48能控标准形和能观标准形.docx
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48能控标准形和能观标准形
4.8能控标准形和能观标准形
4.8.1系统的能控标准形
Ax+bu
y=Cx
式（4・8・2）中,系统矩阵和输入矩阵对（A，B）具有标准
结构（列向量B中最后一个元素为而其余元素为零;4为友矩阵。
），易证与其对应的能控性判别矩阵％是一个主对角元素均为1的右下三角阵，故det（t/c）/O,rank（t/c）=n9即系统一定能控。
因此，若单输入系统状态空间表达式中的系统矩阵和输入矩阵对（4，B）具有形如式（4・8・2）中的标准形式，则称其为能控标准型,且该系统一定是状态完全能控的。
一个能控系统，当其系统矩阵和输入矩阵对（4,B）
不具有能控标准型时，一定可以通过适当的线性非奇异变换化为能控标准型。
左理4.8.1如果系统毎雇能控的，那么必存在
—非奇异变换
使惑换成能控标准形
4船bcu
线性变换矩阵
p=
Pi~pA
M
例4.&1线性定常系统
_1-1
T
X+
10_
丄
j&=
U
能控性矩阵
1
1-1
0
-1
p{A]|_10J1
-1
0
A=PAP~[=
c
-1
0
0
1
bc=Pb=
-1
0
推论1:
设单输入线性定常系统
Ax+bu
能控，式中A,方分别为心—x1矩阵，且系统的特征多项式为
|/1/—?
1|=2"+Q］久1+A++cin
则可通过非奇异线性变换
x-Tx
11-1
M
T=[bAbL
c_
ii-2
N
N
将式（4.8.1）变换为能控标准型
Ac^/drbrU
cc
式中
■0
0
1
0
0
1
L
L
A=T'AT=
M
M
M
0
ccc
0
0
0
L
-a
_n
h
~an-2
L
0
0
0
0
be=T：
b=M;Cc=CT=[AA-i1-A]
实现能控标准型变换的核心在于构造非奇异变换阵。
可以证明，引入非奇异变换x=Tcxf将状态完全能控的单输入系统式（4.&1）变换为能控标准型式（4.&2）的变换矩阵T的逆矩阵可表达为
C
P1
M
【例】试将下列状态空间表达式变换成能控标准型,并求系统的传递函数
「12O~
~2~
<
3-11
x+
1
020
1
y=[O0l]x
解:
变换前系统能控判别矩阵
卩416'
Qc=\BABA2b]=168
1212
因为rankgc=3=/7,故系统是能控的，可化为能控标准型。
又因为系统的特征多项式为
det[2Z-A]=|A/-A|=A3-9A+2
故％=0,也二_9,°3=2
也可根据定理&1先求变换阵Tc的逆矩阵I；"=
卩=[°
1]*
16
=[00
1]
12
-2
=[00
1]
-242
-161
321
变换后所得能控标准型为
其中ac=t-1atc=
"0
1
0_
0
0
1
Be=T；lB=
-2
9
0
9
0
0
J元+仪%
元
4・&2系统的能观标准形
g=Ax+bu
y=cu
"0
0
0
L
0
~an
1
0
0
L
0
~an-l
A=
0
1
0
L
0
~an-2
c=[O00L
M
M
M
0
M
M
0
0
0
L
0
_a?
0
0
0
L
1
~a\
0
式（4.8.19）中，系统矩阵和输出矩阵对（A,C）具有标准
结构（行向量C中最后一个元素为1,而其余元素为零;
A为友矩阵的转置），易证与其对应的能观测性判别矩
阵卩。
的行列式dett/工0，故rankU°=”,即系统一定能观测。
若单输出系°统状态空间表达式中的系统矩阵和输出矩阵对（A,O具有形如式（4.8.19）中的标准形式，则称其为能观测标准型，且该系统一定是状态完全能观测的。
一个能观测系统,当其系统矩阵和输出矩阵对
（A,C）不具有能观测标准型时,一定可以通过适当的非奇异变换化为能观测标准型。
定理4•&2如果系统是能观测的,那么必存在_
非奇异变换兀=鹅系统变换为能观标准形
^AnWdrbu
oo
y=c。
璇
T=\r{AT,A
例4•&2
.&=
-1
2兀
y=j
能观性矩阵
U。
~11
C
cA
=
-1
2
-1
0
1
C
-i
-1
cA
1
-1
2
0
-1
"忆的］=
推论2：
设单输出线性定常系统
Ax+Bu
（y=Cx
能观测，式中A,C分别为HXH,1XH矩阵，且系统的特征多项式为
|^,Z—=久"+Q］久"J+A+久+CLn
则存在线性非奇异变换
X=Tox
变换矩阵To的逆矩阵
41
an-2
A
a{
r
■C■
仏2
an-3
N
1
CA
M
N
N
M
a{
1
0
CAn~2
_1
CAn-l_
np—1
10
将式（4.8.15）变换为能观测标准型（4•&19）o
其中aq=t^atq=
Bo=T：
'B=oo
0
0
A
0
~an
1
0
A
0
一an-\
0
1
A
0
_an-2
M
M0
M
M
0
0
A
1
一Q]
Pn
A,-!
M
A
与能控的单输入系统能控标准型变换对应，可以证明，引入非奇异变换x=Tox，将状态完全能观测的单输出系统（4・8•⑸变换为能观测标准型式（4.8.193）的变换矩阵To,由定理8.2中的构造方法与推论2中的构造方法是等效的。
即
【例】试将状态空间表达式变换为能观测标准型
「120_
2
4
3-11
X+
1
<
020
1
7=[°0止
C
0
0
1
u=
O
cA
=
0
2
0
cA2
6
-2
2
因为畑=故系统是能观测的，可化为能观测标准型。
引入工=7；元，其中非奇异变换阵心的逆矩阵
也可根据定理8.2先确定变换阵人,再由矩阵求逆得T：
^
3
_C_
-11--1
0
0
0
1T1
0_
T严
CA
0
——
0
2
0
0
CA2
1
6
-2
2
1
AT；
o
1
ro_
6
0
——
0
0
-—1
6
1
2
0
-7
0
变换后所得能观测标准型为
[^=Aox+Bou[y=cox
_00-2
其^,A0=T；lAT0=109
010
一C7>[00
1]
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