对数函数和性质对数的公式互化详尽的讲解.docx

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对数函数和性质对数的公式互化详尽的讲解

2.1　对数与对数运算

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

说明：

（1）实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：

34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：

alogaN＝N.

（2）“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．

（3）根据对数的定义，对数logaN（a>0，且a≠1）具有下列性质：

①零和负数没有对数，即N>0；

②1的对数为零，即loga1＝0；

③底的对数等于1，即logaa＝1.

2．对数的运算法则

利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．

（1）基本公式

①loga（MN）＝logaM＋logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．

②loga＝logaM－logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．

③logaMn＝n·logaM（a>0，a≠1，M>0，n∈R），即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

（2）对数的运算性质注意点

①必须注意M>0，N>0，例如loga[（－3）×（－4）]是存在的，但是loga（－3）与loga（－4）均不存在，故不能写成loga[（－3）×（－4）]＝loga（－3）＋loga（－4）．

②防止出现以下错误：

loga（M±N）＝logaM±logaN，loga（M·N）＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝（logaM）n.

3．对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：

logbN＝（b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0）．

证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，

得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．

由换底公式可推出下面两个常用公式：

（1）logbN＝或logbN·logNb＝1（N>0，且N≠1；b>0，且b≠1）；

（2）logbnNm＝logbN（N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R）

.

　　　题型一　正确理解对数运算性质

对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是（　　）

①若M＝N，则logaM＝logaN；

②若logaM＝logaN，则M＝N；

③若logaM2＝logaN2，则M＝N；

④若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A．①与③　　B．②与④　　C．②　　　　D．①、②、③、④

解析　在①中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立．

在②中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．

在③中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N.

在④中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立．

所以，只有②成立．

答案　C

点评　正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．

　　　题型二　对数运算性质的应用

求下列各式的值：

（1）2log32－log3＋log38－5log53；

（2）lg25＋lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2；

（3）.

分析　利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．

解　

（1）原式＝2log32－（log332－log39）＋3log32－3

＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.

（2）原式＝2lg5＋2lg2＋lg·lg（2×10）＋（lg2）2

＝2lg（5×2）＋（1－lg2）·（lg2＋1）＋（lg2）2

＝2＋1－（lg2）2＋（lg2）2＝3.

（3）∵＝

＝－＝－.

点评　对数的求值方法一般有两种：

一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．

　　　　题型三　对数换底公式的应用

计算：

（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）．

分析　由题目可获取以下主要信息：

本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．

解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．

解　方法一　原式＝

＝

＝log25·（3log52）

＝13log25·＝13.

方法二　原式＝

＝

＝＝13.

点评　方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数为底），然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．

已知log（x＋3）（x2＋3x）＝1，求实数x的值．

错解　由对数的性质可得x2＋3x＝x＋3.

解得x＝1或x＝－3.

错因分析　对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．

正解　由对数的性质知

解得x＝1，故实数x的值为1.

对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：

loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N（a>0，且a≠1，N>0）．

1．（上海高考）方程9x－6·3x－7＝0的解是________．

解析　∵9x－6·3x－7＝0，即32x－6·3x－7＝0

∴（3x－7）（3x＋1）＝0

∴3x＝7或3x＝－1（舍去）

∴x＝log37.

答案　log37

2．（辽宁高考）设g（x）＝则g＝____.

解析　g＝ln<0，g＝eln＝，

∴g＝.

答案　

1．对数式log（a－3）（7－a）＝b，实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，7）B．（3,7）

C．（3,4）∪（4,7）D．（3，＋∞）

答案　C

解析　由题意得解得3

2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是（　　）

A．a－2B．3a－（1＋a）2

C．5a－2D．－a2＋3a－1

答案　A

解析　∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2（log32＋1）

＝3a－2（a＋1）＝a－2.

3．log56·log67·log78·log89·log910的值为（　　）

A．1B．lg5C.D．1＋lg2

答案　C

解析　原式＝····＝＝.

4．已知loga（a2＋1）

A．（0,1）B.

C.D．（1，＋∞）

答案　C

解析　由题意，得

∵a>0，a≠1，loga（a2＋1）

5．已知函数f（x）＝ax－1＋logax（a>0，a≠1）在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为（　　）

A．4B.C．3D.

答案　D

6．若方程（lgx）2＋（lg7＋lg5）lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于（　　）

A．lg7·lg5B．lg35C．35D.

答案　D

解析　∵lgα＋lgβ＝－（lg7＋lg5）＝－lg35＝lg

∴α·β＝.

7．已知f（log2x）＝x，则f＝________.

答案　

解析　令log2x＝，则2＝x，∴f＝2＝.

8．log（－1）（＋1）＝________.

答案　－1

解析　log－1（＋1）＝log－1

＝log（－1）＝－1.

9．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lgx＝－2＋0.7781，则x＝________.

答案　0.06

解析　∵lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，

而0.3010＋0.4771＝0.7781，∴lgx＝－2＋lg2＋lg3，

即lgx＝lg10－2＋lg6.

∴lgx＝lg（6×10－2），即x＝6×10－2＝0.06.

