安徽省宣城七校学年高一上学期期中联考数学试题及答案.docx
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安徽省宣城七校学年高一上学期期中联考数学试题及答案
安徽省宣城七校2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合S，T均为实数集
的子集，且
，则
（）
A．
B．SC．TD．
2．“
，
”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
3．若
，
，若
，则a的取值集合为（）
A．
B．
C．
D．
4．若
为偶函数，
为奇函数，且
，则
的图象大致为（）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
，若
，则
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
6．某灭活疫苗的有效保存时间T（单位：
小时
）与储藏的温度t（单位：
℃）满足的函数关系为
（k，b为常数，其中
，是一个和
类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0℃时的有效保存时间是1080
，在10℃时的有效保存时间是120
，则该疫苗在15℃时的有效保存时间为（）
A．15hB．30hC．40hD．60h
7．已知
，
，且
，则
的最小值为（）
A．4B．8C．16D．32
8．已知函数
，且
，则（）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．下列各组集合中M与N表示同一集合的是（）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
10．下列命题正确的是（）
A．
的解集是全体实数
B．
，则
的最小值是
C．
，
，则
D．已知
，
，若
，则
11．已知函数
的定义域和值域同为
，则下列四个结论中一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
12．受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分別为
，
，
.甲有一半的时间以速度
米/秒奔跑，另一半的时间以速度
米/秒奔跑；乙全程以速度
米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度
米/秒奔跑，另一半的路程以速度
米/秒奔跑.其中
，
.则下列结论中一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．设集合
，
，则
______．
14．已知p：
指数函数
在
上为减函数；q：
，
．若命题p和q都是真命题，则实数t的取值范围为______．
15．约翰·卡尔-弗里德里希
高斯（JohannCarlFriedrichGauss，1777年4月30日-1855年2月23日），德国著名数学家，物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．函数
称为高斯函数，其中
表示不超过实数x的最大整数，例如
，
，当
时，函数
的值域为______．
四、双空题
16．已知函数
，
，则
______；满足不等式
的实数b的取值范围为______.
五、解答题
17．已知
表示实数集，集合
，集合
．
（1）当
时，求
；
（2）若
，求实数m的取值范围；
（3）若
，求实数m的取值范围．
18．已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
．
（1）求
；
（2）求
的解析式；
（3）若
，
，求区间I．
19．函数
的定义域为
．
（1）当
时，求函数
的值域；
（2）若函数
在定义域上是减函数，求a的取值范围；
（3）求函数
在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x的值．
20．已知定义在
上的奇函数
，当
时，函数解析式为
．
（1）求a的值，并求出
在
上的解析式；
（2）若对任意的
，总有
，求实数t的取值范围．
21．全国新旧动能转换的先行区济南市将以“结构优化·质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城.某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为
万元在年产量不足80个时，
（万元）；在年产量不小于80个时，
（万元）.每个工业机器人售价为6万元.通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．
（1）写出年利润
（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：
年利润=年销售收入−固定成本−流动成本）
（2）年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？
最大利润是多少？
22．已知函数
满足下列条件：
①
，
，
；
②对任意
、
，都有
；
③当
时，
；当
时，
．
试解决下列问题：
（1）求证：
当
时，
；
（2）判断
在
上的单调性，并给出证明；
（3）若
，求实数
的取值范围．
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
画出韦恩图，结合题意，即可判断和选择.
【详解】
因为集合S，T均为实数集
的子集，且
，
做出韦恩图如下所示：
由韦恩图可得：
.
故选：
C.
2．A
【解析】
【分析】
利用参数分离法得到
，
，
，再求出
在
，
上的最值，结合充分不必要条件分析即可．
【详解】
，
，
为真命题，
，
，
，
，
当
或
时，
，
，
，
，
，
，
为真命题的一个充分不必要条件是
，
故选：
．
3．B
【解析】
【分析】
或
，分类求解
，根据
可求得
的取值集合．
【详解】
或
，
，
，
或
或
，解得
或
，综上
，
．
故选：
．
4．A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性可得
，即可求解
解析式，通过排除可得答案．
【详解】
解：
由
得：
，即
，
由
解得：
，由
，排除BC．
由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D．
故选：
A
5．D
【解析】
【分析】
直接解不等式即可.
【详解】
当
时，若
，即
，解得
；
当
时，若
，即
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：
D
6．C
【解析】
【分析】
根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果.
【详解】
由题意知
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故选：
C．
7．C
【解析】
【分析】
，展开后利用基本不等式即可求解．
【详解】
因为
，
，且
，
∴
，当且仅当
，即
，即
时，等号成立．
故选：
C
8．A
【解析】
【分析】
首先确定函数的单调性，再构造函数
，研究函数
的奇偶性，再依次判断题中的不等式是否成立即可．
【详解】
由函数单调性性质得：
，
在R上单调递增，
所以
在R上单调递增，
令函数
，
则
，
所以
，
则函数
为奇函数，且在R上单调递增，
故
.
故选：
A．
9．BCD
【解析】
【分析】
根据集合相等的定义，结合函数定义域和值域的求解方法，即可对每个选项进行判断.
【详解】
对A：
因为
集合中的元素对应不同的两个点，故集合不相等；
对B：
因为
，故集合
；
，其定义域为
，
即
，故
；
对C：
，解得
或
，
又当
时，
不满足题意，舍去；即
；
，即
，
，解得
，故
，则
；
对D：
集合
均表示奇数构成的集合，故
.
故选：
BCD.
