随机过程综合练习新版讲解.docx
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随机过程综合练习新版讲解
随机过程综合练习题
一、填空题(每空3分)
第一章
1.X-X2,…Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为g(t),贝U
Xi・X2•…-Xn的特征函数是。
2.E「E(XY八。
3.X的特征函数为g(t),丫二aXb,则Y的特征函数为。
4•条件期望E(XY)是的函数,(是or不是)随机变量。
5.X1,X2/Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为gi(t),贝y
X1X^Xn的特征函数是。
6.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二早
7•宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
&在独立重复试验中,若每次试验时事件A发生的概率为p(0:
:
:
p:
:
:
1),以X(n)记进行
到n次试验为止A发生的次数,则{X(n),n=0,1,2,…}是过程。
9.正交增量过程满足的条件是。
10.正交增量过程的协方差函数Cx(S,t)二。
AVV*
第二早
11.{X(t),t>0}为具有参数■0的齐次泊松过程,其均值函数为;
方差函数为。
12•设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为'1,'2,'3且均为泊松过程,它
们相互独立,若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时),相邻绿色汽车之间
的不同到达时间间隔的概率密度是,汽车之间的不同到达时刻间隔的
概率密度是。
13.{X(t),t>0}为具有参数'0的齐次泊松过程,
P(ts)-X(s)=nJ=on=0,1,…
14•设{X(t),t>0}是具有参数■0的泊松过程,泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望
是。
15•在保险的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司•若
每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,求一年中保险公司的平均赔付金额o
16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程,每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内
乘客数独立同分布,且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立,则在[0,t]内到达汽车总站的
乘客总数是(复合or非齐次)泊松过程.
17•设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2min内到达的顾客不超过3
人的概率是.
第四章
18.无限制随机游动各状态的周期是o
19.非周期正常返状态称为o
20•设有独立重复试验序列{Xn,n一1}。
以Xn=1记第n次试验时事件A发生,且
=1_p,若有
P{Xn=1}=p,以Xn=0记第n次试验时事件A不发生,且P{Xn=0}
链。
Yn八Xk,n_1,则{Yn,n1}是
k二
答案
、填空题
二、判断题(每题2分)
第一章
n
1.gi(t)(i=1,2-n)是特征函数,hgi(t)不是特征函数。
()
2.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。
()
3•任意随机变量均存在特征函数。
()
n
4.gi(t)(i=1,2-n)是特征函数,|]gi(t)是特征函数。
()
i=1
5.设X1)X2)X3)X4是零均值的四维高斯分布随机变量,则有
E(X"X2X3X4)"(XMEgXJ+EfXMEgXJ+EgXJEgs)()
第二章
6•严平稳过程二阶矩不一定存在,因而不一定是宽平稳过程。
()
7•独立增量过程是马尔科夫过程。
()
&维纳过程是平稳独立增量过程。
()
AVV*
第二早
9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。
()
第四章
10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。
()
11•有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。
()
12•有限马尔科夫链,若有状态k使一p(『=0,则状态k即为正常返的。
()
13.设iES,若存在正整数n,使得貴)A0,p-^1>0,则i非周期。
()
14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。
()
15.i是正常返周期的充要条件是nimp(in)不存在。
()
16•平稳分布唯一存在的充要条件是:
只有一个基本正常返闭集。
()
17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。
()
18.i是正常返周期的充要条件是”甲卫‘1存在。
()
19.若iij,则有di=dj()
20.不可约马氏链或者全为常返态,或者全为非常返态.
答案
、判断题
分布函数F(x!
x2;1/2,1)。
1.X
2.V
3.V4.
V5.V
6.V
7.V
8.V9.
