江苏省高等数学竞赛试题汇总.docx
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江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）
填空题（每题4分，共32分）
sinxsin（sinx）lim
x0sinx
6.圆
J:
yZ20的面积为
2z24x2y2z19
.（10分）
b
设f（x）在a,b上连续，且bf（x）dx
a
af（x）dx0.
3.（10分）已知正方体ABCDAB1CQ1的边长为2，E为DQ的中点，F为侧面正方形
BCCiBi的中点，
（1）试求过点A,E,F的平面与底面ABCD所成二面角的值。
（2）试求过点
A,,E,F的平面截正方体所得到的截面的面积.
四（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使得
梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分cos2xsin2ydxdy，其中D:
x2y21,x0,y0
D
2
六、（12分）求x2yexdxx1ydy，其中为曲线2x2x从o0,0
xy2x1x2
到A1,1
7.（12分）已知数列an单调增加，ai1,a22@5丄©i3ana*1
1
n2,3,L，记Xn丄，判别级数Xn的敛散性•
ann1
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）
一填空题（每题4分，共32分）
sinxsin（sinx）
1.Iim''
x0
5.
1xx,
2edx
x
1
设fx在0,1上连续，且°f（x）dx
eax对一切正数x成立，求常数a的最小值三.（10分）
1、、
0xf（x）dx，求证：
存在点0,1，使得°f（x）dx0.
4.（12分）求广义积分
21x4
五.（12分）过原点0,0作曲线y
Inx的切线，求该切线、曲线yInx与x轴所围成
的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.
六、（12分）已知ABCD是等腰梯形，BC//AD,ABBCCD8,求AB,BC,AD的长，使
得梯形绕AD旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分cos2xsin2ydxdy，其中D:
x2y21,x0,y0
2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）
一•填空题（每题5分，共40分）
穷小的阶数最高。
p
3.『sin2xcos4xdx=
4.通过点（1,1,-1）与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为
6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，贝U蝌arctanydxdy=
D
xy）dy=
7.设G为x2+y2=2x（y?
0）上从0（0,0）到A（2,0）的一段弧，贝UQ（yex+x）dx+（ex-
Y
，收敛域为
8.幕级数?
nxn的和函数为
■
n=1
-（8分）设数列｛xn｝为X1=3,x2=<3-3,L,xn+2=*3-3+xn（n=1,2,L）
证明：
数列｛禺｝收敛，并求其极限
maTf（x）l?
1
b-a
b
蝌f（x）dx
f/（x）dx
三.（8分）设f（x）在［a,b］上具有连续的导数，求证
四.（8分）1）证明曲面S:
x=（b+acosq）cosj,y=asinq,z=（b+acosq）sinj
（0#q2p,0#j2p）（02）求旋转曲面S所围成立体的体积
5.（10分）函数u（x,y）具有连续的二阶偏导数，算子A定义为
1）求A（u-A（u））；2）利用结论1）以x=',h=x-y为新的自变量改变方程
x
2抖Ucu2?
u
x2+2xy+yr=0的形式
执x抖/y
、1tt2
6.（8分）求呱!
君蝌dxsin（xy）dy
7.（9分）设S:
x2+y2+z2=1（z?
0）的外侧，连续函数
求f（x,y）
8.（9分）求f（x）=x"x-3）的关于x的幕级数展开式
（x-1）3（1-3x）
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）
一.填空（每题5分，共40分）
4.已知点A4,0,0,B（0,2,0）,C（0,0,2）,O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面万程为
5.设由xzeyz确定zz（x,y），贝Udze,0
6.函数fx,yexaxby2中常数a,b满足条件时，f1,0为其
极大值.
7.设是yasinx（a0）上从点0,0至U,0的一段曲线，a时，曲线积分
22
xydx2xyeydy取最大值.
8.级数1n1n1pn条件收敛时，常数p的取值范围是
n1np
二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若
开车的最大速度为100公里/小时，求证：
该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200公里/小时3
（10分）曲线的极坐标方程为1cos0，求该曲线在所对应的点
24
的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积四（8分）设f（x）在,上是导数连续的有界函数，fxfx1,
求证：
fx1.x,
五（12分）本科一级考生做：
设锥面z23x23y2（z0）被平面x3z40截下的有限
部分为•
（1）求曲面的面积；
（2）用薄铁片制作的模型，A（2,0,Z3）,B（1,0—3）为
上的两点，O为原点，将沿线段OB剪开并展成平面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.
本科二级考生做：
设圆柱面x2y21（z0）被柱面zx22x2截下的有限部分为.为计
算曲面的面积，用薄铁片制作的模型，A（1,0,5）,B（1,0,1）,C1,0,0为上的三点，将
沿线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.
