分配格：
¡6
3¡¡4¡5
¡
a
b¡¡c
d
¡2e¡¡f
¡1¡g
19
4.分配格的性质
1）.定理7-2.1.在格中，如果∧对∨可分配，则∨对∧也
可分配。
反之亦然。
证明：
设是由格诱导的代数系统。
且∧对∨可分配。
任取a,b,c∈A，a∧（b∨c）=（a∧b）∨（a∧c）而（a∨b）∧（a∨c）=（（a∨b）∧a）∨（（a∨b）∧c）（分配）
=a∨（（a∨b）∧c）=a∨（（a∧c）∨（b∧c））（吸收、分配）
=（a∨（a∧c））∨（b∧c）（结合）
=a∨（b∧c）（吸收）
同理可证:
如果∨对∧可分配，则∧对∨也可分配.
2）.定理7-2.2.所有链均为分配格。
证明：
显然任何链都不会含有与五元素非分配格之一同
构的子格，所以链必是分配格。
20
3）.定理7-2.3.设是分配格，对任何a,b,c∈A,如果
有a∧b=a∧c及a∨b=a∨c则必有b=c.
证明：
任取a,b,c∈A,设有a∧b=a∧c及a∨b=a∨cb=b∨（a∧b）（吸收律）
=b∨（a∧c）（代换）
=（b∨a）∧（b∨c）（分配）
=（a∨b）∧（b∨c）（交换）
=（a∨c）∧（b∨c）（代换）
=（a∧b）∨c（分配）
=（a∧c）∨c（代换）
=c（吸收律）
21
二.有界格
1.格的全上界与全下界
1）.全上界:
设是格，如果存在元素a∈A
¡1
对任何x∈A,x≤a,则称a是格的全上界,记作1。
（即是A的最大元）
a¡¡b¡c
定理7-2.4一个格如果有全上界，则是唯一的。
¡
（我们已证明过，最大元如果有，则是唯一的）
2）.全下界:
设是格，如果存在元素a∈A¡1
对任何x∈A,a≤x,则称a是格的全下界,记作0。
¡c
（即是A的最小元）¡0
定理7-2.5一个格如果有全下界，则是唯一的。
从格的图形看：
全上界1，就是图的最上边元素（只一个）。
全下界0，就是图的最下边元素（只一个）。
22
2.有界格定义：
如果一个格存在全上界1与全下界0，则
称此格为有界格。
设是有界格，则对任何a∈A,有因为a≤1,∴a∧1=aa∨1=1
0≤a∴a∧0=0a∨0=a
由此看出：
对于∧来说1是么元，0是零元。
对于∨来说0是么元，1是零元。
思考题：
是否所有格都是有界格？
所有有限个元素的格都是有界格。
而无限个元素的格可能是无界格。
例如就是既无全上界也无全下界。
23
三.有补格
回顾：
集合的补集，
若A∪B=EA∩B=Φ则~A=B，~B=A
如E={a,b}~E=Φ~Φ=E
~{a}={b},~{b}={a}
1.元素的补元：
¡
{a,b}
{a}¡¡{b}
¡Φ
设是个有界格，a∈A,如果存在b∈A,使得
a∨b=1a∧b=0则称a与b互为补元。
例：
右边的格中a的补元：
c,e
b的补元：
无c的补元：
a,d
d的补元：
ce的补元：
a
0的补元：
11的补元：
0
¡
1
a¡b¡¡c
d¡¡e
¡0
24
2.
