四川省雅安市中考数学真题试题解析版.docx
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四川省雅安市中考数学真题试题解析版
2013年四川省雅安市中考数学试卷
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)每小题的四个选项中,有且仅有一个正确的。
1.(3分)(2013•雅安)﹣的相反数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
﹣
考点:
相反数.
分析:
根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.
解答:
解:
﹣的相反数是.
故选C.
点评:
本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键.
2.(3分)(2013•雅安)五边形的内角和为( )
A.
720°
B.
540°
C.
360°
D.
180°
考点:
多边形内角与外角.
分析:
利用多边形的内角和定理即可求解.
解答:
解:
五边形的内角和为:
(5﹣2)×180=540°.
故选B.
点评:
本题考查了多边形的内角和定理的计算公式,理解公式是关键.
3.(3分)(2013•雅安)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两根,则x1+x2的值是( )
A.
0
B.
2
C.
﹣2
D.
4
考点:
根与系数的关系.
专题:
计算题.
分析:
利用根与系数的关系即可求出两根之和.
解答:
解:
∵x1,x2是一元二次方程x2﹣2x=0的两根,
∴x1+x2=2.
故选B
点评:
此题考查了根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
4.(3分)(2013•雅安)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为( )
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
100°
考点:
平行线的性质;角平分线的定义.
分析:
根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠BAD=∠D,从而得到∠CAD=∠D,再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.
解答:
解:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠D,
∴∠CAD=∠D,
在△ACD中,∠C+∠D+∠CAD=180°,
∴80°+∠D+∠D=180°,
解得∠D=50°.
故选A.
点评:
本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键.
5.(3分)(2013•雅安)下列计算正确的是( )
A.
(﹣2)2=﹣2
B.
a2+a3=a5
C.
(3a2)2=3a4
D.
x6÷x2=x4
考点:
同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
分析:
根据乘方意义可得(﹣2)2=4,根据合并同类项法则可判断出B的正误;根据积的乘方法则:
把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘可判断出C的正误;根据同底数幂的除法法则:
底数不变,指数相减可判断出D的正误.
解答:
解:
A、(﹣2)2=4,故此选项错误;
B、a2、a3不是同类项,不能合并,故此选项错误;
C、(3a2)2=9a4,故此选项错误;
D、x6÷x2=x4,故此选项正确;
故选:
D.
点评:
此题主要考查了乘方、合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法,关键是熟练掌握计算法则.
6.(3分)(2013•雅安)一组数据2,4,x,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数、中位数分别为( )
A.
3.5,3
B.
3,4
C.
3,3.5
D.
4,3
考点:
众数;算术平均数;中位数.
分析:
根据题意可知x=2,然后根据平均数、中位数的定义求解即可.
解答:
解:
∵这组数据的众数是2,
∴x=2,
将数据从小到大排列为:
2,2,2,4,4,7,
则平均数=3.5
中位数为:
3.
故选A.
点评:
本题考查了众数、中位数及平均数的定义,属于基础题,掌握基本定义是关键.
7.(3分)(2013•雅安)不等式组
的整数解有( )个.
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
一元一次不等式组的整数解.
分析:
先求出不等式组的解集,再确定符合题意的整数解的个数即可得出答案.
解答:
解:
由2x﹣1<3,解得:
x<2,
由﹣≤1,解得x≥﹣2,
故不等式组的解为:
﹣2≤x<2,
所以整数解为:
﹣2,﹣1,0,1.共有4个.
故选D.
点评:
本题主要考查了一元一次不等式组的解法,难度一般,关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组,再根据解集求出特殊值.
8.(3分)(2013•雅安)如图,DE是△ABC的中位线,延长DE至F使EF=DE,连接CF,则S△CEF:
S四边形BCED的值为( )
A.
1:
3
B.
2:
3
C.
1:
4
D.
2:
5
考点:
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;三角形中位线定理.
分析:
先利用SAS证明△ADE≌△CFE(SAS),得出S△ADE=S△CFE,再由DE为中位线,判断△ADE∽△ABC,且相似比为1:
2,利用相似三角形的面积比等于相似比,得到S△ADE:
S△ABC=1:
4,则S△ADE:
S四边形BCED=1:
3,进而得出S△CEF:
S四边形BCED=1:
3.
