解几离心率求解的基本方法.docx
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解几离心率求解的基本方法
解几求解离心率的基本方法
设椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭
圆上存在点P,使
解法1：
利用曲线范围
设P（x，y），又知
，求离心率e的取值范围。
，则
将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得
解法2：
利用二次方程有实根由椭圆定义知
解法3：
利用三角函数有界性
记
解法4:
利用焦半径由焦半径公式得
解法6:
巧用图形的几何特性
为直径的圆上。
P
由，知点P在以
又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点故有
由此可得e•［二，1）
2
水深火热的演练
、直接求出a,c或求出a与b的比值，以求解e。
1
3.若椭圆经过原点，且焦点为F1（1,0）,F2（3,0）,则椭圆的离心率为一
_2_
4.已知矩形ABCDAB=4,BC=3，则以AB为焦点，且过CD两点的椭
1
圆的离心率为。
2
22
5.若椭圆笃•与=1,（ab0）短轴端点为P满足PR_PF2，则椭ab
圆的离心率为e=
2
1
mn取得最小值时，
2
6..已知1（mO.n0）则当
mn
的的离心率为
22
7.椭圆X2£-1（ab0）的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点
ab
分别为M,N，若MN<2IF1F2,则该椭圆离心率的取值范围是
"丿
8.已知F1为椭圆的左焦点，AB分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆
血上的点，当PF丄F1A,PO//ABO为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。
2
22
9.P是椭圆于計（a>b>。
）上一点，％F2是椭圆的左右焦点，已知
ZPFF2F扌F2FZF1PF^3/,椭圆的离心率为e=J3—1
10.已知F「F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若
J6
-PF1F2=15PF2F1=75，则椭圆的离心率为—
3
22
13.椭圆Xy-=1（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B（O,b）,若右焦点F
a2b2
到直线AB的距离等于1IAFI,则椭圆的离心率是-。
23
22
14.椭圆笃•%=1（a>b>0）的四个顶点为A、B、CD,若四边形ABCD
ab
15.已知直线L过椭圆
如果坐标原点到直线
=1（a>b>0）的顶点A（a,0）、B（0,b）,
a
L的距离为一，则椭圆的离心率是
2
22
XV
16.在平面直角坐标系中，椭圆—=1（a>b〉o）的焦距为2，以o
ab
广2、
为圆心，a为半径作圆，过点—,0作圆的两切线互相垂直，则离心
\、&丿
率e=——
2
22
（A）
A.必在圆x2y^2内
C.必在圆x2•v2=2外
、构造a,c的齐次式，解出e
E.必在圆xv=2上
D.以上三种情形都有可能
XV
17.设椭圆一22=1（ab0）的离心率为
ab
方程ax2•bx-c=0的两个实根分别为
1•已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
2•以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M
N两点，椭圆的左焦点为直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是
.3-1
F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1-MF2=0的点M总在椭圆
内部,
42
则椭圆离心率的取值范围是（0,——）
2
2.已知
R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且•FiPF2=90,椭圆离心率e的取值范围为|——1
：
2，J
3.已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且•F1PF2=60,
_1）
椭圆离心率e的取值范围为,1
IL2
22
4.设椭圆笃*每=1（a>b>0）的两焦点为R、F2,若椭圆上存在一点Q
ab
使/FQF=120o，椭圆离心率e的取值范围为
3
5•在△ABC中，AB^BC，边…箱•若以A，B为焦点的椭圆
经过点C，则该椭圆的离心率
_xy_
6•设Fi,F2分别是椭圆—2-1（ab0）的左、右焦点，若在其
ab
右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值
3
范围是'丄，
]3丿
7.如图，正六边形一ABCDEF勺顶点AD为一椭圆的两个焦点，其余四个顶
点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是“3-1
关于双曲线离心率
、利用双曲线性质
22
例1设点P在双曲线务-§=1（a0,b0）的左支上，双曲线两焦点
ab
为Fi、F2,已知|PF1|是点P到左准线I的距离d和|PF2|的比例中项，求
双曲线离心率的取值范围。
解析：
由题设1PFZ^1得1T=囂。
由双曲线第二定义
|PF,||PF2|a-ex
1e得：
2e，由焦半径公式得：
e，则
d|PF,|aex
x=_（12e）a__a，即e2-2e-1_0,解得1-e<12。
e-e
归纳：
求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再
22
利用性质：
若点P在双曲线务-与=1的左支上则x_-a；若点p在双ab
22
曲线务一%二1的右支上则x_a。
ab
二、利用平面几何性质
22
例2设点P在双曲线笃—每=1（aq0,b>0）的右支上，双曲线两焦
ab
点Fi、F2,IPF|=4IPF2I，求双曲线离心率的取值范围。
解析：
由双曲线第一定义得：
〔PF,|-|PF2|=2a，与已知|PF,4|PF2|
联立解得：
82
|PF,|a,|PF2|a，由三角形性质|PF,|•〔PF?
|-厅也|得：
33
825
aa-2c解得：
1：
：
：
e艮
333
归纳：
求双曲线离心率的取值范围时可利用平面几何性质，如“直角三角形中斜边大于直角边”、“三角形两边之和大于第三边”等构造不等式。
三、利用数形结合例3（同例2）解析：
由例2可知：
82
IPF1|a,|PF2|a，点P在双曲线右支上由图1可知：
33
82
|PRc•a，|PF2|_c-a，即一a_c，a,—a_c_a，两式相加得:
33
55
a_c，解得：
1：
：
：
e乞一。
3
四、利用均值不等式
点为f、f2，巴丄最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围。
IPF2I
解析：
应'PF212a）2F2I土4a_8a，由均值
IPF2IIPF21IPF2I
定理知：
当且仅当IPF2I=2a时取得最小值8a，又IPF2I_c-a所以
2a_c「a，贝U1：
：
：
e乞3。
五、利用已知参数的范围
例5（2000年全国高考题）已知梯形ABCD中,IAB2ICDI,点E分有向线段AC所成的比为■，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为
23
焦点，当时，求双曲线离心率的取值范围。
34
解析：
如图2建立平面直角坐标系，设双曲线方程为
22
XT-y7=1（a0,b0）,设A（-c,0）、B（c,0）、C（二h）、E（x°,yo）ab2
E两点坐标分别代入双曲线方程得
e2-1e22
解得.7，由已知
六、利用直线与双曲线的位置关系
2
例6已知双曲线飞—y2=1（a■0）与直线|:
x•y=1交于P、Q
a
两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
解析：
把双曲线方程和直线方程联立消去x得
（1-a2）y2-2y，1-a2=0,1-a2=0时，直线与双曲线有两个不同的交
点则:
0，江=4—4（1—a2）2=4a2（2—a2）0，即a2：
：
2且a=1，
七、利用点与双曲线的位置关系
2
例7已知双曲线令-y2=1（a0）上存在p、q两点关于直线
a
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