随机过程综合练习新版讲解.docx
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随机过程综合练习新版讲解
随机过程综合练习题
一、填空题（每空3分）
第一章
1.X-X2,…Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为g（t），贝U
Xi・X2•…-Xn的特征函数是。
2.E「E（XY八。
3.X的特征函数为g（t）,丫二aXb，则Y的特征函数为。
4•条件期望E（XY）是的函数，（是or不是）随机变量。
5.X1,X2/Xn是独立同分布的随机变量，Xi的特征函数为gi（t），贝y
X1X^Xn的特征函数是。
6.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二早
7•宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
&在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为p（0：
：
：
p：
：
：
1）,以X（n）记进行
到n次试验为止A发生的次数，则｛X（n）,n=0,1,2,…｝是过程。
9.正交增量过程满足的条件是。
10.正交增量过程的协方差函数Cx（S,t）二。
AVV*
第二早
11.｛X（t）,t>0｝为具有参数■0的齐次泊松过程，其均值函数为；
方差函数为。
12•设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为'1,'2,'3且均为泊松过程，它
们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程（假定无长度、无延时），相邻绿色汽车之间
的不同到达时间间隔的概率密度是，汽车之间的不同到达时刻间隔的
概率密度是。
13.｛X（t）,t>0｝为具有参数'0的齐次泊松过程，
P（ts）-X（s）=nJ=on=0,1，…
14•设{X（t）,t>0}是具有参数■0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望
是。
15•在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司•若
每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额o
16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内
乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N（t）相互独立，则在［0,t］内到达汽车总站的
乘客总数是（复合or非齐次）泊松过程.
17•设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3
人的概率是.
第四章
18.无限制随机游动各状态的周期是o
19.非周期正常返状态称为o
20•设有独立重复试验序列{Xn,n一1}。
以Xn=1记第n次试验时事件A发生，且
=1_p，若有
P{Xn=1}=p，以Xn=0记第n次试验时事件A不发生，且P{Xn=0}
链。
Yn八Xk,n_1，则{Yn，n1}是
k二
答案
、填空题
二、判断题（每题2分）
第一章
n
1.gi（t）（i=1,2-n）是特征函数，hgi（t）不是特征函数。
（）
2.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。
（）
3•任意随机变量均存在特征函数。
（）
n
4.gi（t）（i=1,2-n）是特征函数，|]gi（t）是特征函数。
（）
i=1
5.设X1）X2）X3）X4是零均值的四维高斯分布随机变量，则有
E（X"X2X3X4）"（XMEgXJ+EfXMEgXJ+EgXJEgs）（）
第二章
6•严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。
（）
7•独立增量过程是马尔科夫过程。
（）
&维纳过程是平稳独立增量过程。
（）
AVV*
第二早
9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。
（）
第四章
10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。
（）
11•有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。
（）
12•有限马尔科夫链，若有状态k使一p（『=0,则状态k即为正常返的。
（）
13.设iES，若存在正整数n,使得貴）A0,p-^1>0,则i非周期。
（）
14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。
（）
15.i是正常返周期的充要条件是nimp（in）不存在。
（）
16•平稳分布唯一存在的充要条件是：
只有一个基本正常返闭集。
（）
17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。
（）
18.i是正常返周期的充要条件是”甲卫‘1存在。
（）
19.若iij，则有di=dj（）
20.不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态.
答案
、判断题
分布函数F（x!
x2；1/2,1）。
1.X
2.V
3.V4.
V5.V
6.V
7.V
8.V9.
