格里菲斯强度理论关于脆性断裂和最终破坏的研究.docx
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格里菲斯强度理论关于脆性断裂和最终破坏的研究
岩石破坏发生和最终的脆性断裂
第一部分各向同性岩石
K.巴伦
加拿大阿尔伯达州卡尔加里区矿山资源和能源部
（1970年10月16日收录）
摘要：
根据格里菲斯原始的理论或者麦克林托克和沃尔什修正过后的格里菲斯理论，假设两个摩擦系数可以控制各向同性岩石的脆性断裂的发生和最终的破坏。
在这个假设的基础上，格里菲斯原始理论和修正理论都进行了重新考虑，同时描述岩石断裂发生和最终破坏的标准连同有效性的限制都已经被导出。
实验结果用来检验前面假设的实用性。
比较实验和理论结果显示，这种分析在三种实验岩石的两种都是使用的。
对于第三种情况，韧性行为排除了能够导出脆性断裂方程的应用。
关键词：
脆性断裂；各向同性岩石；断裂发生；最终破坏。
1.背景简介
格里菲斯[1]和其修正的断裂理论[2]假设断裂发生在单一、张开或者闭合的岩石物质微裂缝的顶端这种应力条件[3,4]。
闭合裂隙断裂的发生是由裂隙面上的静摩擦力系数μA决定的。
霍克[4]进行了一项调查，他将现有的岩石最终破坏的数据和格里菲斯修正理论关于断裂发生的表达进行比较，见图1。
从调查中可以得出，倘若对于每种物质一个明智的内摩擦系数被选择，那么最终破坏的实验结果和修正理论的断裂发生标准就能够相互吻合。
霍克的最终破坏理论可以考虑为一种很多‘有效单裂纹顶’端断裂发生情况的模拟，同时这个理论是由一些与修正理论有关系的‘有效摩擦系数’μE所决定的。
这个理论可以被清楚的理
解：
它并没有推导出在真实的岩石中这些有效裂纹真的存在；只是物质的破坏可以描述为好像它们真的存在一样。
静摩擦系数μA，在裂纹表面在另一表面滑动之前必须克服。
对于大多数岩石，静摩
擦系数的范围大概在0.5-0.9之间，同时对于任意一种岩石，静摩擦系数在不同的面上的区别令人惊讶的很小[5]。
因此推断出任何两个相互不连接的岩石表面上的静摩擦力系数可以给出闭合格里菲斯裂纹面上作用的大致合理估计。
同样也可以推断出μA不会超过整体。
有效摩擦系数μE，并不是一个传统的摩擦力系数，它只是让格里菲斯修正理论在断
裂发生时的应力满足样品最终破坏应力的一个所需数值。
它应该比静摩擦系数μA要大，它
可能会超过整体同时它的数值由最终破坏的摩尔圆包络线的斜率来确定。
这两种摩擦系数的概念容许格里菲斯理论里面描述的样品破坏的上下限。
这两个摩擦系数可以在不同的岩石的组成上应用，首先可以应用于初始闭合裂隙，其次对于初始张开裂隙并始终保持张开也可以应用。
2.包含初始闭合裂隙岩石的脆性断裂发生和最终破坏的标准
首先考虑格里菲斯修正理论，在闭合裂隙的顶端临界方向断裂发生的标准可以表示
为[4]如下形式：
σ1D=
（1）
这里的σ1D表示断裂发生时的最大主应力，如果σ3D表示断裂发生时的最小主应力，
则kD可以按下式表示出：
kD=
σ3Dσ1D
。
注意本文章以压应力为正。
同样地，如果把最终的破坏考虑成有效裂纹的产生，最终破坏准则可按下式写出：
σ1F=
（2）
这里的下标F代表的是最终破坏发生时的情况。
从实际应用的角度，选择单轴抗压强度而不是单轴抗拉强度作为材料的基本参数。
从等式
（2）可以推出，如果另kF=0，则σc和σt可以通过下式联系起来：
σc=
（3）
因此，将等式（3）代入等式
（1）、
（2）可得以下两式：
σ1D=
和
μeσc
（4）
σ1F=
2.1有效范围
（a）上限。
μeσc
（5）
有关等式
