浙江大学+计算机+考博试题+计算理论及答案.docx
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浙江大学+计算机+考博试题+计算理论及答案
计算理论
字母表：
一个有穷的符号集合。
字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。
一个字符串的长度是它作为序列的长度。
连接反转Kleene星号L*，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。
有穷自动机：
描述能力和资源极其有限的计算机模型。
有穷自动机是一个5元组M=（K,∑,
s,F）,其中
1）K是一个有穷的集合，称为状态集
2）∑是一个有穷的集合，称为字母表
3）
是从KX∑→K的函数，称为转移函数
4）s∈K是初始状态
5）F
K是接收状态集
M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L（M）.
对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机
有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。
每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。
一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。
正则表达式：
称R是一个正则表达式，如果R是
1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。
2）
，只包含一个字符串空串的语言
3）
，不包含任何字符串的语言
4）（R1∪R2）,这里R1和R2是正则表达式
5）（R10R2）,这里R1和R2是正则表达式
6）（R1*）,这里R1*是正则表达式
一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。
2000年4月
1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。
1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中的应用》。
在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并提出著名的“图灵机”（TuringMachine）的设想。
“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。
这个装置由下面几个部分组成：
一个无限长的纸带，一个读写头。
（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。
这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。
工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。
控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。
这一理论奠定了整个现代计算机的理论基础。
“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算机的发展史中。
图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。
实际上,一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。
2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系
乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string的有限的或无限的集合，记为L。
数目有限的规则叫文法，记为G。
刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。
文法与自动机的关系:
形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。
对某种语言来说,如果存在一个该语言的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和自动机是统一的.文法在形式上定义为四元组：
G＝（VN,VT,S,P）,VN是非终极符号，VT是终极符号，S是VN中的初始符号，P是重写规则。
⏹文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。
⏹对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：
一个自动机接受的语言，可以构造对应的文法产生该语言。
一定类型的自动机和某种类型的文法具有等价性。
2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。
每类文法的生成能力与相应的语言自动机（识别语言的装置）的识别能力等价，即4类文法分别与4种语言自动机对应：
类型
文法
自动机
0型
无限制文法
图灵机
1型
上下文有关文法
线性有界自动机
2型
上下文无关文法
后进先出自动机
3型
有限状态的正则文法
有限自动机
最常见文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1956年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四类型：
无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和正规文法。
四类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文相关语言、上下文无关语言和正规语言。
这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能表达的言也越来越少。
尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。
例如对下文无关语言存在算法可以生成高效的LL分析器和LR分析器。
3、证明HALT（XR,X）不是可计算的。
4、
（1）、证明递归集都是递归可枚举集。
（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。
5、
（1）、证明L＝{（a,b）*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。
（2）、并证明其不是正则的。
P56
假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={aibi:
i≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。
考虑字符串w=anbn∈L。
根据定理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=ai，其中i＞0.但是xz=an-ibn
L，与定理矛盾。
2000年10月
1、
（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。
（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。
2、证明φ（X，X）是不可计算的。
3、证明L={ambn|m,n>0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。
利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。
正则语言在交运算下封闭。
4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，
（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。
（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？
2001年4月
1、
（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。
（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？
（3）通用图灵机的描述。
2、
（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L
（2）L={a3nbn |n>0}为上下文无关,但不是正则。
3、A为字母表，L为A*上任意的语言。
阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。
4、证明不存在可计算函数h（x），使φ（x,x）↓时h（x,x）=φ（x,x）+a,a∈N,φ（x,y）是编号为y输入为x时的程序。
2001年10月
1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？
证明
2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）？
证明p95
证：
不是上下文无关的。
假设L是上下文无关的，则它与正则语言a*b*c* 的交也是上下文无关的。
令L1={anbncn:
n≧0}
假设L1是上下文无关语言。
取常数p，ω＝apbpcp,∣ω∣＝3p≥p
将ω写成ω＝uvxyz使得v或y不是空串且uvixyiz∈L1
I=0,1,2……其中∣xy∣≥1且∣xuy∣≤p.
