高考数学理科一轮复习第3章 第6节 正弦定理余弦定理及其应用.docx

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高考数学理科一轮复习第3章第6节正弦定理余弦定理及其应用

第六节　正弦定理、余弦定理及其应用

[考纲传真]　1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

内容

＝＝＝2R.

a2＝b2＋c2－2bccos_A；

b2＝c2＋a2－2cacos_B；

c2＝a2＋b2－2abcos_C.

变形

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

（2）a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；

（3）＝＝2R.

cosA＝；

cosB＝；

cosC＝.

2.三角形常用面积公式

（1）S＝a·ha（ha表示边a上的高）；

（2）S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；

（3）S＝r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）．

3．实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角：

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角（如图1）．

（2）方向角：

相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．

（3）方位角：

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α（如图2）．

（4）坡度：

坡面与水平面所成的二面角的度数．

[常用结论]

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；

b＝acosC＋ccosA；

c＝bcosA＋acosB.

3．内角和公式的变形

（1）sin（A＋B）＝sinC；

（2）cos（A＋B）＝－cosC.

4．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．

[基础自测]

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．（　　）

（2）在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B.（　　）

（3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．（　　）

（4）当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．

[答案]　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×

2．（教材改编）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝（　　）

A．2　　　B．1

C.D.

D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]

3．（教材改编）在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有（　　）

A．无解B．两解

C．一解D．解的个数不确定

B　[∵bsinA＝24sin45°＝12，

∴12＜18＜24，即bsinA＜a＜b.

∴此三角形有两解．]

4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶4，则cosC的值为（　　）

A.B.

C．－D．－

D　[由题意可知a∶b∶c＝3∶2∶4，不妨设a＝3k，b＝2k，c＝4k，则cosC＝＝＝－.]

5．在△ABC中，a＝2，c＝，B＝30°，则S△ABC＝________；b＝________.

　1　[S△ABC＝acsinB＝×2××＝.

由b2＝a2＋c2－2accosB＝4＋3－4cos30°＝1，得b＝1.]

利用正、余弦定理解三角形

【例1】　（2016·全国卷Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.

（1）求C；

（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

[解]　

（1）由已知及正弦定理得

2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，

即2cosCsin（A＋B）＝sinC，

故2sinCcosC＝sinC.

可得cosC＝，所以C＝.

（2）由已知得absinC＝.

又C＝，所以ab＝6.

由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝7，

故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25，所以a＋b＝5（负值舍去）．

所以△ABC的周长为5＋.

[规律方法]　解三角形的常见题型及求解方法

（1）已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及，可先求出角C及b，再求出c.

（2）已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C.

（3）已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,（4）已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C＝π－（A＋B），可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.）

（1）（2018·重庆二模）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若（a－b）（sinA＋sinB）＝c（sinC＋sinB），则角A等于（　　）

A.　　　B.

C.D.

（2）如图，在△ABC中，已知点D在边AB上，AD＝3DB，cosA＝，cos∠ACB＝，BC＝13.

①求cosB的值；

②求CD的长．

（1）D　[由正弦定理可得（a－b）（a＋b）＝c（c＋b），即b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理可得cosA＝＝－，又A∈（0，π），则A＝，故选D.]

（2）[解]　①在△ABC中，因为cosA＝，A∈（0，π），

所以sinA＝＝.

同理可得sin∠ACB＝.

所以cosB＝cos[π－（A＋∠ACB）]＝－cos（A＋∠ACB）＝sinAsin∠ACB－cosAcos∠ACB＝×－×＝.

②在△ABC中，由正弦定理得，AB＝sin∠ACB＝×＝20.

又AD＝3DB，所以BD＝AB＝5，又在△BCD中，由余弦定理得CD＝

＝＝9.

判断三角形的形状

【例2】　

（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形B．等腰非等边三角形

C．等边三角形D．钝角三角形

（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝（2a－b）cosA，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形

（1）C　

（2）D　[

（1）∵＝，∴＝，∴b＝c.

又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，

∴b2＋c2－a2＝bc，

∴cosA＝＝＝.

∵A∈（0，π），∴A＝，

∴△ABC是等边三角形．

（2）因为c－acosB＝（2a－b）cosA，

C＝π－（A＋B），

所以由正弦定理得

sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，

所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，

所以cosA（sinB－sinA）＝0，

所以cosA＝0或sinB＝sinA，

所以A＝或B＝A或B＝π－A（舍去），

所以△ABC为等腰或直角三角形．]

[规律方法]　判定三角形形状的方法

（1）化边：

通过因式分解，配方等得边的相对应关系.

（2）化角：

通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.）

（1）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是（　　）

A．直角三角形B．等腰三角形

C．等边三角形D．钝角三角形

（2）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．

（1）A　

（2）直角三角形　[

（1）因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈（0,π），所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．

（2）由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．]

与三角形有关的最值（范围）问题

【例3】　（2019·广州调研）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acosB＝（2c－b）cosA.

（1）求角A的大小；

（2）求△ABC的周长的最大值．

[解]　

（1）法一：

由已知，得acosB＋bcosA＝2ccosA.

由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，

即sin（A＋B）＝2sinCcosA.

因为sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，

所以sinC＝2sinCcosA.

因为sinC≠0，所以cosA＝.

因为0＜A＜π，所以A＝.

法二：

由已知及余弦定理，得a×＝（2c－b）×，即b2＋c2－a2＝bc，

所以cosA＝＝.

因为0＜A＜π，所以A＝.

（2）法一：

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，

得bc＋4＝b2＋c2，

即（b＋c）2＝3bc＋4.

因为bc≤2，所以（b＋c）2≤（b＋c）2＋4，

即b＋c≤4（当且仅当b＝c＝2时等号成立），

所以a＋b＋c≤6.

故△ABC的周长的最大值为6.

法二：

因为＝＝，且a＝2，A＝，

所以b＝sinB，c＝sinC.

所以a＋b＋c＝2＋（sinB＋sinC）＝2＋sinB＋sin＝2＋4sin.

因为0＜B＜，所以当B＝时，a＋b＋c取得最大值6.

故△ABC的周长的最大值为6.

[规律方法]　求有关三角形面积或周长的最值（范围）问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.

（1）（2018·郑州一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b，若△ABC的面积S＝c，则ab的最小值为（　　）

A．28B．36

C．48D．56

（2）（2019·河北五校联考）在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为（　　）

A.B．2

C．3D．4

（1）C　

（2）D　[

（1）在△ABC中，2ccosB＝2a＋b，由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB．又A＝π－（B＋C），所以sinA＝sin[π－（B＋C）]＝sin（B＋C），所以2sinCcosB＝2sin（B＋C）＋sinB＝2sinBcosC＋2cosBsinC＋sinB，得2sinBcosC＋sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosC＝－，又0＜C＜π，所以C＝.由S＝c＝absinC＝ab×，得c＝.由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab（当且仅当a＝b时取等号），所以2≥3ab，得ab≥48，所以ab的最小值为48，故选C.

（2）∵C＝，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝.由正弦定理，得＝＝＝＝4，∴BC＝4sinA，AC＝4sinB，∴AC＋BC＝4sinB＋4sinA＝4sin＋4sinA＝2cosA＋6sinA＝4sin（A＋φ），∴当A＋φ＝＋2k