10．

（1）已知lgx＋lgy＝2lg（x－2y），求log的值；

（2）已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.

解　

（1）lgx＋lgy＝2lg（x－2y），

∴xy＝（x－2y）2，即x2－5xy＋4y2＝0.

即（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y，

又∵　∴x>2y>0，

∴x＝y，应舍去，取x＝4y.

则log＝log＝log4＝＝4.

（2）∵18b＝5，∴log185＝b,又∵log189＝a，

∴log365＝＝

＝＝

＝＝.

11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．

解　令ax＝by＝cz＝t（t>0且t≠1），

则有＝logta，＝logtb，＝logtc，

又＋＋＝0，∴logtabc＝0，∴abc＝1.

12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．

解　∵关于x的方程x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0有等根，

∴Δ＝0，即4－4[lg（c2－b2）－2lga＋1]＝0.

即lg（c2－b2）－2lga＝0，故c2－b2＝a2，

∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．

2．2.1　对数与对数运算

（一）

学习目标

1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．

2．了解常用对数与自然对数的意义．

3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．

自学导引

1．如果a（a>0且a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质有：

（1）1的对数为零；

（2）底的对数为1；

（3）零和负数没有对数．

3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.

4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b.

5．对数恒等式：

alogaN＝N（a>0且a≠1）

.

　　　　　一、对数式有意义的条件

例1　求下列各式中x的取值范围：

（1）log2（x－10）；

（2）log（x－1）（x＋2）；（3）log（x＋1）（x－1）2.

分析　由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式（组），解之即可．

解　

（1）由题意有x－10>0，∴x>10，即为所求．

（2）由题意有

即∴x>1且x≠2.

（3）由题意有

解得x>－1且x≠0，x≠1.

点评　在解决与对数有关的问题时，一定要注意：

对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.

变式迁移1　在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　）

A．a>5或a<2　　　　　B．2

C．2

答案　C

解析　由题意得，

∴2

　　　　二、对数式与指数式的互化

例2　将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：

（1）54＝625；　　　　

（2）log8＝－3；

（3）－2＝16;（4）log101000＝3.

分析　利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化．

解　

（1）∵54＝625，∴log5625＝4.

（2）∵log8＝－3，∴－3＝8.

（3）∵－2＝16，∴log16＝－2.

（4）∵log101000＝3，∴103＝1000.

点评　指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用ax＝N⇔x＝logaN进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．

变式迁移2　将下列对数式化为指数式求x值：

（1）logx27＝；　　　　

（2）log2x＝－；

（3）log5（log2x）＝0;（4）x＝log27；

（5）x＝log16.

解　

（1）由logx27＝，得x＝27，∴x＝27＝32＝9.

（2）由log2x＝－，得2－＝x，∴x＝＝.

（3）由log5（log2x）＝0，得log2x＝1，∴x＝21＝2.

（4）由x＝log27，得27x＝，即33x＝3－2，

∴x＝－.

（5）由x＝log16，得x＝16，即2－x＝24，

∴x＝－4.

　　　　三、对数恒等式的应用

例3　

（1）alogab·logbc·logcN的值（a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0）；

（2）4（log29－log25）．

解　

（1）原式＝（alogab）logbc·logcN＝blogbc·logcN＝（blogbc）logcN

＝clogcN＝N.

（2）原式＝2（log29－log25）＝＝.

点评　对数恒等式alogaN＝N中要注意格式：

（1）它们是同底的；

（2）指数中含有对数形式；（3）其值为真数．

变式迁移3　计算：

3log3＋（）log3.

解　原式＝＋3log3＝＋（3log3）

＝＋＝.

1．一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．利用ab＝N⇔b＝logaN（其中a>0，a≠1，N>0）可以进行指数与对数式的互化．

3．对数恒等式：

alogaN＝N（a>0且a≠1）．

一、选择题

1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　　）

A．100＝1与lg1＝0

B．27－＝与log27＝－

C．log3＝9与9＝3

D．log55＝1与51＝5

答案　C

2．指数式b6＝a（b>0，b≠1）所对应的对数式是（　　）

A．log6a＝aB．log6b＝a

C．logab＝6D．logba＝6

答案　D

3．若logx（－2）＝－1，则x的值为（　　）

A.－2B.＋2

C.－2或＋2D．2－

答案　B

4．如果f（10x）＝x，则f（3）等于（　　）

A．log310B．lg3C．103D．310

答案　B

解析　方法一　令10x＝t，则x＝lgt，

∴f（t）＝lgt，f（3）＝lg3.

方法二　令10x＝3，则x＝lg3，∴f（3）＝lg3.

5．21＋·log25的值等于（　　）

A．2＋B．2

C．2＋D．1＋

答案　B

解析　21＋log25＝2×2log25＝2×2log25

＝2×5＝2.

二、填空题

6．若5lgx＝25，则x的值为________．

答案　100

解析　∵5lgx＝52，∴lgx＝2，∴x＝102＝100.

7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．

答案　12

解析　∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，

∴a2m＋n＝a2m·an＝（am）2·an＝22×3＝12.