X
10.V
11.V
12.V
13.V
14.V15.V
16.V
17.X
18.X
19.V
20.V
三、大题
第一章
1.(10分)
—(易)设
X~B(n,p)
,求X的特征函数,并利用其求
EX。
—(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,
2.(10分)
变量,均服从标准正态分布,求X(t)的一维和二维分布。
第二早
4.(10分)一(易)设随机过程X(t)=Vt+b,t€(0,+a),b为常数,V服从正态分布N(0,1)的随机变量,求X(t)的均值函数和相关函数。
5.(10分)一(易)已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数Bx(t1,t2),g(t)为普通函数,令Y(t)=X(t)+g(t),求随机过程丫⑴的均值函数和协方差函数。
6.(10分)一(中)设{X(t),t•T}是实正交增量过程,T二[0,:
:
),X(0)=0,'是一服
从标准正态分布的随机变量,若对任一t-0,X(t)都与•相互独立,求
Y(t^X(tr,^[0,:
:
)的协方差函数。
7.(10分)一(中)设{Z(t)二X•Yt,-:
:
:
t「,若已知二维随机变量(X,Y)的协
2「
方差矩阵为J12,求Z(t)的协方差函数。
]p也
8(10分)一(难)设有随机过程{X(t),tT}和常数a,试以X(t)的相关函数表示随
机过程Y(t)=X(ta)—X(t),t・T的相关函数。
AVV*
第二早
9.(10分)一(易)某商店每日8时开始营业,从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在
8时顾客平均到达率为5人/时,11时到达率达到最高峰20人/时,从11时到13时,平均顾客到达率维持不变,为20人/时,从13时到17时,顾客到达率线性下降,到17时顾客到
达率为12人/时。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的,问在&
30—9:
30间无顾客到达商店的概率是多少?
在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多
少?
10.(15分)一(难)设到达某商店的顾客组成强度为'的泊松过程,每个顾客购买商品的
概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关,求(0,t)内无人购买商品的概率。
11.(15分)一(难)设X1(t)和X2⑴是分别具有参数'1和'2的相互独立的泊松过程,证明:
丫⑴是具有参数、「2的泊松过程。
12.(10分)一(中)设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有2户定居•即
■=2。
如果每户的人口数是随机变量,一户四人的概率为1/6,一户三人的概率为1/3,一
户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的,求在五周
内移民到该地区人口的数学期望与方差。
k
13.(10分)一(难)在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt(k)e「‘,k=0,1,2,…,
k!
其中’0为常数•如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的,求在时间2t
内呼叫n次的概率P2t(n)
14.(10分)一(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有30人到达,
求下列事件的概率:
两个顾客相继到达的时间间隔超过2min
15.(15分)一(中)设进入中国上空流星的个数是一泊松过程,平均每年为10000个•每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W>2}.
16.(10分)一(易)通过某十字路口的车流是一泊松过程•设1min内没有车辆通过的概率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。
17.
30人到达,
(10分)一(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有
求下列事件的概率:
两个顾客相继到达的时间间隔短于4min
18.(15分)一(中)某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程,订阅1年、2年
或3年的概率分别为1/2、I/3和1/6,且相互独立•设订一年时,可得1元手续费;订
两年时,可得2元手续费;订三年时,可得3元手续费•以X(t)记在[0,t]内得到的总手续
费,求EX(t)与varX(t)
19.(10分)一(易)设顾客到达商场的速率为2个/min,求
(1)在5min内到达顾客数的平均值;
(2)在5min内到达顾客数的方差;(3)在5min内至少有一个顾客到达的概率.
20.(10分)一(中)设某设备的使用期限为10年,在前5年内平均2.5年需要维修一次,
后5年平均2年需维修一次,求在使用期限内只维修过1次的概率.
21.(15分)一(难)设X(t)和丫⑴(t>0)是强度分别为'x和y的泊松过程,证明:
在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内,Y(t)恰好有k个事件发生的概率为
第四章
22.(10分)一(中)已知随机游动的转移概率矩阵为
0.50.50
P=00.50.5
0.500.5
求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为
P{X。
=1}=P{X。
=2}=0,P{X°=3}=1
时,经三步转移后处于状态3的概率。
23.(15分)一(难)将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中,每个盒子放
3个,现从每个盒子中各任取一球,交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中,乙盒内
取出的球放入甲盒中),以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数,则{X(n),n》0}为齐次
j=0,1,2
24.(10分)一(中)已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下:
-
0.8
0.1
0.们
PT(0)=(0.4,0.2,0.4)
P=
0.1
0.7
0.2
0.2
0.2
0.6
求下一、二个月的销售状态分布。
25.(15分)一(难)设马尔可夫链的状态空间1={1,2,…,7},转移概率矩阵为
0.4
0.2
0.1
0
0.1
0.1
0.1]
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P=
0
0
0.4
0
0.6
0
0
0
0
0.2
0.5
0.3
0
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
0
0
0.8
0.2
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26.(15分)一(难)设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链,状态空间I={1,
2,3,4}是按BOD浓度为极低,低、中、高分别表示的,其一步转移概率矩阵(以一天为单
位)为
27.(10分)一(易)设马尔可夫链的状态空间1={0,1,2,3},转移概率矩阵为
1/2
1/2
1/2
1/2
0
0
0〕
0
P=
1/4
1/4
1/4
1/4
0
0
0
1
求状态空间的分解。
28.