解答:
解:
∵DE为△ABC的中位线,
∴AE=CE.
在△ADE与△CFE中,
,
∴△ADE≌△CFE(SAS),
∴S△ADE=S△CFE.
∵DE为△ABC的中位线,
∴△ADE∽△ABC,且相似比为1:
2,
∴S△ADE:
S△ABC=1:
4,
∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC,
∴S△ADE:
S四边形BCED=1:
3,
∴S△CEF:
S四边形BCED=1:
3.
故选A.
点评:
本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理.关键是利用中位线判断相似三角形及相似比.
9.(3分)(2013•雅安)将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
A.
y=(x﹣2)2
B.
y=(x﹣2)2+6
C.
y=x2+6
D.
y=x2
考点:
二次函数图象与几何变换.
分析:
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可.
解答:
解:
将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位所得直线解析式为:
y=(x﹣1+1)2+3,即y=x2+3;
再向下平移3个单位为:
y=x2+3﹣3,即y=x2.
故选D.
点评:
本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
10.(3分)(2013•雅安)如图,AB是⊙O的直径,C、D是⊙O上的点,∠CDB=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E,则sin∠E的值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
切线的性质;圆周角定理;特殊角的三角函数值.
分析:
首先连接OC,由CE是⊙O切线,可得OC⊥CE,由圆周角定理,可得∠BOC=60°,继而求得∠E的度数,则可求得sin∠E的值.
解答:
解:
连接OC,
∵CE是⊙O切线,
∴OC⊥CE,
即∠OCE=90°,
∵∠CDB=30°,
∴∠COB=2∠CDB=60°,
∴∠E=90°﹣∠COB=30°,
∴sin∠E=.
故选A.
点评:
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及特殊角的三角函数值.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
11.(3分)(2013•雅安)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象.
分析:
根据二次函数图象开口向上得到a>0,再根据对称轴确定出b,根据与y轴的交点确定出c>0,然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况,即可得解.
解答:
解:
∵二次函数图象开口方向向上,
∴a>0,
∵对称轴为直线x=﹣
>0,
∴b<0,
∵与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∴y=ax+b的图象经过第一三象限,且与y轴的负半轴相交,
反比例函数y=图象在第一三象限,
只有B选项图象符合.
故选B.
点评:
本题考查了二次函数的图形,一次函数的图象,反比例函数的图象,熟练掌握二次函数的有关性质:
开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键.
12.(3分)(2013•雅安)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,△AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:
①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤S△CEF=2S△ABE.其中正确结论有( )个.
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
分析:
通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF,BE=DF,由正方形的性质就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,设EC=x,BE=y,由勾股定理就可以得出x与y的关系,表示出BE与EF,利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论
解答:
解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°.
∵△AEF等边三角形,
∴AE=EF=AF,∠EAF=60°.
∴∠BAE+∠DAF=30°.
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
,
Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴BE=DF,①正确.
∠BAE=∠DAF,
∴∠DAF+∠DAF=30°,
即∠DAF=15°②正确,
∵BC=CD,
∴BC﹣BE=CD﹣DF,
及CE=CF,
∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF.③正确.
设EC=x,由勾股定理,得
EF=
x,CG=
x,AG=
x,
∴AC=
,
∴AB=
,
∴BE=
﹣x=
,
∴BE+DF=
x﹣x≠
x,④错误,
∵S△CEF=
,
S△ABE=
=
,
∴2S△ABE=
=S△CEF,⑤正确.
综上所述,正确的有4个,故选C.
点评:
本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.
二、填空题(共5小题,每小题3分,满分15分)
13.(3分)(2013•雅安)已知一组数2,4,8,16,32,…,按此规律,则第n个数是 2n .
考点:
规律型:
数字的变化类.
分析:
先观察所给的数,得出第几个数正好是2的几次方,从而得出第n个数是2的n次方.
解答:
解:
∵第一个数是2=21,
第二个数是4=22,
第三个数是8=23,
∴第n个数是2n;
故答案为:
2n.
点评:
此题考查了数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决实际问题,本题的关键是第几个数就是2的几次方.
14.(3分)(2013•雅安)从﹣1,0,,π,3中随机任取一数,取到无理数的概率是 .