（2）的实验表明kF必须大于一个数值，才能保证最终破坏的时候所需的
σ1F不会趋近于无穷大。
（也就是说永远不会发生最终破坏）这个kF的数值可以按照如下形
式表达：
kF=
（6）
同样地，也会有一个kD的上限才能保证断裂的发生，可按照下式表示：
kD=
（7）
更进一步地，由于μe≥μA，在k的持续性试验中，k一定有一个范围，此时样品会
发生断裂但是不会发生破坏，这个范围可以如下式表示：
≤k≤
（8）
（b）下限。
在引文[2.4]中表明，格里菲斯修正断裂发生标准的有效性下限发生在临界裂隙方向
裂纹面上的法向应力为0时（即裂纹刚好张开时），也就发生在下式成立的情况中。
kD=
（9）
从这个等式可以看出，只有当μA=1.0时，修正标准的有效性下限才能和原始理论
标准的上限（此时kD=-0.17）相互一致。
对于μA的其他值，假设小于一时，原始理论的
kD值上限和修正理论的下限一定有一个重叠。
同样地，通过类比，可以推出kF的有效性下限如下：
kF=
（10）
上面的等式在μe=1.0时候有kF=-0.17。
因此在μe<1.0时原始理论和修正理论
在kF的取值上会有重叠，同时当μe>1.0时会有一个过渡区。
（i）当μ<1时。
当μA<1.0时，通过等式（9）给出的修正理论的下限小于-0.17。
原始理论和修正理论有重叠。
在这种情况下，可以假设对于两种理论应力相同[2,4]的时候的
kD的范围是有效性限制范围。
可以用如下形式表示[6]：
kD=
或者kD=
（11）
第二种结果是无效的，因为当μA<1.0，其结果大于-0.17，此时裂纹已经张开了。
同样地，当μe<1.0时，最终破坏时kF的下限可以如下式表示：
kF=
kF=
（12）
第二种结果同样是无效的。
这样就导出了一个有趣的结论，在k的持续性测试中，当μA<μe<1，当k是在如
下范围内：
≥k≥
（13）
按照修正理论，脆性断裂会发生，但是最终破坏却不会发生。
从上面的范围可以表
明，当应力增加时会出现少量的临界方向的裂纹，直到一个方向达到了裂纹面上的垂直应力变成拉应力时，初始裂纹会转换成破坏。
当上述情况发生时，应力条件如下：
σ1F=
=
μeσc
（14）
（ii）当μ>1时。
已经假设μA≤1.0，因此这种情况与断裂发生无关，等式（11）
也是无效的。
然而μe可以大于1.。
这种情况最终破坏的有效性下限在方程（10）已经给出，当μe>1.0时，kF要大于-0.17。
因此，如果μe>1.0同时μA<1.0时，对于持续性k试验，k的下限范围应该如下：
≥k≥
（15）
这种情况可以看出对于无论是原始理论还是修正理论关于最终破坏的描述都不是有
效的。
这种情况和前面的一样，引文[6]指出当应力增加时会出现少量的临界方向的裂纹，直到一个方向达到了裂纹面上的垂直应力变成拉应力时，初始裂纹会转换成破坏。
应力情况同样可见等式（14）。
表1总结了含有初始闭合裂纹的断裂发生和最终破坏的大致标准和应力比例的范
围。
3.包含张开裂隙岩石的脆性断裂发生和最终破坏的标准
现在对于包含张开裂纹的断裂发生考虑格里菲斯原始理论。
（a）当k≤
-0.33时，对于断裂发生的格里菲斯张开裂纹的标准如下表示：
-
σ3D=σt=
μeσc
）
（16）
同时，由于裂纹面上的法向应力时拉应力，断裂发生会很快转换成破坏。
（b）当-0.13≤k≤-0.17时，对于断裂发生的格里菲斯张开裂纹的标准如下表
示：
σ1D=
-8σt（1+kD）（1-kD）
2
=
2（1+kD）
μeσc
2
）
（1-kD）
（17）
同样，在这种应力比例的范围下，临界方向裂纹的裂纹面法向应力时拉应力，因此断裂会很快转换成破坏。