有两种可能他们都导致矛盾。
如果vy中a、b、c三个符号都出现，则v和y中必有一个至少含有abc中的两个符号。
于是uv2xy2z中abc的排列顺序不对，有的b在a前或c在a或b前。
如果vy中只出现a、b、c中的一个或两个符号，则uv2xy2z中a、b、c的个数不相等。
∴与L1是上下文无关语言假设矛盾。
综上，L不是2型语言。
3、被2，3整除的非负整数的十进制表示的集合是否正则。
∑={1，2，……9}，L
∑*，令L1是非负整数十进制表示的集合，容易看到
L1=0∪{1，2，……9}∑*，由于L1是用正则表达式表示的，故它是一个正则语言。
令L2是可以被2整除的非负整数的十进制表示的集合。
L2正好是以0，2，4，6，8结尾的L1的成员组成的集合，即L2=L1∩∑*{0，2，4，6，8}，根据正则语言在交运算下封闭原则，故L2也是一个正则语言。
令是可以被3整除的非负整数的十进制表示的集合.一个数可以被3整除当且仅当它的数字之和可以被3整除。
构造一台有穷自动机，用它的有穷控制器保存输入数字的模3和。
L3是这台有穷自动机接受的语言与L1的交。
最后L=L2∪L3，它一定是个正则语言。
4、NonSelfAccepting是否递归集合
2002年4月
1． 能被5整除的字符串是正则集吗
2． 用图灵机表示下列字符串。
Φ，e，{a},{a}*
3． s->ss,s->asb,s->abs,证明由s推得的字符串不可能以abb开头。
（可能记忆有误，具体形式就是这样）。
4证明不是所有的递归可枚举集都是递归的。
定理：
语言
不是递归的；所以，递归语言类是递归可枚举语言类的真子集。
2002年10月
1、 什么是计算？
计算理论研究的内容和意义是什么？
为什么要使用计算的抽象模型？
2、 请写出一个正则表达式，描述下面的语言：
在字母表{0,1}上，不包含00子串且以1结尾。
4、语言L={an:
n是素数}是不是正则语言，是不是上下文无关的？
5、一个succ（n+1）的组合Turing机描述，说出它的作用。
P127
6、什么是Turing机的停机问题？
它是可判定的么？
为什么？
H={“M”“w”：
Turing机M在输入w上停机}，
ATM＝{|M是一个TM，且M接受ω}
证明：
假设ATM是可判定的，下面将由之导出矛盾。
设H是ATM的判定器。
令M是一个TM，ω是一个串。
在输入上，如果M接受ω，则H就停机且接受ω；如果M不接受ω，则H也会停机，但拒绝ω。
换句话说，H是一个TM使得：
接受如果M接受ω
H（）=
拒绝如果M不接受ω
现在来构造一个新的图灵机D，它以H作为子程序。
当M被输入
它自己的描述是，TMD就调用H，以了解M将做什么。
一旦
得到这个信息，D就反着做，即：
如果M接受，它就拒绝；如果M
不接受，它就接受。
下面是D的描述。
D＝”对于输入，其中M是一个TM：
1）在输入>上运行H。
2）输出H输出的相反结论，即，如果H接受，就拒绝；
如果H拒绝，就接受。
”
总而言之，接受如果M不接受
D（）=
拒绝如果M接受
当以D的描述作为输入来运行D自身时，结果会怎样呢？
我们得到：
接受如果D不接受
D（）=
拒绝如果D接受
不论D做什么，它都被迫相反地做，这显然是一个矛盾。
所以，TMD和
TMH都不存在。
它是不可判定的。
假设H是递归的，那么H1={“M”：
Turing机M在输入字符串“M”上停机}也是递归的。
H1表示对角化程序的halts（X，X）部分。
假设存在判定H的Turing机M0，那么判定H1的TuringM1只需要把输入字符串
检查一个图灵机是否接受一个给定的串问题。
在证明之前，先来证明ATM是图灵可识别的。
这样，定理5.9表面识别器
确实比判定器更强大。
要求TM在所以输入上都停机限制了它能够识别
的语言种类。
下面的图灵机U识别ATM.