X
10.V
11.V
12.V
13.V
14.V15.V
16.V
17.X
18.X
19.V
20.V
三、大题
第一章
1.（10分）
—（易）设
X~B（n,p）
，求X的特征函数，并利用其求
EX。
—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,
2.（10分）
变量，均服从标准正态分布，求X（t）的一维和二维分布。
第二早
4.（10分）一（易）设随机过程X（t）=Vt+b,t€（0,+a）,b为常数，V服从正态分布N（0,1）的随机变量，求X（t）的均值函数和相关函数。
5.（10分）一（易）已知随机过程X（t）的均值函数mx（t）和协方差函数Bx（t1,t2）,g（t）为普通函数，令Y（t）=X（t）+g（t），求随机过程丫⑴的均值函数和协方差函数。
6.（10分）一（中）设｛X（t）,t•T｝是实正交增量过程，T二[0,：
：
）,X（0）=0,'是一服
从标准正态分布的随机变量，若对任一t-0,X（t）都与•相互独立，求
Y（t^X（tr,^[0,：
：
）的协方差函数。
7.（10分）一（中）设｛Z（t）二X•Yt,-：
:
:
t「，若已知二维随机变量（X,Y）的协
2「
方差矩阵为J12，求Z（t）的协方差函数。
]p也
8（10分）一（难）设有随机过程{X（t）,tT}和常数a，试以X（t）的相关函数表示随
机过程Y（t）=X（ta）—X（t）,t・T的相关函数。
AVV*
第二早
9.（10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在
8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到
达率为12人/时。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在&
30—9:
30间无顾客到达商店的概率是多少？
在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多
少？
10.（15分）一（难）设到达某商店的顾客组成强度为'的泊松过程，每个顾客购买商品的
概率为p，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0,t）内无人购买商品的概率。
11.（15分）一（难）设X1（t）和X2⑴是分别具有参数'1和'2的相互独立的泊松过程，证明：
丫⑴是具有参数、「2的泊松过程。
12.（10分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居•即
■=2。
如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3,一
户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周
内移民到该地区人口的数学期望与方差。
k
13.（10分）一（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt（k）e「‘，k=0,1,2，…，
k!
其中’0为常数•如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t
内呼叫n次的概率P2t（n）
14.（10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，
求下列事件的概率：
两个顾客相继到达的时间间隔超过2min
15.（15分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个•每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W>2}.
16.（10分）一（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程•设1min内没有车辆通过的概率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。
17.
30人到达,
（10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有
求下列事件的概率：
两个顾客相继到达的时间间隔短于4min
18.（15分）一（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年
或3年的概率分别为1/2、I/3和1/6,且相互独立•设订一年时，可得1元手续费；订
两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费•以X（t）记在［0,t］内得到的总手续
费，求EX（t）与varX（t）
19.（10分）一（易）设顾客到达商场的速率为2个/min，求
（1）在5min内到达顾客数的平均值；
（2）在5min内到达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率.
20.（10分）一（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，
后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率.
21.（15分）一（难）设X（t）和丫⑴（t>0）是强度分别为'x和y的泊松过程，证明：
在X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k个事件发生的概率为
第四章
22.（10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为
0.50.50
P=00.50.5
0.500.5
求三步转移概率矩阵P（3）及当初始分布为
P{X。
=1}=P{X。
=2}=0,P{X°=3}=1
时，经三步转移后处于状态3的概率。
23.（15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放
3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内
取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，则{X（n）,n》0}为齐次
j=0,1,2
24.（10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下:
-
0.8
0.1
0.们
PT（0）=（0.4,0.2,0.4）
P=
0.1
0.7
0.2
0.2
0.2
0.6
求下一、二个月的销售状态分布。
25.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间1={1,2，…，7}，转移概率矩阵为
0.4
0.2
0.1
0
0.1
0.1
0.1]
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P=
0
0
0.4
0
0.6
0
0
0
0
0.2
0.5
0.3
0
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
0
0
0.8
0.2
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26.（15分）一（难）设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间I={1，
2,3,4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单
位）为
27.（10分）一（易）设马尔可夫链的状态空间1={0,1,2,3}，转移概率矩阵为
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
0〕
0
P=
1/4
1/4
1/4
1/4
0
0
0
1
求状态空间的分解。
28.
I={1,2,3,4}.转移概率矩阵为
（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间为
1000
0100P=
1/32/300
J/41/401/2
29.（10分）一（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为
-
1/2
1/2
01
P=
1/2
0
1/2
0
1/2
1/2
求其平稳分布。
30.（15分）一（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是q,和局的概率为r，且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分，负者记一1分.和局记零分。
当有一人获得2分时比赛结束.以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数，则{Xn,n_1}是齐次马尔可夫链.
