那么ai=aiqaro由于at和aiq都属于H，有
ar=a-iqatCH
于是由假设r=0,at=（ai）q而H=（a）
5.找出模12的剩余类加群的所有子群。
解：
模12的剩余类加群G是一个阶为12的循环群。
因此由题4,G的子群都是循环群，容易看出：
（[0]）=[0]（[1]）=（[5]）=（[7]）=（[11]）=G
（[2]）=（[10]）={[2],[4],[6],[8],[10],[0]}
（[3]）=（[9]）={[3],[6],[9],[0]}
（[4]）=（[8]）={[4],[8],[0]}
（[6]）={[6],[0]}
是G的所有子群。
6•假定H是群G的一个非空子集并且H的每一个元的
阶都有限。
证明，H作成一个子集的充要条件是：
a,bCH=abCH
解：
由本节定理1，条件显然是必要的。
要证明条件也是充分的，由同一定理，只须证明：
a€H=a-1CH
设aCH，由于H的每一元的阶都有限，所以a的阶是某
一正整数n而a-1=an-1.于是由所给条件得a-1€H。
§9.子群的陪集
1.证明，阶是素数的群一定是循环群。
解:
设群G的阶为素数p,在G中取一元a龙,则a生成G的一个循环子群（a）。
设（a）的阶为n,那么nP.
但由定理2,n|p,所以n=p而G=（a）是一个循环群。
2.证明，阶是pm的群（p是素数，m羽）一定包含一个阶是p的子群。
解：
设群G的阶是pm。
在G中取一元a龙，那么由定理3,a的阶n|pm.但n为,所以n二p\t羽,若t=1,那么d的阶为p,（a）是一个阶
t1
为p的子群。
若t>1,可取b=ap■,那么b的阶为p,而（b）是一个阶为
p的子群。
3•假定a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定
a的阶是m,b的阶是n,并且（m,n）=1.证明：
ab的阶是mn。
解：
设ab的阶是k。
由ab二ba,得（ab）mn=amnbmn=e
因此k|mn。
我们反过来证明,mn|k。
由e=（ab）kn=aknbkn=akn以及a的阶为m，得m|kn,但（m,n）=1,所以m|k•同理n|k。
又由
（m,n）=1，得mn|k.这样，ab的阶k=mn。
4•假定〜是一个群G的元间的一个等价关系，并且对于G的任意元三个元a，x，x'来说
ax〜ax'=x〜x'
证明，与G的单位元e等价的元所作成的集合是G的一个子群。
解：
令H是与e等价的元所作成的集合。
由于e〜e，所以H不空。
设a,bCH，那么a〜e,b〜e,b〜e可写成a-1ab〜a-1a
因此由题设，ab〜a〜e而abCH。
a〜e可写成ae〜aa-1，因此由题设，e〜a-1而a-1CH。
这样，H作成G的一个子群。
5.我们直接下右陪集Ha的定义如下：
Ha刚好包含G的可以写成ha（h€H）形式的元。
由这个定义推出以下事实：
G的每一
个元属于而且只属于一个右陪集。
解：
取任意元a€g，由于H是一个子群，单位元eCH,因此
a=ea田a这就是说，元a属于右陪集Ha。
设a9Hb,a田c,那么a二二h2C（hi,h2田）
由此得，b=h；h2c，而Hb的任意元hb二hh；h2c€Hc
因而HbHc，同样可证HcHb，这样Hb=Hc而a只能属于—个右陪集。
6•若我们把同构的群看成一样的，一共只存在两个阶是4的群,它们都是交换群。
解：
先给出两个阶是4的群。
模4的剩余类加群G1={[0]，[1]，[2]，[3]}.
Gi的元[1]的阶是4而g是[1]所生成的循环群（[1]）。
S的子群
B4={
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）}
叫作克莱因四元群。
B4是合的子群容易验证，我们有
[（12）（34）]2=[（13）（24）]2=[（14）（23）]2=
（1）
（12）（34）（13）（24）=（13）（24）（12）（34）=（14）（23）
（13）（24）（14）（23）=（14）（23）（13）（24）=（12）（34）
（14）（23）（12）（34）=（12）（34）（14）（23）=（13）（24）
这两个群显然都是交换群。
现在证明，任何阶是4的群都和以上两个群之一同构。
设G是一个阶为4的群。
那么G的元的阶只能是1，2或4
若G有一个阶为4的元d，那么G=（d）是一个循环群，而G与G同构
若G没有阶为4的元，那么除单位元e夕卜，G的其他3个元的阶都是2，因此有
G={e,a,b,c}a2=b2=c2=e
由于G是群，有ab€G，我们证明ab=c
由ab=e将得ab=a2和b=a,这不可能.
由ab=a将得b=e,也不可能
由ab=b将得a=e,也不可能.