I={1,2,3,4}.转移概率矩阵为
(15分)一(难)设马尔可夫链的状态空间为
1000
0100P=
1/32/300
J/41/401/2
29.(10分)一(易)设马尔可夫链的转移概率矩阵为
-
1/2
1/2
01
P=
1/2
0
1/2
0
1/2
1/2
求其平稳分布。
30.(15分)一(难)甲乙两人进行一种比赛,设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是q,和局的概率为r,且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分,负者记一1分.和局记零分。
当有一人获得2分时比赛结束.以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数,则{Xn,n_1}是齐次马尔可夫链.
(1)写出状态空间I;
(2)求出二步转移概率矩阵;
(3)求甲已获1分时,再赛两局可以结束比赛的概率.
31.(10分)一(中)(天气预报问题)设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的
天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为:
•,而今天无雨明天有雨的概率为:
,规
定有雨天气为状态0,无雨天气为状态I。
因此问题是两个状态的马尔可夫链.设
-■=0.7,:
=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.
32.(10分)一(中)设{Xn,n_1}是一个马尔可夫链,其状态空间I={a,b,c},转移概率矩阵为
1/21/41/4
P=2/301/3
3/52/50
求
(1)P{Xp=b,X2=c,X3=a,X4=c,X5=a,X6=c,X7=b|X0=c}
(2)P{Xn2二C|Xn二b}
33.(15分)一(难)设马尔可夫链{Xn,n_0}的状态空间1={1,2,…,6},转移概率矩阵为
1
0
0
1
0
0
01
0
0
0
0
0
1
P=
0
0
0
0
1
0
1/3
1/3
0
1/3
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1/2
0
0
0
1/2一
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
答案
三、大题
0「
1.解:
引入随机变量Xi~i=1,2_n(1分)
qp丿
itXiit0it1it
i(t)二Ee=eqep二peq(3分)
X=Xi~B(n,p)(4分)
i二n
it(^Xi)n
(t)二EeitX二Ee乜Ee",=(peitq)n(6分)
y
(O^iEX(8分)
tz0
(10分)
2•解:
依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
故联合分布函数为
E[X(t)]二E(A)E(B)t二0
D[X(t)]二D(A)D(B)t2=1t2
所以X(t)服从正态分布N(0,1・t2)(3分)
其次任意固定的ti,t^T,X(tiHABti,X(t2^ABt2
则依n维正态随机向量的性质,X(t1),X(t2)服从二维正态分布,且
E[X(tJ]=E[X(t2)]=0
D[X(tJ]=1t;D[X(t2)]=1t2(8分)
Cov(X(tJX(t2))=E[X(t」X(t2)]=1tit2
lit21t1t2
所以二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为I122的二维正态分布。
[1+tjt21+t2
(10分)
4•解:
X(t)二Vtb,V~N(0,1),故X(t)服从正态分布,
E〔X(t)丄EVtb」tEVb=b
D〔X(t)l-DVtb-t2DV二t2
均值函数为m(t)二E〔X(t)丄b(4分)
相关函数为R(t1,t2^EX(t1)X(t1^EVt1blVt2bl
=EV%t2V(t「t2)bb2丄ttb2(10分)
5.解:
mY(t)二EY(t)二E[X(t)g(t)]=mx(t)g(t)
(4分)
BY(t1,t2^=RY(t1,切-mY(t1)mY(t2)
二EY(tJY(t2)-mY(t」mY(t2)
二E[X(t1)g(t1)][X(t2)g(t2)]-[mX(t1)g(tJ][mX(t2)g^)]
-RX(t1D-mX(t1)mX(t2)=BX(t1,t2)
(10分)
6•解:
因为{X(t),t・T}是实正交增量过程,故E[X(t)]=0
E[Y(t)]=E[X(t)]E=0(4分)
又因为t_0,X(t)都与相互独立
Cov[Y(s),Y(t)]二E[Y(s)Y(t)]二E{[X(s)][X(t)]}(6分)
二E[X(s)X(t)]E[X(s)]E[X(t)]E2
=Cov[X(s),X(t)]1(8分)
-(min{s,t})1(10分)
7•解:
利用数学期望的性质可得,
CZ(s,t)=E讥X丫9一(5」yS)】I(XYt)-Tx7)t(2分)
二E*X7X)(Ys-ys)7X)(Yt7Yt)B
二E(X-呎)2E〔(X-・.”(丫」丫)1
E(X」x)sdEstD2(8分)
-DX(st)Cov(X,Y)stDY
=;:
】2(st)「st二;(10分)
&解:
RY(ti,t2)=E{[X(tia)-X(ti)][X(t2a)-X(t2)]}(2分)
二E[X(ta)X(t2a)]-E[X(t!
a)X(t2)]-E[X(tJX^a)]E[X(t」X(t?