六（10分）曲线
x22z
X2z绕z轴旋转一周生成的曲面与z1,z2所围成的立体区域记为，
y0
本科一级考生做
1
—222dxdydz
xyz
本科二级考生做
x2y2z2dxdydz
收敛域也为1,1；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反
例说明.
本科二级考生做：
求幂级数.1个x汽的收敛域与和函数
.填空（每题5分，共40分）
11222Ln2
.n"mn312n322n3n2
x1t2
2.lim3et1dt
x00x3
3.lim一—3x―2axb0，则a,b
4.
x
极大值.
民办本科做：
设圆柱面x2y2
1（z
0）被柱面z
2x
2截下的有限部分为.为计算曲
数连续，但二阶导数不存在.
面的面积，用薄铁片制作
的模型，A（1,0,5）,B（1,0,1）,C1,0,0为上的三点，将沿
线段BC剪开并展成平面图形D，建立平面在极坐标系，使D位于x轴正上方，点A坐标为
0,5，写出D的边界的方程，并求D的面积.
七（9分）本科一级考生做：
用拉格朗日乘数法求函数
2
fx,yx
、.2xy2y2在区域
x22y4上的最大值与最小值.
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
.填空（每题5分，共40分）
2.
3.
一，时，fx的表达式
2
2
tanx
limsinx
x—
2
nnin
lim22L22
nn21n24n2n2
5.
x
e1x2dx
x
xe
7.设fx,y可微，f1,2
2,fx1,23,fy1,2
x,fx,2x
，则
.（10分）设fx
在a,b上连续，fx在a,b内可导,
f（a）
b
a,，a
丄b2
2
求证：
a,b内至少存在一点使得f
1）
试将P,Q的距离PQ表示为t的函数;
2）
求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
（10分）
已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x
2y+z=12上求一点M，使PM
+MQ最小
（10分）
求幕级数
1
n1n3n
xn的收敛域。
（10分）
设fx,y可微，f
1,2
2,fx1,22,f,
1,23，
xffx,2x,2fx,2x，
2
（10分）求二次积分d
0■2
2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
.填空（每题5分，共40分）
一，时，fx的表达式.
2
3.
lim
x—
2
2
tanx
sinx
4.
lim
n
n
n21
5.
xx2ln
x
6.
e1x2dx
x
xe
x
1,1
zarctan—,dzy
8.
0x1
其他，、
，则
fyfxydxdy.
D
bInn
2.（10分）设fx在a,b上连续，fx在a,b内可导，f（a）a,,fxdx-b2a2,
a2
求证：
a,b内至少存在一点使得ff1
3.（10分）设D:
y2x24,yx,2xy4，在D的边界yx上任取点P,设P到原点
距离为t，作PQ垂直于yx，交D的边界y2x24于Q
1）试将P,Q的距离PQ表示为t的函数；
2）求D饶yx旋转一周的旋转体的体积
四（10分）设fx在,上有定义，fx在x0处连续，且对一切实数X1,X2有
fx.）x2fxfx2，求证：
fx在，上处处连续。
1五（10分）上k为常数，方程kx-10在0,恰有一个根，求k的取值范围。
x
六（10分）已知点P（1,0,-1）,Q（3,1,2）,在平面x-2y+z=12上求一点M，使|PM|+|MQ最小
七（10分）求幂级数”爲八的收敛域
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
.填空（每题5分，共40分）
x-.[X
c0，则k
’ee
1.limkc
2.
C.若limfx
x
则fx在1,
上无界
x0xk
5.曲线
2
zx
22
xy
2
y，在点1,1,2的切线的参数方程为
2y
6.设z
—gex,siny,f有二阶连续导数,
x
g有二阶连续偏导数,
2
则一
xy
1
7.交换二次积分的次序dx
0
3x
x2fx,ydy
8.幕级数11L1xn
n12n
的收敛域
.（8分）设fx在0,
上连续，单调减少,
ba
求证aof（x）dxbof（x）dx
.（8分）设fx在a,b
上连续,
b
f（x）dxa
b
f（x）exdx0,求证：
fx在a,b内至a
少存在两个零点.
四.（8分）求直线x1
2
所包围的立体的体积.
z绕y轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与y0,y2
1
五.（9分）设k为常数,
试判断级数
n
1
~2n2nInn
的敛散性，何时绝对收敛？
何时条件收敛?
何时发散?
六.（9分）设fx,y
yarctan——
」x22
0
可偏导性？
可微性.
七.（9分）设fu在u
0可导，f
、1
求tlim0臣
222
xyzdxdydz
八.（9分）设曲线AB的极坐标方程为
x,y
0,0
x,y
0,0
2
2
:
x
y
cos
0,
1
2
z22tz,
讨论fx,y在点0,0处连续性,
，一质点P在力F作用下
2
沿曲线AB从A0,1运动到B0,1,力F的大小等于
P到定点M3,4的距离，其方向垂直
于线段MP，且与y轴正向的夹角为锐角，求力F对质点P做得功.
