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多目标决策问题

第十五章多標準決策問題

本章內容：

15.1目標規劃:

建立模式及圖解法

15.2目標規劃:

解更複雜的問題

15.3計分模式

15.4層級分析法

15.5用AHP建立優先權

15.6用AHP建立整體優先順序

線性規劃的基本假設：

1.可加性（Additivity）：

目標函數或限制式變數之衡量單位必須相同，如此才能相加減

2.比例性（Proportionality）：

就限制式而言，每單位產出所需之資源投入數均為固定，一定倍數的投入可以得到相同倍數的產出

3.確定性（Determinitic）：

目標函數係數及限制條件中之技術系數以及擁有資源數量等均為已知且確定的數字，而不含任何機率分配

4.可分割性（Divisibility）：

線性規劃模型解答不一定是整數，可以是任意實數

▓15.1目標規劃：

建立模型及圖解法

例：

尼可投資顧問公司考慮某顧客有80,000元要投資，投資組合限於以下兩種股票：

股票

價格

年報酬/股

風險指數/股

美國石油

休伯不動產

$25

0.50

0.25

這個顧客第一目標是風險最高水準為700，第二目標是要年回收至少9,000元，試以目標規劃找出最接近滿足所有目標的投資組合。

根據優先順序的說明，本例題“目標”可表示如下：

主要目標（優先等級1）

目標1：

找一個投資組合，它的風險在700以下。

次要目標（優先等級2）

目標2：

找一個投資組合，它所提供的年回收至少9,000元。

●建立限制式及目標方程式

1.先決定決策變數

X1＝購買美國石油股的數目

X2＝購買休柏不動產股的數目

2.建立限制條件

25X1＋50X2≦80,000（可用資金）

3.建立目標方程式

（1）目標1之目標方程式（組合風險）：

風險指標可小於等於或大於目標值700，目標方程式如下：

0.5X1＋0.25X2－d1+＋d1-＝700

d1+＝組合風險指標超過目標值700的部份

d1-＝組合風險指標少於目標值700的部份

（2）目標2之目標方程式（年回收）：

年收入指標可大於等於或小於目標值9000，目標方程式如下：

＝組合年回收大於目標值9000元的量

＝組合年回收小於目標值9000元的量

●建立有逐位優先權的目標函數

●目標1之目標函數（風險）

風險指標不能超過700，吾人是否應關切低過700的目標值？

明顯的回答否，因為小於700相當於風險小，但是否應關切超過700的目標值？

答案是肯定的，因為投資組合風險指標大過700相當於風險水準高過顧客所願接受者。

所以，相當於優先水準1的線性規劃目標函數，必須為求極小化

值。

優先水準1線性規劃P1問題。

Mind1+

s.t.25X1＋50X2≦80,000可用基金

0.5X1＋0.25X2－d1+＋d1-＝700P1目標

3X1＋5X2≧9000P2目標X1，X2，d1+，d1-≧0

●圖解法

優先等級1的目標方程式

d1+＝d1-＝0；0.5X1＋0.25X2＝700

休伯不動產的股數

d1+＝0達成優先等級1目標的可行投資組合

可用資金：

25X1＋50X2＝80,000

美國石油的股數

圖15.2滿足P1可目標的投資組合

在圖15.2，當P1目標恰好達到d1+＝0及d1-＝0，目標方程化簡為0.5X1＋0.25X2＝700，左下角區域就是滿足可用資金限制及d1+＝0的解點，因為任何d1+＝0的解點都達成優先水準1的目標，此區域內的所有解點相點於風險小於700的組合。

●目標2之目標函數（年回收）

找年回收至少9,000元的組合，我們只關切低於9,000元的情況，因為年回收低於9,000元的組合是不被顧客所接受，所以相當於優先水準2線性規劃目標函數是要極小化d1-值。

優先水準2線性規劃P2問題如下：

Mind2-----

s.t.25X1＋50X2≦80,000可用基金

0.5X1＋0.25X2－d1+＋d1-＝700P1目標

3X1＋5X2－d2+＋d2-----＝9000P2目標

d1+＝0維持P1目標的達成

X1，X2，d1+，d1-，d2-----≧0

當P2目標恰好達到d2+＝0及d2-----＝0目標方程式化簡為3X1＋5X2＝9000，在滿足優先順序1目標之解中，X1＝800，X2＝1,200最接近滿足優先水準2目標，因為這個解的年回收為3（800）＋5（1,200）＝8,400（註）。