（1）写出状态空间I;
（2）求出二步转移概率矩阵；
（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率.
31.（10分）一（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的
天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为：
•，而今天无雨明天有雨的概率为：
，规
定有雨天气为状态0,无雨天气为状态I。
因此问题是两个状态的马尔可夫链.设
-■=0.7,：
=0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率.
32.（10分）一（中）设{Xn,n_1}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a,b,c}，转移概率矩阵为
1/21/41/4
P=2/301/3
3/52/50
求
（1）P{Xp=b,X2=c,X3=a,X4=c,X5=a,X6=c,X7=b|X0=c}
（2）P{Xn2二C|Xn二b}
33.（15分）一（难）设马尔可夫链{Xn,n_0}的状态空间1={1,2,…，6}，转移概率矩阵为
1
0
0
1
0
0
01
0
0
0
0
0
1
P=
0
0
0
0
1
0
1/3
1/3
0
1/3
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1/2
0
0
0
1/2一
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
答案
三、大题
0「
1.解：
引入随机变量Xi~i=1,2_n（1分）
qp丿
itXiit0it1it
i（t）二Ee=eqep二peq（3分）
X=Xi~B（n,p）（4分）
i二n
it（^Xi）n
（t）二EeitX二Ee乜Ee"，=（peitq）n（6分）
y
（O^iEX（8分）
tz0
（10分）
2•解：
依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
故联合分布函数为
E[X（t）]二E（A）E（B）t二0
D[X（t）]二D（A）D（B）t2=1t2
所以X（t）服从正态分布N（0,1・t2）（3分）
其次任意固定的ti,t^T,X（tiHABti,X（t2^ABt2
则依n维正态随机向量的性质，X（t1）,X（t2）服从二维正态分布，且
E[X（tJ]=E[X（t2）]=0
D[X（tJ]=1t；D[X（t2）]=1t2（8分）
Cov（X（tJX（t2））=E[X（t」X（t2）]=1tit2
lit21t1t2
所以二维分布是数学期望向量为（0,0），协方差为I122的二维正态分布。
[1+tjt21+t2
（10分）
4•解：
X（t）二Vtb,V~N（0,1），故X（t）服从正态分布，
E〔X（t）丄EVtb」tEVb=b
D〔X（t）l-DVtb-t2DV二t2
均值函数为m（t）二E〔X（t）丄b（4分）
相关函数为R（t1,t2^EX（t1）X（t1^EVt1blVt2bl
=EV%t2V（t「t2）bb2丄ttb2（10分）
5.解：
mY（t）二EY（t）二E[X（t）g（t）]=mx（t）g（t）
（4分）
BY（t1,t2^=RY（t1，切-mY（t1）mY（t2）
二EY（tJY（t2）-mY（t」mY（t2）
二E[X（t1）g（t1）][X（t2）g（t2）]-[mX（t1）g（tJ][mX（t2）g^）]
-RX（t1D-mX（t1）mX（t2）=BX（t1,t2）
（10分）
6•解：
因为｛X（t）,t・T｝是实正交增量过程，故E[X（t）]=0
E[Y（t）]=E[X（t）]E=0（4分）
又因为t_0,X（t）都与相互独立
Cov[Y（s）,Y（t）]二E[Y（s）Y（t）]二E{[X（s）][X（t）]}（6分）
二E[X（s）X（t）]E[X（s）]E[X（t）]E2
=Cov[X（s）,X（t）]1（8分）
-（min{s,t}）1（10分）
7•解：
利用数学期望的性质可得，
CZ（s,t）=E讥X丫9一（5」yS）】I（XYt）-Tx7）t（2分）
二E*X7X）（Ys-ys）7X）（Yt7Yt）B
二E（X-呎）2E〔（X-・.”（丫」丫）1
E（X」x）sdEstD2（8分）
-DX（st）Cov（X,Y）stDY
=；：
】2（st）「st二；（10分）
&解：
RY（ti,t2）=E{[X（tia）-X（ti）][X（t2a）-X（t2）]}（2分）
二E[X（ta）X（t2a）]-E[X（t!
a）X（t2）]-E[X（tJX^a）]E[X（t」X（t?