（c）当-0.17≤k时，在这种应力比例的范围下，断裂发生的格里菲斯张开裂纹
的标准同样的如等式（17）所示。
然而临界方向裂纹裂纹面上的法向应力时压应力，因此断裂不能发展成为破坏。
最终破坏必须用其他的标准描述。
关于最终破坏的标准，超过了大多数这种应力比例范围的数值，可以像等式
（2）那样被描述为有效裂纹发生，它的有效性上限通过等式（6）给出。
同样地，这个标准关于最终破坏的下限通过等式（12）（当μe<1.0时）和等式（10）（当μe>1.0时）给出。
同样地，必须考虑两种理论之间的重叠和过渡。
（i）当μe>1.0时。
最终破坏的有效性下限[等式（12）]和标准[等式
（2）]是大于-0.17的。
因此，当
≥k≥-0.17
时，按照等式（17）断裂会发生，但是不会立刻发展成最终破坏因为此时裂纹面上的法向应力为压应力。
有效断裂发生引起的最终的破坏不会发生因为k小于有效性标准的下限。
因此断裂引发少量的临界方向的裂纹，直到一个方向达到了裂纹面上的垂直应力变成拉应力时，初始裂纹会转换成破坏。
此时的应力情况由等式（14）给出。
当
≤k≤
时，按照原始理论给出的断裂发生如等式（17）所示。
最终破坏由于有效裂纹的出现而发生，如等式
（2）所示。
当
k≥
时，按照等式（17）断裂依然可以发生，最终破坏不会发生，因为k已经大于有效断裂发生上限。
需要注意的是，虽然理论上在比较高的应力比例下张开裂纹断裂可以发生，同时裂纹会持续张开，实际上，裂纹会闭合同时材料也不会表现出脆性。
（ii）当μe<1.0时。
在这种情况下，由有效断裂发生引起的最终破坏标准的下限
是小于-0.17的，因此和张开裂纹的断裂发生的有效性上限是有重叠的。
如
果同样由两种理论假设断裂发生在比较低的应力水平，那么两种理论应力相同是的限制即是对k的限制。
就像前面提到的一样，满足等式（12）时
这种情况会发生。
然而，在这种情况下，等式（12）的两种结果都是有效
的。
因此，当
≥k≥-0.33
时，断裂会按照原始理论如等式（17）给出。
因为裂纹面上的法向应力时拉应力，因此断裂会迅速转变为破坏。
当
≤k≤
时，试件的断裂发生应力条件如等式（17）满足后，有效断裂发生的标准如等式
（2）也满足。
因此断裂和最终破坏会同时发生，可以被描述为有效断裂发生。
当
≥k≥
3-4时，按照原始理论的断裂发生条件如等式（17）所示，最终破坏也会如等式
（2）所示发生，可以被描述为有效断裂的发生。
当k
时，如μe>1.0所示的情况一样，断裂理论上会按照等式（17）
发生，但是破坏不会发生。
表2总结了含有张开裂纹（持续张开）的断裂发生和最终破坏的大致标准和应力比
例的范围。
4.理论假设的实验验证
为了对上述理论进行试验验证，分别进行了埃利奥特湖石英岩、正长岩和索林霍芬
石灰岩的试验。
对于每种岩石的静摩擦系数μA通过切开和搭接表面的滑动试验[5,6]测定。
有效摩擦系数μe通过三轴压缩岩石试件最终破坏莫尔圆的包络线的斜率测定。
这些得到的μe和μA代入到表1和表2的公式中区预测断裂发生时的∆1D（∆1D=
σ1D
c
），即断裂发
生时最大主应力和三轴压缩抗压强度的比例。
因为σc可以通过单轴压缩试验得出，故一个独立的∆1D可以代替独立的σ1D与预测值进行比较。
∆1D在三轴压缩试验时可以通过两种方法测定：
第一种通过体积应变曲线的线性距离测定[7]；第二种通过试件的微震发生活动测定[8]。
因此，获得∆1D的理论值和测定值是有可能的，通过两者的比较可以对以上做出的理论分析的假设进行比较好的检验。
（a）埃利奥特湖石英岩检验结果