因此只能ab=c,同样可证
ab=ba=c,bc=cb=a,ca=ac=b
比较G和B的代数运算，易见G和B4同构。
补充题：
利用6题证明，一个有限非交换群至少有6个元。
§10.不变子群商群
1•假定群G的不变子群N的阶是2.证明，G的中心包含N。
解：
令N={e,n},这里e是G的单位元，取G的任意元a。
由于N是一个不变子群，有aN=Na，即
{a,an}={a,na}
所以an二na。
这样，N的两个元e和n都可以和G的任何元a交换,所以N属于G的中心。
2.证明，两个不变子群的交集还是不变子群。
解令“勺和N2是群G的两个不变子群。
那么N2是g的一个子群（§8.习题2）。
我们进一步证明，门N2是G的一个不变子群。
令a6G,n€n/n2，那么刑2，但Ni
和N2是不变子群，所以ana-1ana-12，因而
ana-1€NiN2
于是由定理2,n^n2是一个不变子群。
3.证明，指数是2的子群一定是不变子群。
解：
令G是一个群而N是G的一个指数为2的子群。
若n9N，那么显然有nN二Nn。
设b6G,b「€N。
那么由于N的指数是2,G被分成两个左陪集N和bN;G也被分成两个右陪集N和Nb。
因此bN=Nb,这样，对于G的任何元a来说，aN=Na是G的一个不变子群。
4•假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明，HN是G的子群。
解：
由于H和N都不空，所以HN也不空。
设aOHN,b9HN。
那么
a=hini，b=h2n2（hihH，nm①）
ab=hinin2h?
=hnh?
（n=nin2）
由于N是一个不变子集，有
Nh2=h2N，nh2=h2n（n）
由是得ab=（h1h2）n田N,HN是一个子群。
5.举例证明，G的不变子集N的不变子群Ni未必是G的不变子群（取G=S4）.
解：
令G=S4,N={
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）}
Ni={
（1）,（12）（34）}
已知N是G的一个子群（上节习题6）。
我们证明，N是G的一个不变子群。
为了证明这一点，我们考察，是否对一切二€S4，等式
（a）:
NJ=N
成立。
由于任何二都可以写成（1i）形的2一循环置换的乘积。
（§6.习题5），我们只须对（1i）形的冗来看等式（a）是否成立。
又由于N的元的对称性，我们只须看-=（12）的情形。
但
（12）{
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）（12）=
{
（1）,（12）（34）,（14）（23）,（13）（24）
所以N是s的一个不变子群。
由于N是交换群，N1当然是N的一不
变子群。
但N1不是S的一个不变子群。
因为（13）（12）（34）（13）
=（14）（23）「N1
6.一个群G的可以写成Jb'ab形式的元叫作换位子。
证明；
（i）所有有限个换位子的乘积作成的集合C是G的一个不变子群；
（ii）G/C是交换群；
（iii）若N是G的一个不变子集，并且G/N是交换群，那么
N二C
解：
（i）,C的两个元的乘积仍是有限个换位子的乘积，因而仍是
C的一个元。
一个换位子的逆仍是一个换位子，所以C的一个元的
逆仍是C的一个元。
这样C是一个子群。
对于aCG,cCC,aca"=（aca'c‘）c«，所以C是G的一个不
变子群。
（ii）令a,beG。
那么a'b'ab=c£。
由此得
ab=bac,abC=bacC=baC
即aCbC=bCaC而G/C是交换群。
（iii）因为G/N是交换群，所以对G的任何两个元a和b
（aN）（bN）二（bN）（aN）,abN=baN
由此得ab=ban（n€N）a'b'ab=nON。
这样N含有一切换位子，因此含有C。
补充题。
令二和（i1j2…jk）属于s。
证明二（iii2…iJ二=（iii?
…ik）
§11.同态与不变子群
1.我们看一个集合A到集合A的满射①。
证明。
若A的子集S是A的子集s的逆象；S是S的象，但若S是S的象,S不一定S的逆象。
解：
（i）设S是S的逆象。
这时对任一元a€S,存在元a€s，使①（a）=a,因此©（S）S。
反过来，对任一a€s，存在a€S，使①
（a）=a,因此s©（S）。
这样S=林S），即s是S的象。
（ii）令A={1,2,3,4},a={2,4},A到a的满射是
①：
1>2,2>2,3>4,4>4
取S={1,3}。
那么S的象s={2,4}。
但s的逆象是A式S
2.假定群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象。
证明，G/N三G/N。
解：
设所给G到g同态满射是①：
a>a=①（a）
我们要建立一个G/N到g/N的同构映射。
定义
aNaN
若aN=bN,那么『a€N。
由于n是N©之下的象，有
-_j—A———-——
ba=ba€N，aN=bN
所以t是G/N到G/N的一个映射。
设aN€G/N而①（a）=a，那么
aN>aN
所以'■是G/N到G/N的一个满射。
若aN=bN，那么Ja「N。
由于N是N的逆象，由此得
~~--
ba=baN，aN^bN
所以'■是G/N到G/N间的一个映射。
3.假定G和G是两个有限循环群，它们的阶各是m和n。
证明，G与G同态，当而且只当n|m的时候。
解：
设G与G同态，那么由定理2,G/N三G，这里N是G到G的同态满射的核。
所以G/N的阶是n。
但G/N的阶等于不变
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