）]
=RX（t1a,t2a^_RX（t1a,t2RX（t1,t2a）RX（t1,t2）（10分）
9.解：
根据题意知顾客的到达率为
55t0Mt）=<203兰t<5（3分）
|20_2（t_5）5兰tv9
1.5
mX（1・5）—mX（0・5）=（55t）dt=10（6分）
0.5
P{X（1.5）—X（0.5）=0}=e"（10分）
10•解：
设｛X（t）,t-0｝表示到达商店的顾客数，i表示第i个顾客购物与否，即
1第i个顾客购物
匕=丿
0第i个顾客不购物
则由题意知<独立同分布•且与X（t）独立
P（i"）=p,P（i=0）"-p
X（t）
因此，Y（t）=為珥是复合泊松过程，表示（0,t）内购买商品的顾客数，（5分）
7
由题意求
"x（t）
P{Y（t）=0}=P」送=0
li二
z
k=0
'X（t）
P」送件=0,X（t）=k
i7
=Xp{X（t）=klP吃^=0>
LyJ
（10分）
k=0
k=0k!
k=0k!
（15分）
11•证明：
P{Y（t）—Y（t）二n}
二P{Xi（t）X2（t）-Xi（t）-X2（t）二n}
=P{X1（r）-X1（t）x2（t）-X2（t）二n}
n
fP{Xi（t）-Xi（t）=i,X2（t）-X2（t）=n-i}（5分）
i=0
n
P{Xi（t）—Xi（t）=i}P{X2（t）—X2（t）=n—i}
i=0
（1）1-1
（2）n；'2
Vi!
（n-i）!
（10分）
[（i2）]n
n!
n二0,1,2
故Y（t）是具有参数\-r2的泊松过程
（15分）
12.解：
设N（t）为在时间［0,t］内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，Yi表示每户的
N（t）
人数，则在［0,t］内的移民人数X（t）工為Yi是一个复合泊松过程。
i=1
Yi
1
2
3
4
P
1
1
1
1
6
3
3
6
Yi是独立同分布的随机变量，其分布为
EY^dEYi^43
66
（4分）
mX（5）=EN（5）EYj=2515=25
6
（7分）
「x（5）=DN（5）EY；=2543=215
63
（10分）
13•解：
以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为Hk，则P（HQ=
R（k）,
第二时间间隔内P（A|Hk）=R（n-k）成立，于是
n
“（n）八R（k）R（n-k）
kT
n-k
nk
ee-
心k!
（n-k）!
（4分）
en!
n!
k=0k!
（n-k）!
2、n
片Ck
n!
k=0
8分）
n!
10分）
14•解：
由题意，顾客到达数N（t）是强度为
•的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{Xn,n_1}
服从参数为■的指数分布,
fx（x）=£
30x
30e
0
x_0
x:
:
0
（4分）
24=o
P{X60}Fe
J30x.
dx
（10分）
15•解：
设X（t）是t年进入中国上空的流星数,
X（t）为参数’=10000的齐次泊松过程
‘1,第i个流星落于地面
0,第i个流星不落于地面
X（t）
由题意知，、Yj是一个复合泊松过程
i=1
11
EW二EX（t）E¥100000.0001二
1212
2121VarW=VarX（t）EYi1000010.0001=
1212
W是参数为9=1的泊松过程（10分）
P{W_2}=^P{W<1}=1-P{W=0}-P{W=11
16.解:
（1）01
（1）111彳1=1_12。
冠一12=1-e无-1盯（15分）
0!
1!
12
以N（t）表示在［0,t）内通过的车辆数，设{N（t）,t_0}是泊松过程，则
P{N（t）=k}k=0,1,2,（2分）
k!
P{N
（1）=e£；=0.2=二=1n5（5分）
P{N
（2）1}=1_P{N
（2）E1}=1_P{N
（2）=0}_P{N
（2）=1}
一1-e2■e-In5（10分）
525
•的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{Xn,n_1}
17•解：
由题意，顾客到达数N（t）是强度为
（4分）
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