最適解對目標2的達成度比目標低了d2-----＝600元（＝9000元－8400元）。

解：

買800股美國石油及1200股休伯不動產，達成風險小於700，但年回收只有8400元。

註：

多標準決策問題不可能同時滿足所有目標水準，本例中不可能同時滿足優先水準1及優先水準2。

●目標規劃圖解法步驟：

1.找出合理解點；它是滿足問題限制的點。

2.找出滿足最高優先目標的合理；如果沒有合理解能達成最高優先目標，找出最接近達成最高優先目標的解。

3.向下移一位優先水準，找出不犧牲任何上一優先目標達成度的最適解。

4.重覆第3步，直到所有優先水準都已考慮過。

優先等級1的目標方程式

d1+＝d1-＝0；0.5X1＋0.25X2＝700

X1＝800，X2＝1200

不使主要目標退化的次要目標最適解

休伯不動產的股數

優先等級2的目標方程式

d2+＝d2-＝0；3X1＋5X2＝9000

d1+＝0達成優先等級1目標的可行投資組合

d2+﹤0

可用資金：

25X1＋50X2＝80,000

d2-﹥0

美國石油的股數

圖15.3滿足兩個目標的最適解（P2問題的解）

●目標規劃模式

MinP1（d1+）＋P2（d2-）

這個P1及P2優先水準，並非偏差變數的加權，而只不過是一個簡單的標籤，使我們記住目標的優先順序，現在寫出完整的目標規劃模式如下：

MinP1（d1+）＋P2（d2-）

s.t.25X1＋50X2≦80,000可用基金

0.5X1＋0.25X2－d1+＋d1-＝700P1目標

3X1＋5X2－d2+＋d2-----＝9000P2目標

X1，X2，d1+，d1-，d2-----≧0

●建立目標規劃模式步驟：

1.找出目標及反映資源限制或其他妨礙目標達成的限制。

2.找出每個“目標”的優先水準；優先水準P1的目標最重要，優先水準P2的目標第二重要，依此類推。

3.定出決策變數。

4.以線性規劃式樣寫出限制式。

5.對每個目標建立目標方程式，右手邊是目標的目標值。

在每個目標方程式內包含偏差變數d1+及d1-，以反映高過或低過目標值的可能偏差。

6.寫出目標函數，它是具有優先順序的偏差變數的極小化。

▓15.2目標規劃：

解更複雜的問題

●山庫斯辦公用品的問題

山庫斯辦公室用品供應商的管理當局，訂出每月與顧客接觸的目標，在往後的4週，公司的顧客服務策略是要它的4個業務員，對曾至公司購買用品的顧客作200次接觸。

另外要與新顧客作120次接觸。

目標5的重要性是目標4的兩倍。

優先等級1目標

目標1：

不能使用超過680小時的人力。

目標2：

不能使用少於600小時的人力。

優先等級2目標

目標3：

銷售利潤至少70,000元。

優先等級3目標

目標4：

至少接觸老顧客200次。

目標5：

至少接觸新顧客120次。

試寫出目標規劃模式及以電腦解其最適解。

●建立目標方程式

X1＝拜訪老顧客的數目

X2＝拜訪新顧客的數目

●建立目標函數

MinP1（d1+）＋P1（d2-）＋P2（d3-）＋P3（d4-）＋P3（2d5-）

s.t.2X1＋3X2－d1+＋d1-＝680目標1

2X1＋3X2－d2+＋d2-＝600目標2

250X1＋125X2－d3+＋d3-＝70,000目標3

X1－d4+＋d4-＝200目標4

X2－d5+＋d5-＝120目標5

X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-，d5+，d5-≧0

註：

d1+＝業務員所用小時數比目標值680小時多出的部分

d1-＝業務員所用小時數比目標值680小時少的部分

d2+＝業務員所用時間超過目標值600小時之部分

d2-＝業務員所用時間低於目標值600小時之部分

d3+＝銷售利潤大於目標值70,000元的部分

d3-＝銷售利潤低於目標值70,000元的部分

d4+＝與老顧客接觸次數超過目標200次的部分

d4-＝與老顧客接觸次數低於目標200次的部分

d5+＝與新顧客接觸次數超過目標120次的部分

d5-＝與新顧客接觸次數低於目標120次的部分

●電腦解

●解P1問題

Mind1+＋d2-

