二、对数式与指数式的互化
例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式:
(1)54=625;
(2)log8=-3;
(3)-2=16;(4)log101000=3.
分析 利用ax=N⇔x=logaN进行互化.
解
(1)∵54=625,∴log5625=4.
(2)∵log8=-3,∴-3=8.
(3)∵-2=16,∴log16=-2.
(4)∵log101000=3,∴103=1000.
点评 指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径.在利用ax=N⇔x=logaN进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置.
变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值:
(1)logx27=;
(2)log2x=-;
(3)log5(log2x)=0;(4)x=log27;
(5)x=log16.
解
(1)由logx27=,得x=27,∴x=27=32=9.
(2)由log2x=-,得2-=x,∴x==.
(3)由log5(log2x)=0,得log2x=1,∴x=21=2.
(4)由x=log27,得27x=,即33x=3-2,
∴x=-.
(5)由x=log16,得x=16,即2-x=24,
∴x=-4.
三、对数恒等式的应用
例3
(1)alogab·logbc·logcN的值(a,b,c∈R+,且不等于1,N>0);
(2)4(log29-log25).
解
(1)原式=(alogab)logbc·logcN=blogbc·logcN=(blogbc)logcN
=clogcN=N.
(2)原式=2(log29-log25)==.
点评 对数恒等式alogaN=N中要注意格式:
(1)它们是同底的;
(2)指数中含有对数形式;(3)其值为真数.
变式迁移3 计算:
3log3+()log3.
解 原式=+3log3=+(3log3)
=+=.
1.一般地,如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
2.利用ab=N⇔b=logaN(其中a>0,a≠1,N>0)可以进行指数与对数式的互化.
3.对数恒等式:
alogaN=N(a>0且a≠1).
一、选择题
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.100=1与lg1=0
B.27-=与log27=-
C.log3=9与9=3
D.log55=1与51=5
答案 C
2.指数式b6=a(b>0,b≠1)所对应的对数式是( )
A.log6a=aB.log6b=a
C.logab=6D.logba=6
答案 D
3.若logx(-2)=-1,则x的值为( )
A.-2B.+2
C.-2或+2D.2-
答案 B
4.如果f(10x)=x,则f(3)等于( )
A.log310B.lg3C.103D.310
答案 B
解析 方法一 令10x=t,则x=lgt,
∴f(t)=lgt,f(3)=lg3.
方法二 令10x=3,则x=lg3,∴f(3)=lg3.
5.21+·log25的值等于( )
A.2+B.2
C.2+D.1+
答案 B
解析 21+log25=2×2log25=2×2log25
=2×5=2.
二、填空题
6.若5lgx=25,则x的值为________.
答案 100
解析 ∵5lgx=52,∴lgx=2,∴x=102=100.
7.设loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为________.
答案 12
解析 ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,
∴a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.
8.已知lg6≈0.7782,则102.7782≈________.
答案 600
解析 102.7782≈102×10lg6=600.
三、解答题
9.求下列各式中x的值
(1)若log3=1,则求x值;
(2)若log2003(x2-1)=0,则求x值.
解
(1)∵log3=1,∴=3
∴1-2x=27,即x=-13
(2)∵log2003(x2-1)=0
∴x2-1=1,即x2=2
∴x=±
10.求x的值:
(1)x=log4;
(2)x=log9;(3)x=71-log75;
(4)logx8=-3;(5)logx=4.
解
(1)由已知得:
x=4,
∴2-x=22,-=2,x=-4.
(2)由已知得:
9x=,即32x=3.
∴2x=,x=.
(3)x=7÷7log75=7÷5=.
(4)由已知得:
x-3=8,
即3=23,=2,x=.
(5)由已知得:
x=4=.2.2.1 对数与对数运算
(二)
学习目标
1.掌握对数的运算性质及其推导.
2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.
自学导引
1.对数的运算性质:
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么,
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
2.对数换底公式:
logab=.
一、正确理解对数运算性质
例1 若a>0,a≠1,x>0,y>0,x>y,下列式子中正确的个数有( )
①logax·logay=loga(x+y);
②logax-logay=loga(x-y);
③loga=logax÷logay;
④loga(xy)=logax·logay.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案 A
解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如logax≠loga·x,logax是不可分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.
点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.
变式迁移1 若a>0且a≠1,x>0,n∈N*,则下列各式正确的是( )
A.logax=-logaB.(logax)n=nlogax
C.(logax)n=logaxnD.logax=loga
答案 A
二、对数运算性质的应用
例2 计算:
(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)2(lg)2+lg·lg5+;
(3);
(4)(lg5)2+lg2·lg50.
分析 利用对数运算性质计算.
解
(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55
=2log55=2.
(2)原式=lg(2lg+lg5)+
=lg(lg2+lg5)+1-lg=lg+1-lg=1.
(3)原式===.
(4)原式=(lg5)2+lg2·(lg2+2lg5)
=(lg5)2+2lg5·lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1.
点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.
变式迁移2 求下列各式的值:
(1)log535+2log-log5-log514;
(2)[(1-log63)2+log62·log618]÷log64.
解
(1)原式
=log5(5×7)-2log22+log5(52×2)-log5(2×7)
=1+log57-1+2+log52-log52-log57=2.
(2)原式=[log2+log62·log6(3×6)]÷log622
=log62(log62+log63+1)÷(2log62)=1.
三、换底公式的应用
例3
(1)设3x=4y=36,求+的值;
(2)已知log189=a,18b=5,求log3645.
解
(1)由已知分别求出x和y.
∵3x=36,4y=36,
∴x=log336,y=log436,
由换底公式得:
x==,y==,
∴=log363,=log364,
∴+=2log363+log364
=log36(32×4)=log3636=1.
(2)∵log189=a,18b=5,∴log185=b.
∴log3645==
===.
点评 指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换底公式可将差异消除.
变式迁移3
(1)设log34·log48·log8m=log416,求m;
(2)已知log1227=a,求log616的值.
解
(1)利用换底公式,得··=2,
∴lgm=2lg3,于是m=9.
(2)由log1227=a,得=a,
∴lg3=,∴=.
∴log616==
=.
1.对于同底的对数的化简常用方法是:
(1)“收”,将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
2.对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.
3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.
一、选择题
1.lg8+3lg5的值为( )
A.-3B.-1C.1D.3
答案 D
解析 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1000=3.
2.已知lg2=a,lg3=b,则log36等于( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 log36===.
3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则2的值等于( )
A.2B.C.4D.
答案 A
解析 由根与系数的关系,得lga+lgb=2,lga·lgb=,
∴2=(lga-lgb)2
=(lga+lgb)2-4lga·lgb
=22-4×=2.
4.若2.5x=1000,0.25y=1000,则-等于( )
A.B.3C.-D.-3
答案 A
解析 由指数式转化为对数式:
x=log2.51000,y=log0.251000,
则-=log10002.5-log10000.25=log100010=.
5.设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2…x2005)=8,则f(x)+f(x)+…+f(x)的值等于( )
A.4B.8C.16D.2loga8
答案 C
解析 因为f(x)=logax,f(x1x2…x2005)=8,
所以f(x)+f(x)+…+f(x)
=logax+logax+…+logax
=2loga|x1|+2loga|x2|+…+2loga|x2005|
=2loga|x1x2…x2005|
=2f(x1x2…x2005)=2×8=16.
二、填空题
6.设lg2=a,lg3=b,那么lg=__________.
答案
解析 lg=lg1.8=lg=lg
=(lg2+lg9-1)=(a+2b-1).
7.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为____.
答案 1
解析 lo