考点:
概率公式;无理数.
分析:
数据﹣1,0,,π,3中无理数只有π,根据概率公式求解即可.
解答:
解∵数据﹣1,0,,π,3中无理数只有π,
∴取到无理数的概率为:
,
故答案为:
点评:
此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.
15.(3分)(2013•雅安)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 .
考点:
等腰三角形的性质;非负数的性质:
绝对值;非负数的性质:
偶次方;三角形三边关系.
专题:
分类讨论.
分析:
先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可.
解答:
解:
根据题意得,a﹣1=0,b﹣2=0,
解得a=1,b=2,
①若a=1是腰长,则底边为2,三角形的三边分别为1、1、2,
∵1+1=2,
∴不能组成三角形,
②若a=2是腰长,则底边为1,三角形的三边分别为2、2、1,
能组成三角形,
周长=2+2+1=5.
故答案为:
5.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质,非负数的性质,以及三角形的三边关系,难点在于要讨论求解.
16.(3分)(2013•雅安)如图,在▱ABCD中,E在AB上,CE、BD交于F,若AE:
BE=4:
3,且BF=2,则DF=
..
考点:
相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
分析:
由四边形ABCD是平行四边形,可得AB∥CD,AB=CD,继而可判定△BEF∽△DCF,根据相似三角形的对应边成比例,即可得BF:
DF=BE:
CD问题得解.
解答:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE:
BE=4:
3,
∴BE:
AB=3:
7,
∴BE:
CD=3:
7.
∵AB∥CD,
∴△BEF∽△DCF,
∴BF:
DF=BE:
CD=3:
7,
即2:
DF=3:
7,
∴DF=
.
故答案为:
.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.此题比较简单,解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF,再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解.
17.(3分)(2013•雅安)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣
,0),B(
,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标 (0,2),(0,﹣2),(﹣3,0),(3,0) .
考点:
勾股定理;坐标与图形性质.
专题:
分类讨论.
分析:
需要分类讨论:
①当点C位于x轴上时,根据线段间的和差关系即可求得点C的坐标;②当点C位于y轴上时,根据勾股定理求点C的坐标.
解答:
解:
如图,①当点C位于y轴上时,设C(0,b).
则
+
=6,解得,b=2或b=﹣2,
此时C(0,2),或C(0,﹣2).
如图,②当点C位于x轴上时,设C(a,0).
则|﹣
﹣a|+|a﹣
|=6,即2a=6或﹣2a=6,
解得a=3或a=﹣3,
此时C(﹣3,0),或C(3,0).
综上所述,点C的坐标是:
(0,2),(0,﹣2),(﹣3,0),(3,0).
故答案是:
(0,2),(0,﹣2),(﹣3,0),(3,0).
点评:
本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质.解题时,要分类讨论,以防漏解.另外,当点C在y轴上时,也可以根据两点间的距离公式来求点C的坐标.
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(12分)(2013•雅安)
(1)计算:
8+|﹣2|﹣4sin45°﹣
(2)先化简,再求值:
(1﹣)÷
,其中m=2.
考点:
分式的化简求值;实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
专题:
计算题.
分析:
(1)根据绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂的定义解答;
(2)将括号内的部分通分后相减,再将除式因式分解,然后将除法转化为乘法解答.
解答:
解:
(1)原式=8+2﹣4×
﹣
=8+2﹣2
﹣3
=7﹣2
;
(2)原式=(﹣)÷
=
•
=
,
当m=2时,原式=
=.
点评:
本题考查了实数的运算及分式的化简求值,熟悉绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幂的运算法则及能熟练因式分解是解题的关键.
19.(9分)(2013•雅安)在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.
(1)求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若DF=BF,求证:
四边形DEBF为菱形.
考点:
菱形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)首先根据平行四边形的性质可得AD=BC,∠A=∠C,再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF;
(2)首先证明DF=BE,再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形,又DF=FB,可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论.
解答:
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C,
∵在△ADE和△CBF中,
,
∴△ADE≌△CBF(SAS);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∵AE=CF,
∴DF=EB,
∴四边形DEBF是平行四边形,
又∵DF=FB,
∴四边形DEBF为菱形.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定,以及菱形的判定,关键是掌握全等三角形的判定定理,以及菱形的判定定理,平行四边形的性质.