s.t.2X1＋3X2－d1+＋d1-＝680目標1

2X1＋3X2－d2+＋d2-＝600目標2

250X1＋125X2－d3+＋d3-＝70,000目標3

X1－d4+＋d4-＝200目標4

X2－d5+＋d5-＝120目標5

X1，X2，d1+，d1-，d2+，d2-，d3+，d3-，d4+，d4-，d5+，d5-≧0

圖15.4P1問題的電腦解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE=0.000

VARIABLE

D1PLUS

D2MINUS

D1MINUS

D2PLUS

D3PLUS

D3MINUS

D4PLUS

D4MINUS

D5PLUS

D5MINUS

VALUE

0.000

250.000

60.000

0.000

80.000

0.000

50.000

0.000

60.000

REDUCEDCOST

1.000

0.000

註：

圖中D1MINUS＝d1-

D2PLUS＝d1+-

解：

X1＝200次，X2＝66.67次，d1+-＝0，d1-＝0

●解P2問題

解P2問題是在P1問題中加一不使已獲得之第1優先目標解降格以求的限制條件，即要求所有以後的解都要滿足d1+＋d1-＝0。

Mind3-

s.t.2X1＋3X2－d1+＋d1-＝680

2X1＋3X2－d2+＋d2-＝600

250X1＋125X2－d3+＋d3-＝70,000

X1－d4+＋d4-＝200

X2－d5+＋d5-＝120

d1+＋d2-＝0

解：

X1＝270次，X2＝20次，d3-＝0

P2問題的電腦解如下：

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE=120.000

VARIABLE

D1PLUS

D2MINUS

D1MINUS

D2PLUS

D3PLUS

D3MINUS

D4PLUS

D4MINUS

D5PLUS

D5MINUS

VALUE

0.000

250.000

60.000

0.000

80.000

0.000

50.000

0.000

60.000

REDUCEDCOST

0.000

1.000

0.000

1.000

0.000

1.000

2.000

0.000

●解P3問題

解P3問題是在P2問題中加入確保P2銷售利潤持續達成的限制式，即加入d3-＝0。

Mind4-＋d5-

s.t.2X1＋3X2－d1+＋d1-＝680

2X1＋3X2－d2+＋d2-＝600

250X1＋125X2－d3+＋d3-＝70,000

X1－d4+＋d4-＝200

X2－d5+＋d5-＝120

d1+＋d2-＝0

d3-＝0

圖15.5P3問題的電腦解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE=120.000

VARIABLE

D1PLUS

D2MINUS

D1MINUS

D2PLUS

D3PLUS

D3MINUS

D4PLUS

D4MINUS

D5PLUS

D5MINUS

VALUE

0.000

250.000

60.000

0.000

80.000

0.000

50.000

0.000

60.000

REDUCEDCOST

0.000

1.000

0.000

1.000

0.000

1.000

2.000

0.000

解：

X1＝250，X2＝60，d4+-＝50，d5-＝60。

此解達成為管理當局的目標，雖不滿足與新顧客至少接觸120次，但卻達成其他目標。

▓15.4層級分析法

層級分析法（analyticalhierarchyprocess,AHP）是用來解複雜的多準則決策問題。

AHP要求決策者判定每個決策準則的相對重要性，然後利用這些決策準則來決定每個決策方案的喜好程度。

例：

用黛安所面臨購車決策問題來介紹AHP。

經過初步分析一些二手車的組裝及外型後，黛安將備選方案縮減到三部車子：

分別是本田雅哥、釷星、以及雪佛蘭的游騎兵。