有补格的定义：
一个有界格中，如果每个元素都有补元，则称之为有
补格。
下述有界格中，哪些是有补格？
¡{a,b}
{a}
¡¡{b}a¡
¡Φ
¡
1
¡b¡c
¡0
¡
1
a¡b¡¡c
d¡¡e
¡0
（1）
（2）（3）（4）
上述有补格中，有些元素的补元不唯一，如
（2）中的b,那么什么样的有补格元素的补元唯一呢？
－是有界分配格。
请看下面定理：
25
定理7－2.6在有界分配格中，如果元素有补元，则补元
是唯一的。
证明：
设是有界分配格，任取a∈A,假设a有两个补元b和c，则
a∧b=0a∨b=1a∧c=0a∨c=1
于是有，a∧b=a∧ca∨b=a∨c
由分配格的定理7－2.3得b=c∴a的补元是唯一的。
四.布尔格
如果一个格既是分配格又是有补格，则称之为布尔格。
布尔格中每个元素都有唯一补元，元素a的补元记作ā。
显然是布尔格。
下面介绍由布尔格诱导的代数系统－－布尔代数。
作业P248
（2）（5）P252
（1）（3）（6）
26
7－3布尔代数BooleanAlgebra
一.定义
由布尔格诱导的代数系统称之为布尔代数。
其中¯是“取补元”运算。
如果B是有限集合，则称它是有限布尔代数。
¡T
例如：
令B＝{F,T}，∧表示合取，∨表示析取，
¡
⌝表示否定,就是个布尔代数。
如上图所示。
也是个布尔代数。
如下图所示。
¡
{a,b}
{a}¡¡{b}
¡Φ
27
二.布尔代数的性质
设布尔代数,任意x,y,z∈B,有
⑴交换律x∨y=y∨xx∧y=y∧x
⑵结合律x∨（y∨z）=（x∨y）∨zx∧（y∧z）=（x∧y）∧z
⑶幂等律x∨x=xx∧x=x
⑷吸收律x∨（x∧y）=xx∨（x∧y）=x
⑸分配律x∨（y∧z）=（x∨y）∧（x∨z）
x∧（y∨z）=（x∧y）∨（x∧z）
⑹同一律x∨0=xx∧1=x
⑺零律x∨1=1x∧0=0
⑻互补律x∨x=1x∧x=0
⑼对合律
x=x
⑽底－摩根定律
x∨y=
x∧y
x∧y=x∨y
28
上述性质都可以由格，分配格,有界格，布尔格得到。
下
面只证明底－摩根定律。
x∨y=
x
∧y
x∧y=x∨y
（x∨
y）∨（x∧
y）=
（（x∨
y）∨
x）∧（（x∨
y）∨y）
=（（y∨
x）
∨
x）∧（x∨（y∨
y））
=（y
∨（x∨
x））∧（x∨1）
=（y∨1）∧1=1∧1=1
（x∨
y）
∧（x∧
y）=
（x∧（x∧
y））∨（y
∧（x∧
y））
=（（x∧
x）
∧
y））∨（y
∧（y∧
x））
=（0∧
y））∨
（（y∧
y）
∧
x））
=0∨（0∧
x））
=0∨0=0
所以x∧y是
x∨y的补元，类似可证另一个。
三.布尔代数的同构
1.定义：
令和是两个布尔代数，如果存在双射f:
B1→B2,对任何a,b∈B1,有
f（a∨1b）=f（a）∨2f（b）
f（a∧1b）=f（a）∧2f（b）
f（a
）=~f（a）
则称f是到的同构映射。
与格同构比较，多了一个关于补运算的同构关系等式。
为了引出有限布尔代数的元素个数的定理，下面介绍
原子的概念。
30
2.原子
定义1:
设是布尔代数,元素a∈B,a≠0,对任何元素x∈B,有x∧a=a,或x∧a=0,则称a是原子。
定义2:
是布尔格,在的哈斯图中称盖住全
下界0的元素为原子。
例如：
1。
¡1
a¡¡b
1。
a。
b。
c。
e。
0。
d。
f。
¡0
0。
31
原子的判定：
定理7-3.1设是布尔代数，a∈B,且a≠0,则a是原子的充分且必要条件是对任何y∈B，如果y≤a,则
y=0或y=a。
证明:
必要性.设a是原子,且对任何y∈B，有y≤a（证出
y=0或y=a）,
由原子定义得y∧a=a,或y∧a=0,而由y≤a得y∧a=y,
所以有y=0或y=a.
充分性.已知对任何y∈B，如果y≤a,则y=0或y=a。
（证出
a是原子,即证出对任何x∈B有x∧a=a,或x∧a=0,）,
任取x∈B,令y=x∧a,因x∧a≤a,所以y≤a,由已知条
件得y=0或y=a,即有x∧a=a,或x∧a=0,所以a是原子.
32
定理7-3.2设a,b是布尔代数中的原子，如果
a≠b,则a∧b=0,（如果a∧b≠0,则a=b）
证明:
设a和b是B中原子,（由原子定义得:
对任何x∈B有
x∧a=a,或x∧a=0,）
因为a是原子，而b∈B，所以
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