通过滑动试验检测出的静摩擦系数μA=0.94±0.09。
通过三轴压缩试验得出的有
效摩擦系数μe=1.23±0.05。
应用这些得到的μe和μA代入表1和表2的公式可以算出
同时推出有初始裂纹和张开裂纹（始终张开）的kF的范围。
图2给出了这些预测的∆1D∆1D，
值（实线是关于初始闭合裂纹的结果，虚线是始终张开裂纹的结果）。
通过体积和微震观测得到的σ1D可以计算出∆1D，在图2中用点来表示，同时也绘出了他们的大致范围。
从图2中可以看出始终张开裂纹的试验结果和理论推断有很好的相关性。
因此可以推断出这种岩石有着和包含格里菲斯裂纹（对于超过一定应力范围裂纹始终张开）的的力学性质，同时最终破坏是按照修正理论的等式规定的有效断裂发生引发的这个假设是合理的。
（b）正长岩的检验结果
岩石滑动试验的静摩擦系数趋近于μA=0.88±0.04。
通过三轴试验得出的莫尔圆
包络线斜率推出的有效摩擦系数μe=1.45±0.065。
像前面一样，可以通过μe和μA代入表1和表2得出∆1D的预测值（见图3）。
图中也绘出了独立试验得出的∆1D的值。
从图中可以看出试验结果值和初始闭合裂纹的理论预测值有着合理的相关性。
对于这种情况有第二种检验方法，也就是通过断裂发生时莫尔圆包络线斜率计算静摩擦系数与滑动试验结果进行比较。
做出莫尔圆包络线得出它的斜率等于0.90±0.14，在试验误差允许的范围内，与通过滑动试验测定的μA=0.88±0.04相互一致。
因此可以推断出这种岩石的断裂发生是符合初始裂纹理论概念的，同时最终破坏也是由于有效裂纹发生才出现的。
最终证明岩石平滑表面间的静摩擦系数可以用来替代闭合裂纹的表面的摩擦系数。
（c）索林霍芬石灰岩检验结果
岩石滑动试验的静摩擦系数趋近于μA=0.91±0.02。
三轴压缩试验的最终破坏莫
尔圆包络线不能用直线来表示。
同样地，显然断裂发生的最终莫尔圆包络线也不能用直线来表示，因此当名义压力>3000psi时（试验进行的名义压力范围0-5000psi），不能从试验结果来确定出断裂何时或者是否发生。
这就说明从这篇论文得到的理论不能有效的描述这种岩石的断裂行为。
有研究表明这种岩石和其他岩石破坏行为的不同是因为破坏时力学性质的改变（从脆性破坏变成了塑性破坏）。
按照本论文中脆性破坏的观点，莫尔圆包络线应该是一条不与σ轴或者τ轴平行的斜线，反之塑性破坏的观点认为莫尔圆包络线应该与σ轴平行。
岩石在低的名义压力时表现出理想脆性行为和高的名义压力时表现出理想塑性行为之间在莫尔圆上有一个过渡区域，发生在中等名义压力之时。
有证据指出，这些索林霍芬石灰岩的试验是在中等名义压力范围内进行的，尽管不能从结果中分辨出是什么级别的塑形行为影响了结果。
赫德[9]研究证实在足够高的名义压力或者温度下索林霍芬石灰岩表现出塑性行为。
更进一步地，他定义了这种岩石从脆性向塑形转变的过渡区，在25C的条件下，大约
15000psi的名义压力可以发生这种过渡。
这里的名义压力比本论文中引述的结果的名义压力最大值都要大很多。
然而赫德通过“试件在最大拉应力力小于3%，过渡区小于3-5%，塑形大于5%„„的时候可以被定义为脆性”这一陈诉给了过渡区选择的任意定义。
本文中提到的试验，无论是破坏力学行为，最大拉应力，还是过渡区的大小都是不足够的，因此实际上脆性-塑形在名义压力很低的时候依然会发生。
无论如何上述结论是有效的，因为索林霍芬石灰岩不符合本文关于脆性断裂的理论。
因此有必要定义本文所述的脆性的概念，同时确定方程在什么范围内上述方程是有效的。
首先，脆性或者是塑形不是用来描述岩石的类型或者岩石的特性的，它仅仅用来描述岩石的破坏力学行为。