U=“对于输入,其中M是一个TM，ω是一个串：
1）在输入ω上模拟M；
2）如果M进入接受状态，则接受；如果M进入拒绝状态，则拒绝。
”
注意，如果M在ω上循环，则机器U在输入上循环，这就是U不判定
ATM的原因。
假如M知道自己在ω上不停机，它能拒绝ω，但事实上，它不
知道。
所以ATM有时被称为停机问题。
7、证明这个问题不可判定：
一个Turing机半判定的语言等于这样的一个语言，这个语言是w和w的转置的连接。
定理：
任何递归或递归可枚举语言，以及任何递归函数，分别可用随机存取Turing判定、半可判定和计算。
1、判定下述语言是否正则：
包含aaaaa子串的语言L。
2、画出判定下述语言的图灵机：
空集，e，a。
3、用数学归纳法证明一个上下文无关语言不包含ab子串，语言的描述忘记啦。
4、证明H是非递归的。
2003年4月
1、判断题目，好像有二十分左右，都是书上的概念，譬如：
递归语言是递归可枚举语言（错），一个语言如果是正则的，那么它一定是上下文无关语言（对），如果一个语言是图灵可识别的，那么、、、.（）。
后面的记不住了。
2、证明题，第1个是要证某种语言是正则语言，第2个是证该语言是上下文无关语言，中间还有一个是要证明某种语言是非上下文无关语言（有可能是非正则语言）。
最后一个是证明该语言是图灵可判语言。
该题在上几届的考题中都曾变换个样式出现过。
3、识图题，画了一个图，让写出该图所识别的语言是什么。
我记得它是英文参考书上的一个例题，所识别的是：
不全包含{a,b,c}中所有字符的字符串。
该题6分。
4、我没做，给出了一个式子，好像是y=a+b,让构造出计算该式的图灵机。
这个题目好像也是6分。
2003年10月
1、5个判断，比如
例如：
1. 也为正则语言。
2.对于两个任意的正则表达式R1和R2，判断L（R1）=L（R2）为不可判定问题。
3、｛xy|x属于正则语言L，y属于其补｝是正则语言；
4、存在非递归的递归可枚举语言。
2、｛（a^m）（b^m）c（a^2n）（b^2n），m，n∈N∩m、n≧1｝，写出产生它的上下文无关文法和识别它的确定下推自动机。
3、判断谓词是否递归;设P（x,y）为原始递归谓词，请证明也是原始递归谓词。
4、写出识别｛（0^n）（1^n）（2^n）n≧0｝的图灵机，和a^nb^nc^n类似，参考书的答案有问题！
5）L={a2n+1|n>=0} 不是上下文无关语言，用泵引理证明（其中，2为平方）
⏹在字母表T={a}上，L={a2n+1|n>=0}
⏹表示任意一对aa（包括0对）后跟一个a的字符串。
（即含有奇数个a的字符串。
）
6）L是一上下文无关文法，任给一正规文法R，L∈R可以判定吗，说明理由。
2004年4月
1、8个判断题
2、证明
（1）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为有限语言，则L1与L2的并为非正则语言。
（2）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为无限语言，则L1与L2的并为正则语言。
举例说明符合条件的L1和L2
3、有n个自然数x1,x2,...,xn，问是否存在素数p
使得[x（p）]^p=x
（1）+x
（2）+...+x（p-1）+x（p+1）+...+x（n）（式子类似这样的）
给出算法的描述,复杂度,并证明属于P类
4、给出图灵机的符号表示：
该图灵机计算函数f（x）;x为偶数f（x）=x/2,x为奇数f（x）=x+1
5、用泵定理证明语言L不是上下文无关的L={w∈（a,b）*:
w不同于WR}
2004年10月
1、构造上下文无关文法来生成语言
L1={ambncp:
m不等于n，且m、n、p>1}
L2={ambncp:
n不等于p，且m、n、p>1},并证明{{a,b,c}*-（L1∪L2）}不是上下文无关的
2、给出一个Turing包括转移关系等
根据给定的Turing的计算过程求出它所接受的语言L（M）;并构造一个文法来生成L（M）
3、一个有关递归的判断题，并说出理由，有3句话。
4、一个根据语言描述来判定两个语言之间关系的选择题。
如1是2的真子集，2是1的真子集，1=2，1、2无任何关系。
2005年4月
1、判断题
2、判定下列语言是否为正则语言，请具体说出理由
L1={w1|w∈{a,b}*,Na（w）-Nb（w）mod3≠0}