20.(8分)(2013•雅安)甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的2.5倍,4分钟两人首次相遇,此时乙还需要跑300米才跑完第一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长.(列方程(组)求解)
考点:
二元一次方程组的应用.
分析:
设乙的速度为x米/分,则甲的速度为2.5x米/分,环形场地的周长为y米,根据环形问题的数量关系,同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程=环形周长建立方程求出其解即可.
解答:
解:
设乙的速度为x米/秒,则甲的速度为2.5x米/秒,环形场地的周长为y米,由题意,得
,
解得:
,
∴甲的速度为:
2.5×150=375米/分.
答:
乙的速度为150米/分,则甲的速度为375米/分,环形场地的周长为900米.
点评:
本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用,二元一次方程组的解法的运用,解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键.
21.(8分)(2013•雅安)某学校为了增强学生体质,决定开设以下体育课外活动项目:
A.篮球B.乒乓球C.羽毛球D.足球,为了解学生最喜欢哪一种活动项目,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有 200 人;
(2)请你将条形统计图
(2)补充完整;
(3)在平时的乒乓球项目训练中,甲、乙、丙、丁四人表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
考点:
条形统计图;扇形统计图;列表法与树状图法.
专题:
计算题.
分析:
(1)由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数;
(2)由总人数减去喜欢A,B及D的人数求出喜欢C的人数,补全统计图即可;
(3)根据题意列出表格,得出所有等可能的情况数,找出满足题意的情况数,即可求出所求的概率.
解答:
解:
(1)根据题意得:
20÷
=200(人),
则这次被调查的学生共有200人;
(2)补全图形,如图所示:
(3)列表如下:
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
﹣﹣﹣
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
﹣﹣﹣
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种,其中符合要求的只有2种,
则P=
=.
点评:
此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及列表法与树状图法,弄清题意是解本题的关键.
22.(10分)(2013•雅安)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)在x轴上求点E,使△ACE为直角三角形.(直接写出点E的坐标)
考点:
反比例函数综合题.
专题:
综合题.
分析:
(1)过点A作AD⊥x轴于D,根据A、C的坐标求出AD=6,CD=n+2,已知tan∠ACO=2,可求出n的值,把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式;
(2)求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可;
(3)分两种情况:
①AE⊥x轴,②EA⊥AC,分别写出E的坐标即可.
解答:
解:
(1)过点A作AD⊥x轴于D,
∵C的坐标为(﹣2,0),A的坐标为(n,6),
∴AD=6,CD=n+2,
∵tan∠ACO=2,
∴
=
=2,
解得:
n=1,
故A(1,6),
∴m=1×6=6,
∴反比例函数表达式为:
y=,
又∵点A、C在直线y=kx+b上,
∴
,
解得:
,
∴一次函数的表达式为:
y=2x+4;
(2)由
得:
=2x+4,
解得:
x=1或x=﹣3,
∵A(1,6),
∴B(﹣3,﹣2);
(3)分两种情况:
①当AE⊥x轴时,
即点E与点D重合,
此时E1(1,0);
②当EA⊥AC时,
此时△ADE∽△CDA,
则
=
,
DE=
=12,
又∵D的坐标为(1,0),
∴E2(13,0).
点评:
本题考查了反比例函数的综合题,涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识,主要考查学生的计算能力和观察图形的能力.
23.(10分)(2013•雅安)如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,D为⊙O上的一点,CD=CB,延长CD交BA的延长线于点E.
(1)求证:
CD为⊙O的切线;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
考点:
切线的判定与性质;扇形面积的计算.
分析:
(1)首先连接OD,由BC是⊙O的切线,可得∠ABC=90°,又由CD=CB,OB=OD,易证得∠ODC=∠ABC=90°,即可证得CD为⊙O的切线;
(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°,OF=1,可求得BD的长,∠BOD的度数,又由S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD,即可求得答案.
解答:
(1)证明:
连接OD,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠ABC=90°,
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠ODC=∠ABC=90°,
即OD⊥CD,
∵点D在⊙O上,
∴CD为⊙O的切线;
(2)解:
在Rt△OBF中,
∵∠ABD=30°,OF=1,