8．已知lg6≈0.7782，则102.7782≈________.

答案　600

解析　102.7782≈102×10lg6＝600.

三、解答题

9．求下列各式中x的值

（1）若log3＝1，则求x值；

（2）若log2003（x2－1）＝0，则求x值．

解　

（1）∵log3＝1，∴＝3

∴1－2x＝27，即x＝－13

（2）∵log2003（x2－1）＝0

∴x2－1＝1，即x2＝2

∴x＝±

10．求x的值：

（1）x＝log4；

（2）x＝log9；（3）x＝71－log75；

（4）logx8＝－3；（5）logx＝4.

解　

（1）由已知得：

x＝4，

∴2－x＝22，－＝2，x＝－4.

（2）由已知得：

9x＝，即32x＝3.

∴2x＝，x＝.

（3）x＝7÷7log75＝7÷5＝.

（4）由已知得：

x－3＝8，

即3＝23，＝2，x＝.

（5）由已知得：

x＝4＝.2.2.1　对数与对数运算

（二）

学习目标

1．掌握对数的运算性质及其推导．

2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．

自学导引

1．对数的运算性质：

如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么，

（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；

（2）loga＝logaM－logaN；

（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．

2．对数换底公式：

logab＝.

　　　　一、正确理解对数运算性质

例1　若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有（　　）

①logax·logay＝loga（x＋y）；

②logax－logay＝loga（x－y）；

③loga＝logax÷logay；

④loga（xy）＝logax·logay.

A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个

答案　A

解析　对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax≠loga·x，logax是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．

点评　正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．

变式迁移1　若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是（　　）

A．logax＝－logaB．（logax）n＝nlogax

C．（logax）n＝logaxnD．logax＝loga

答案　A

　　　　　二、对数运算性质的应用

例2　计算：

（1）log535－2log5＋log57－log51.8；

（2）2（lg）2＋lg·lg5＋；

（3）；

（4）（lg5）2＋lg2·lg50.

分析　利用对数运算性质计算．

解　

（1）原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55

＝2log55＝2.

（2）原式＝lg（2lg＋lg5）＋

＝lg（lg2＋lg5）＋1－lg＝lg＋1－lg＝1.

（3）原式＝＝＝.

（4）原式＝（lg5）2＋lg2·（lg2＋2lg5）

＝（lg5）2＋2lg5·lg2＋（lg2）2＝（lg5＋lg2）2＝1.

点评　要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．

变式迁移2　求下列各式的值：

（1）log535＋2log－log5－log514；

（2）[（1－log63）2＋log62·log618]÷log64.

解　

（1）原式

＝log5（5×7）－2log22＋log5（52×2）－log5（2×7）

＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2.

（2）原式＝[log2＋log62·log6（3×6）]÷log622

＝log62（log62＋log63＋1）÷（2log62）＝1.

　　　　　三、换底公式的应用

例3　

（1）设3x＝4y＝36，求＋的值；

（2）已知log189＝a,18b＝5，求log3645.

解　

（1）由已知分别求出x和y.

∵3x＝36,4y＝36，

∴x＝log336，y＝log436，

由换底公式得：

x＝＝，y＝＝，

∴＝log363，＝log364，

∴＋＝2log363＋log364

＝log36（32×4）＝log3636＝1.

（2）∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.

∴log3645＝＝

＝＝＝.

点评　指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．

变式迁移3　

（1）设log34·log48·log8m＝log416，求m；

（2）已知log1227＝a，求log616的值．

解　

（1）利用换底公式，得··＝2，

∴lgm＝2lg3，于是m＝9.

（2）由log1227＝a，得＝a，

∴lg3＝，∴＝.

∴log616＝＝

＝.

1．对于同底的对数的化简常用方法是：

（1）“收”，将同底的两对数的和（差）化成积（商）的对数；

（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．

2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．

3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．

一、选择题

1．lg8＋3lg5的值为（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

答案　D

解析　lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1000＝3.

2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　B

解析　log36＝＝＝.

3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于（　　）

A．2B.C．4D.

答案　A

解析　由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，

∴2＝（lga－lgb）2

＝（lga＋lgb）2－4lga·lgb

＝22－4×＝2.

4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于（　　）

A.B．3C．－D．－3

答案　A

解析　由指数式转化为对数式：

x＝log2.51000，y＝log0.251000，

则－＝log10002.5－log10000.25＝log100010＝.

5．设函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1），若f（x1x2…x2005）＝8，则f（x）＋f（x）＋…＋f（x）的值等于（　　）

A．4B．8C．16D．2loga8

答案　C

解析　因为f（x）＝logax，f（x1x2…x2005）＝8，

所以f（x）＋f（x）＋…＋f（x）

＝logax＋logax＋…＋logax

＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2005|

＝2loga|x1x2…x2005|

＝2f（x1x2…x2005）＝2×8＝16.

二、填空题

6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________.

答案　

解析　lg＝lg1.8＝lg＝lg

＝（lg2＋lg9－1）＝（a＋2b－1）．

7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____．

答案　1

解析　lo