表15.4是黛安所收集的有關這些車子的資訊。

黛安認為以下幾項是她買車時會考慮的決策準則：

1.價格

2.每加侖行駛里程數

3.舒適性

4.車型

表15.4汽車選擇的相關資訊

決　　　策　　　方　　　案

特　　　徵

雅哥

釷星

游騎兵

價格

13100

11200

9500

車

黑

紅

藍

哩／加侖

內裝

豪華

高級

標準

車型錄音帶

4門中型

雙門跑車

雙門小型

音響系統

AM/FM，錄音帶，CD

AM/FM

●建立層級

　AHP的第一步是以圖形表示問題的整體目標、決策準則、以及備選方案。

此圖形述了問題的層級架構。

圖15.6是汽車選擇問題的層級架構。

圖15.6汽車選擇問題的層次架構

▓15.5用AHP建立優先權

以汽車選擇問題為例，說明如何利用AHP來找出下列各種狀況下的排序：

1.根據4個決策準則對整體目標的貢獻

2.以價格準則比較三種車

3.以MGP準則比較三種車

4.以舒適性準則比較三種車

5.以車型準則比較三種車

●成對比較

成對比較是構成AHP的基石。

在建立4個決策準則的重要性排序時，AHP要求黛安以成對比較的方式，說明每一個準則相對於其他準則的重要性。

也就進行以下的成對比較：

1.價格對MPG

2.價格對舒適性

3.價格對車型

4.舒適性對MPG

5.車型對MPG

6.車型對舒適性

AHP使用一種1到9的評分尺度。

表15.5說明如何將決策者對兩個準則之相對重要性的口語描述轉換成數字的評分。

表15.5決策準則相對重要性的比較尺度

口語評判

分數

極端重要

非常重要

很重要

稍微重要

一樣重要

表15.6是汽車選擇問題中黛安的6個成對比較結果。

根據表中的資料，黛安所表達的意思是

1.價格比MPG稍微重要

2.價格比舒適性的重要性介於一樣重要與稍微重要之間

3.價格比車型的重要性介於一樣重要與稍微重要之間

4.舒適性比MPG的重要性介於稍微重要與很重要之間

5.車型比MPG的重要性介於稍微重要與很重要之間

6.車型比舒適性的重要性介於一樣重要與稍微重要之間

表15.6汽車選擇問題4個決策準則的成對比較結果

成對比較

比較重要的準則

相對重要程度

分數

價格－MPG

價格

稍微

價格－舒適性

價格

一樣和稍微之間

價格－車型

價格

一樣和稍微之間

MPG－舒適性

舒適性

稍微和很重要之間

MPG－車型

車型

稍微和很重要之間

舒適性－車型

車型

一樣和稍微之間

●成對比較矩陣

要決定4個決策準則的重要性排序，必須利用表15.6的分數建立成對比較矩陣。

此4列4行的矩陣如下：

價格

MPG

舒適性

車型

價格

MPG

舒適性

車型

表15.6中標示「比較重要的準則」行內所列的準則，就是該分數在成對比較矩陣中的列的位置。

遵從此一程序，將其他的分數填入成對比較矩陣中，得到以下的矩陣

價格

MPG

舒適性

車型

價格

MPG

舒適性

車型

因為對角線的元素是每一個準則自己和自己的比較，所以成對比較矩陣對角線元素的值永遠等於1。

此時成對比較矩陣如下：

價格

MPG

舒適性

車型

價格

MPG

舒適性

車型

剩下的工作就是完成矩陣中剩餘的格子。

以價格對MPG的比較說明如何取得這此空格的值。

價格對MPG的3分隱含著MPG對價格的比較結果應該是1/3分。

於是，汽車選擇準則的完整成對比較矩陣就是：

價格

MPG

舒適性

車型

價格

MPG

1/3

1/4

舒適性

1/2

車型

1/2

●合成

有了成對比較矩陣，我們就可以根據各決策準則對整體目標的貢獻度，計算它們的重要性排序。

AHP的這個部分稱為合成。

進行合成計算的數學程序已經超過本書的範圍（特性、根、特性向量）。

但是，利用以下的三個步驟，可以得到與合成結果很接近的近似結果。

第1步　將成對比較矩陣的每一行的值加總

價格

MPG

舒適性

車型

價格

MPG

1/3

1/4

舒適性

1/2

車型

1/2

總合

2.333

12.000

5.250

3.750