其次，所有的岩石都可以发生脆性破坏或者是塑形破坏，仅仅是由于以下三个条件的不同：
名义压力，加载速率和温度，例如，石英岩在大多数范围的名义压力和加载速度下都会表现出脆性破坏的特征，但是在极高的名义压力和很慢的加载速度下也会发生塑形破坏。
鉴于这些考虑，这样定义本书中的脆性行为，在某个温度下，岩石的最终破坏莫尔圆包络线可以认为是一条直线，只要我们调整名义压力和加载速率来获得结果。
这个定义并不准确，它首要考虑让本书中的等式能够合理的应用于实践中的岩石力学问题。
同时定义一个对于直线型莫尔圆包络线的实践应用容许度也是必要的。
通过对石英岩和正长岩的试验可以提前定义出这个容许度。
然而，直线型莫尔圆包络线和偏离直线型最好用下式表示：
τN=（μe±αe）σN+（S0±αs）（18）
选择带有的偏离常数αe和αs的参数系数代入本文中的等式可以很好的用于实践应
用。
参数系数在10%左右的误差可以用来做大致的任意情况的估计。
以后的试验结果会为任意的情况对本文的推论做出进一步的修正。
5.结论
对于初始张开裂纹，格里菲斯原始理论假设断裂发生在岩石试件预先裂纹的顶端；对于初始闭合裂纹，修正理论也假设断裂发生在岩石试件预先裂纹的顶端。
从而做出以下假设：
（i）脆性岩石试件的最终破坏可以用格里菲斯修正理论的等式描述，在有效性
的范围内，提供了研究一种岩石内部摩擦系数的明智选择。
这种岩石内部
摩擦系数被称为“有效摩擦系数”。
（ii）闭合格里菲斯裂纹裂纹面的摩擦系数，可以被近似为两个没有粘结的岩石
表面的静摩擦系数。
在这些假设的基础上，提出格里菲斯原始理论和修正理论的重新应用，导出了不同应力比例下岩石断裂发生和最终破坏的标准和它们适用的有效性。
进行了埃利奥特湖石英岩、正长岩和索林霍芬石灰岩的试验。
石英岩的检验结果证明了假设（i）的合理性，进一步说明试件的断裂行为说明一个推论，试件中含有预张开裂纹。
正长岩的试验结果同样证明了假设（i）的合理性，进一步说明试件的断裂行为预说明一个推论，试件中含有初始闭合裂纹。
在这个含有初始闭合裂纹的试验中，同样证明了假设（ii）在实验误差允许的范围内具有合理性。
关于索林霍芬石灰岩的试验结果说明这种岩石的力学行为并不按照本文的分析。
试验结果和理论预测的不吻合是由于这种岩石的塑形发生引起的，同时该试验是在这种岩石的脆性-塑形过渡区进行的。
参考文献
1.格里菲斯A.A，断裂理论，第一届国际应用力学大会，53-64页，沃特汉姆国际出版社，德尔菲特（1925）
2.麦克林托克F.A，沃尔什J.B，受力作用下格里菲斯裂纹的摩擦力，第四届美国应用力学大会，1015-1021页，美国社会部，力学部，能源部，纽约（1963）
3.布里斯W.F，岩石脆性断裂，地壳应力状态，111-130页，艾斯维尔，纽约（1964）
4.霍克E，静力条件下岩石断裂，博士论文，开普敦大学（1965）
5.杰格J.C，岩石节理摩擦特性，吉尔菲斯，43卷，148-158页（1959）
6.巴伦K，煤炭开采过程中的岩石断裂，博士论文，伦敦大学（1970）
7.保罗丁B.W，岩石断裂力学应用技术研究，99页，第五届太平洋国际会议，美国社会部，技术部，力学部，西雅图，11月（1965）
8.巴伦K，应用简单声检测技术研究岩石的断裂变形，国际岩石学会，科学，8卷，55-59页（1971）
9.赫德H.C，考虑索林霍芬石灰岩脆性破坏和塑形流动之间的过渡区与温度，名义压力和液体压力的函数关系，美国数学部，地理部，社会部，69卷，193-226页（1960）
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