)]
=RX(t1a,t2a^_RX(t1a,t2RX(t1,t2a)RX(t1,t2)(10分)
9.解:
根据题意知顾客的到达率为
55t0Mt)=<203兰t<5(3分)
|20_2(t_5)5兰tv9
1.5
mX(1・5)—mX(0・5)=(55t)dt=10(6分)
0.5
P{X(1.5)—X(0.5)=0}=e"(10分)
10•解:
设{X(t),t-0}表示到达商店的顾客数,i表示第i个顾客购物与否,即
1第i个顾客购物
匕=丿
0第i个顾客不购物
则由题意知<独立同分布•且与X(t)独立
P(i")=p,P(i=0)"-p
X(t)
因此,Y(t)=為珥是复合泊松过程,表示(0,t)内购买商品的顾客数,(5分)
7
由题意求
"x(t)
P{Y(t)=0}=P」送=0
li二
z
k=0
'X(t)
P」送件=0,X(t)=k
i7
=Xp{X(t)=klP吃^=0>
LyJ
(10分)
k=0
k=0k!
k=0k!
(15分)
11•证明:
P{Y(t)—Y(t)二n}
二P{Xi(t)X2(t)-Xi(t)-X2(t)二n}
=P{X1(r)-X1(t)x2(t)-X2(t)二n}
n
fP{Xi(t)-Xi(t)=i,X2(t)-X2(t)=n-i}(5分)
i=0
n
P{Xi(t)—Xi(t)=i}P{X2(t)—X2(t)=n—i}
i=0
(1)1-1
(2)n;'2
Vi!
(n-i)!
(10分)
[(i2)]n
n!
n二0,1,2
故Y(t)是具有参数\-r2的泊松过程
(15分)
12.解:
设N(t)为在时间[0,t]内的移民户数,其是强度为2的泊松过程,Yi表示每户的
N(t)
人数,则在[0,t]内的移民人数X(t)工為Yi是一个复合泊松过程。
i=1
Yi
1
2
3
4
P
1
1
1
1
6
3
3
6
Yi是独立同分布的随机变量,其分布为
EY^dEYi^43
66
(4分)
mX(5)=EN(5)EYj=2515=25
6
(7分)
「x(5)=DN(5)EY;=2543=215
63
(10分)
13•解:
以A记时间2t内呼叫n次的事件,记第一时间间隔内呼叫为Hk,则P(HQ=
R(k),
第二时间间隔内P(A|Hk)=R(n-k)成立,于是
n
“(n)八R(k)R(n-k)
kT
n-k
nk
ee-
心k!
(n-k)!
(4分)
en!
n!
k=0k!
(n-k)!
2、n
片Ck
n!
k=0
8分)
n!
10分)
14•解:
由题意,顾客到达数N(t)是强度为
•的泊松过程,则顾客到达的时间间隔{Xn,n_1}
服从参数为■的指数分布,
fx(x)=£
30x
30e
0
x_0
x:
:
0
(4分)
24=o
P{X60}Fe
J30x.
dx
(10分)
15•解:
设X(t)是t年进入中国上空的流星数,
X(t)为参数’=10000的齐次泊松过程
‘1,第i个流星落于地面
0,第i个流星不落于地面
X(t)
由题意知,、Yj是一个复合泊松过程
i=1
11
EW二EX(t)E¥100000.0001二
1212
2121VarW=VarX(t)EYi1000010.0001=
1212
W是参数为9=1的泊松过程(10分)
P{W_2}=^P{W<1}=1-P{W=0}-P{W=11
16.解:
(1)01
(1)111彳1=1_12。
冠一12=1-e无-1盯(15分)
0!
1!
12
以N(t)表示在[0,t)内通过的车辆数,设{N(t),t_0}是泊松过程,则
P{N(t)=k}k=0,1,2,(2分)
k!
P{N
(1)=e£;=0.2=二=1n5(5分)
P{N
(2)1}=1_P{N
(2)E1}=1_P{N
(2)=0}_P{N
(2)=1}
一1-e2■e-In5(10分)
525
•的泊松过程,则顾客到达的时间间隔{Xn,n_1}
17•解:
由题意,顾客到达数N(t)是强度为
(4分)