第2步　將成對比較矩陣的每個元素除以它的行總和；產生的矩陣叫做正常化（normalizedpairwisecomparisonmatrix）成對比較矩陣。

價格

MPG

舒適性

車型

價格

0.429

0.250

0.381

0.533

MPG

0.143

0.083

0.048

0.067

舒適性

0.214

0.333

0.190

0.133

車型

0.214

0.333

0.381

0.267

第3步　計算正常化矩陣每列元素的平均值；這些平均值就是決策準則的相對重要性。

價格

MPG

舒適性

車型

權重

價格

0.429

0.250

0.381

0.533

0.398

MPG

0.143

0.083

0.048

0.067

0.085

舒適性

0.214

0.333

0.190

0.133

0.218

車型

0.214

0.333

0.381

0.267

0.299

＊權重：

相對優先權。

用以估計所比較的元素的相對優先權

APH的合成程序根據各決策準則對整體目標的貢獻度，計算它們的相對重要性。

AHP得到價格的權重為0.398，是所有選擇汽車的決策準則中最重要的一個。

MPG則是最不重要的準則，權重為0.085。

●一致性

在進行AHP程序時，需檢定其一致性。

例如，A準則對B準則的相對重要性是3，而B準則對C準則的相對重要性是2，在一致性情況下，A準則對C準則的相對重要性應該是6（3*2）。

如決策者所給的A準則對C準則的相對重要性是4或5，則在成對比較的結果中將存在某些的不一致性。

AHP透過計算一致性比率來衡量成對比較結果的一致性。

這個比率如果超過0.1表示成對比較的結果是不一致。

如果一致性比率小於或等於0.1，就認為成對比較的一致性屬於合理的程度，AHP就可以繼續進行合成的計算。

汽車選擇問題決策準則比較結果的一致性比率的估計過程如下：

第1步　將成對比較矩陣第1行的每個數值乘以第一項的權重；將第2行各數值乘以第二項的權重；對所有的行向量重複此一動作。

然後將各列加總得到一個稱為「加權總加」的向量。

汽車選擇問題的計算如下：

0.398

＋0.085

＋0.218

＋0.299

＝

第2步　將第1步所得到的加權總和向量的每個元素，除以其相對應的準則權重。

　　　　價格　　

　　　　MPG　　

舒適性　

　　　　車型　　

第3步　計算第2步所得數值的平均值；以λmax表示之。

λmax＝

第4步　計算一致性指標（CI）如下：

　　　　CI＝

其中n是被比較的項目的數目。

於是我們得到

　　　　CI＝

＝0.0616

第5步　計算一致性比率（CR）。

其定義如下：

　　　　CR＝

其中RI為一隨機產生的成對比較矩陣的一致性指標。

而RI（為一隨機指標，是隨機產生配對比較矩陣的一致性指標）的值則與被比較的項目的數目n有關，其值決定如下：

0.58

0.90

1.12

1.24

1.32

1.41

於是，汽車選擇問題的n＝4個準則，我們得到RI=0.90，以下一致性比率

　　　　CR＝

如前所述，一致性比率在0.10以下是可以接受的。

由於汽車選擇準則成對比較的一致性比率為0.068，因此這個成對比較的一致性是可以接受的。

●汽車選擇問題的其他成對比較

用成對比較法決定三種汽車在價格、MPG、舒適性及車型等每個準則的相對優先順序。

這須要黛安每次根據一個準則對所有的車子進行成對比較。

例如以價格為準則，黛安必須進行以下的成對比較：

1.雅哥對釷星

2.雅哥對游騎兵

3.釷星對游騎兵

表15.7顯示AHP如何根據黛安對兩個準則之相對重要性的口語描述轉換成數字的評分。

表15.7決策方案間相對喜好程度的成對比較尺度

口語評判

分數

極端重要

非常重要

很重要

稍微重要

一樣重要

表15.8列出了黛安在汽車選擇問題中所有汽車在每個決策準則的成對比較結果。

根據表中的某些資料，我們可以發現黛安的部分喜好如下：

1.就價格而言，喜歡游騎兵勝於雅哥的程度介於稍微喜歡與很

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