L2={w1|w∈{a,b}*,Na（w）-Nb（w）≠0}这里Na（w）、Nb（w）分别表示字符串w中a,b的个数
3、给出上下文无关文法生成语言 L3=｛xcy|2|x|=|y|,x,y∈{a,b}*｝
证明L4={aibjcidj:
i,j∈N,i,j≧1}不是上下文无关语言。
4、证明语言L5={“M”|Turing在空串e上停机}是非递归的，其中M表示TuringM的编码。
5、给定n个数，x1,x2,……xn,判定是否存在不同的i1,i2……ik,使满足下列两个条件：
（1）Xi1+Xi2+……Xik=（X1+X2+……Xn）/2
（2）Xi1+Xi2+……Xik不是素数，给出一个算法，并估计其计算时间，说明这个问题属于NP类，是给算法描述即可。
2006年4月
1、设上下文无关语言L={a}*
（1）假设L为无限语言，且上下文无关文法G生成该语言，即L=L（G）。
设K〉1为相对于文法G的泵定理常数，设r=k。
证明下列结论：
对于任意w∈L，如果|w|≧k，则{wam|n≧0}
L
（2）对于每个i（0≦i（3）证明如果L
{a}*为上下文无关语言，则L为正则语言
2、设语言L1={u
v}，u、v∈{a，b}*则，|v|≦|u|≦2|v|
（1）给出一个上下文无关的文法生成语言L1
（2）给出一个下推自动机产生语言L1
3、分别给出满足条件的语言的例子，或说明其不存在
（1）该语言是递归的，但是它的补语言非递归
（2）该语言是递归可枚举的，但是它的补语言是递归
（3）该语言是递归可枚举的，它的补语言也是递归可枚举不存在
（4）该语言是递归可枚举的，它的补语言却非递归可枚举
若语言是递归的，则它是递归可枚举的。
如：
L={anbncn:
n≧0}
若L是递归语言则它的补也是递归的。
若L是递归可枚举语言，则它的补是非递归可枚举的。
4、语言L称为前缀封闭（Prefixclosed）定义如下：
对于任意w∈L都有w的所有前缀均属于Ｌ。
利用停机问题的规约证明下列语言。
Ｈ＝｛“Ｍ”｜Ｌ（Ｍ）为前缀封闭的｝
５、说明如下问题：
ＩＳＯ＝{|无向图Ｇi=（Vi,Ei）（i=1,2）同构}是ＮＰ的。
（只需要给出一个非形式化的描述）
下面是ISO的验证机V
V=“对输入
”
2007年4月
1、判断题（简单）
如：
字母表E上的语言是递归可枚举语言（）
2、证明题
给定关系u~v的定义
（1）证明uv当且仅当vu
（2）证明具有这个关系的语言是正规的。
3、给出一个语言，（ww*，其中w*和w的转置至少有一个字母不一样）
（1）证明该语言是CFL
（2）给出PDA
4、给出一个问题（）
（1）给出该问题的图灵算法
（2）证明该问题是NPC（规约到顶点覆盖问题）
200８年4月
１、Ｌ１和Ｌ２如果Ｌ１交Ｌ２正则，Ｌ１和Ｌ２是否均正则
２、设Ｍ是上下文无关语言，Ｎ为正则语言，Ｍ属于Ｎ是否可判定
３、存在能被图灵机计算的非原始递归函数
４、ＮＰ类问题 Ｌ＝{aibjck|i+k≧j},写出该语言的上下文无关文法和下推自动机
５、判断下列语言是否是正则的
（１）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至少出现Ｋ次
（２）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至多出现Ｋ次
６、判断一些语言是否是递归语言，还是递归可枚举
７、一个图的问题ＳＡＴ多项式时间规约
图灵机 TuringMachine
图灵机的模型
掌握ＴＭ机器的构造方法：
识别语言的装置，用上下文无关语言表示不了的语言，可以用图灵机来表示；用有限自动机和下推自动机表示的语言，可以改造成用图灵机表示
递归&递归可枚举
判定&半判定
通用图灵机UTM
文法及分类
不可判定性，可判定，不可判定，停机问题，证明方法，关于TM的不可判定问题，
关于文法的不可判定问题，Rice定理
19、用归约说明{L（M）=e}不是递归的。
20、
21、找到一个数Pn;满足PnXn（Xn的M次方，不会表达）＝P0X0＋P1X1＋…＋
P（n－1）X（n－1）＋P（n＋1）X（n+1）+…+PmXm;
a） 计算时间复杂度；
b） 证明这是个P问题。
注：
括号里表示下标。
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