2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
.填空（每题5分，共40分）
x
’ee
1.limkc
x0xk
c0，则k
2.设fx在1,
上可导，下列结论成立的是
A.若limf
x
x在1,
上有界
B.若limf
x
x在1,
上无界
C.若limf
x
x在1,
上无界
3.设由ey
yx1x确定y
y（x），则y
4.arcsinx
arccosxdx
5.
4
dx
、x1x
6.设z
ygex,siny，f有二阶连续导数,
x
g有二阶连续偏导数,
2
则一z
xy
7.交换二次积分的次序
1
dx
0
x,ydy
8.函数fx,y2xy」1满足方程
y25的条件的极大值为
极小值为
.（8分）设fx在0,上连续,
单调减少，0
、b
求证a0f（x）dxb
a
0f（x）dx
.（8分）设fx
kxsinx，1）若k1，求证f
上恰有一个零点;
上恰有一个零点，求常数
k的取值范围.
1sinx,dx
1cosx
yarctan’
五.（9分）设fx,y.x2
=2x,y
y
讨论f
x,y在点
0,0
处连续性,
0
x,y
0,0
可偏导性？
可微性.
六.（8分）设zfx,y，xy，
f的二阶偏导数连续，
可导，
y
0
d2
求全导数
dx
1
求lim41
t0t4
D
fx2y2ydxdy
七.（9分）设fu在u0可导，f00,D:
x2y22tx,y0,
八.（9分）求
D
sinxydxdy,D:
x0,y0,xy
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）
.填空（每题3分，共15分）
.1.设fxx
2.
x
..xxlim
x1lnxx1
3.
4.
已知df
dx
14
x
5
x
x2
1，则f
x
4dx
1
5..设z
zx,y
由方程Fy,Z0确定（F为任意可微函数），
xx
贝Ux~y—
xy
二选择题（每题3分，共15分）
1
2x1
1.对于函数y牛」，点x0是（）
2x1
A.连续点；B.第一类间断点；C.第二类间断点；D可去间断点
2
3.已知函数yfx对一切x满足xfx3xfx1ex，若fx（）0（x00），则（）
A.fxo是fx的极大值；B.Xo,fX。
是曲线yfx的拐点;
C.fx。
是fx的极小值；
Dfxo不是fx的极值，xo,fX。
也不是曲线yfx的拐点3.
A.
等于1；B.等于0；C.等于1；D不存在，但也不是
C.沿任意方向的方向导数存在；D极限不一定存在，也不一定连续
这两个零点之间的零点。
1
1x
1
x
1e
八（8分）过抛物线yx2上一点a,a2作切线，问a为何值时所作的切线与抛物线
yx24x1所围成的平面图形面积最小
九（8分）求级数nx1n的收敛域及和函数.
n1
十（8分）设fx在a,b上连续且大于零，利用二重积分证明不等式:
bb1
fxdxdxba
aafx
十一（8分）计算曲线积分Ix44xy3dx6x2y25y4dy，其中L为曲线y2x3
L5
上点A（2,1）沿逆时针方向到该曲线上点B3,0的一段曲线。
十二（8分）计算曲面积分4zxdydz2zydzdx1z2dxdy，其中为曲面zey（0ya）
绕z轴旋转一周所成曲面之下侧
2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）
.填空（每题3分，共15分）已知d-f
dx
1
xsinxdx
二选择题（每题
3分，共15分）
2x
1.函数fx
e—1，的可去间断点为（
x1
A.x0,1；B.x1；C.x0；D无可去间断点
11y
2.改变积分次序dy2fx,ydx（）
0y21
1JTT0^/T"x11x
A.1dx仃fx,ydy；B.1dx0fx,ydy0dx0fx,ydy；
极大值
e
B.
2
（6分）
设lim
ln1
x0
（6分）
设z
（1
（6分）
设fX,g
xgx
fx
g
C.不取极大值;
x在a,b上连续，在
x0，证明若fx在
D极小值e
dx
2，求常数a,b。
lnx
a,b内可导且对于a,b一切x均有
a,b内有两个零点，则gx至少存在一个介于
A.
四
五
xy）y，求dz1,1
xaxbx2
X2t2edt
0
极小直;；
这两个零点之间的零点。
yx24x1所围成的平面图形面积最小。
x
八（6分）当x0时，Fx0x2t2ftdx的导数与x2为等价无穷小，求f0
九（8分）求幕级数2n1x2n1的收敛域及和函数.
n1
十（8分）将fxarctan―x展开为x的幕级数，并指出收敛区间。
1x
5
（8分）求务^dx。
x1
ft2x2y2f、、x2y2dxdyt4，求fx
x2y2t2
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