10．CD
【解析】
【分析】
利用配方法、基本不等式、以及不等式的性质，作差比大小逐项判断即可．
【详解】
A．因为
恒成立，所以
的解集是全体实数
的说法错误．
B．因为
，所以
（当且仅当
，即
时取等号），
则
，所以
的最大值是
，故B不正确；
C．因为
，
，所以
，
，则
，故C正确．
D．因为
，
，且
，所以
，即
，
则
，所以
，
，故
，所以
成立．
故选：
CD．
11．BD
【解析】
【分析】
首先讨论
的符号，推得
，
成立，再解一元二次不等式得定义域，可得
，进而根据二次函数的最值求法求得
，从而解方程可得
的值，即可得答案．
【详解】
解：
函数
，可得
，
若
，则
，
的定义域不为
；
若
，则
的定义域也不为
，所以
；
若
，
，则
的解集为
，也不成立；
若
，
，则
的解集为
，这与
的值域为
，且
矛盾，所以
，
也不成立；
所以
，
，则
的解集为
，所以
，
，
又由
的最大值为
，可得
，
所以
，即
，
所以
，解得
，至于b，仅能推断出
，
所以选项BD一定正确，选项AC不一定正确．
故选：
BD.
12．AC
【解析】
【分析】
分别列出
，
，
的表达式，根据基本不等式逐一判断即可．
【详解】
由题意知：
，所以
，
，
，
由基本不等式可得
，所以
，
所以
故
，当且仅且
时等号全部成立.
故A选项正确，B选项错误
又由
，
故易知
，即C项正确；
，
，
取
，此时
，
所以D选项不一定成立，
故选：
AC．
13．
【解析】
【分析】
联立方程组，求出交点坐标，即可得到答案．
【详解】
解方程组
，得
或
.
故答案为：
．
14．
【解析】
【分析】
根据题意，求出
、
为真时
的取值范围，分析可得答案．
【详解】
由p：
指数函数
在
上为减函数，∴
，解得
；由q：
，
，即
能成立，只需t大于等于
的最小值2，所以若q为真命题，则
.由题意“p且q”为真命题，所以p和q都是真命题，所以
不存在，
故答案为：
．
15．
【解析】
【分析】
根据
的定义，分类讨论，求得不同情况下
的值，以及
的值，即可求得函数值域.
【详解】
根据题意可得：
当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
.
综上所述，函数的值域为
．
故答案为：
.
16．3
【解析】
【分析】
取
代入得
可得
，分析函数单调性结合不等式即可求解．
【详解】
由
的定义域为R，且
知，
，
所以
，故
，
又函数
在R上单调递减，
由
，得
，则
，解得
，
故b的取值范围为
，
故答案为：
3；
．
17．
（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】
（1）解不等式求出集合A，再求出集合A的补集，然后求出
，
（2）由
，可得
，从而得
，解不等式组可得答案，
（3）由
，分
和
两种情况求解即可
（1）
因为
，所以
或
，
当
时，
，
所以
（2）
由
知
，所以
，得
，
即实数m的取值范围为
（3）
由
，得
①当
，即
时，
，符合题意；
②当
，即
时，若要满足题意，
则需
或
，得
．
综上，可知实数m的取值范围为
．
18．
（1）6
（2）
（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意可得
，解方程可得
，由代入法和奇函数的定义，计算可得所求和；
（2）由奇函数的定义，计算
时，
的解析式，可得所求
的解析式；
（3）根据
在
上递增，由
的解析式，结合指数不等式的解法，可得所求区间．
（1）
∵
是奇函数，∴
，∴
∴
（2）
设
，则
，∴
∵
为奇函数，∴
．∴
（3）
由函数解析式可得
在R上单调递增．
当
时，
解得
当
时，
解得
．∴区间I为
．
19．
（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）先由基本不等式求出其最小值，再利用函数的变化趋势可求得函数的值域，
（2）利用减函数的定义求解，
（3）分
，
和
三种情况求解
（1）
当
时，
，当且仅当
，即
时等号成立．
，当
且x趋向于0时，
趋向于
，
所以
趋向于
，
所以函数
的值域为
．
（2）
若函数
在定义域上是减函数，则任取
，
，且
，
都有
成立，即
，
只要
恒成立即可，由
，
，且
，
故
，所以
，
故a的取值范围是
（3）
当
时，
，则函数
在
上单调递增，无最小值，当
时取得最大值
；
当
时，由
（2）可知函数
在
上单调递减，无最大值，当
时取得最小值
；
当
时，
，任取
，
，且
，则
，所以当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，无最大值，当
时取得最小值
．
综上，当
时，
无最小值，当
时取得最大值
；当
时，
无最大值，当
时取得最小值
；
时，
无最大值，当
时取得最小值
．
20．
（1）-3，
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的性质有
即可求参数a，再利用奇函数的性质
求函数解析式即可.
（2）由
（1），应用换元法及二次函数的性质可知
在
上恒成立，将问题化为
恒成立，求参数范围即可.
（1）
根据题意，
是定义在
上的奇函数，则有
，
当
时
，则
，解得：
，
当
时，
，
设
，则
，则
，又
为奇函数，
所以
，
综上，
，
（2）
由
（1），
时，
，
设
，则
，则原函数可化为：
，
由
，
知：
在
上恒成立，
要使
在
上恒成立，只需
，解得：
，
所以t的取值范围为
．
21．
（1）
（2）年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元
【解析】
【分析】
小问1：
分段讨论求解即可；
小问2：
当
时，利用二次函数性质求解最值；当
时，结合基本不等式求解最值．
（1）
因为每个工业机器人售价为6万元，则x个工业机器人的销售收入为6x万元，依题意得：
当
时，
，
当
时，
，
∴
（2）
当
时，
，
此时，当
时，
取得最大值20；
当
时，
，
此时，当
即
时，
取得最大值25；
∵
，
∴年产量为85个时，工业机器人生产中所获利润最大，最大利润是25万元．
22．
（1）证明见解析；
（2）
在
上是增函数，证明见解析；
（3）
.
【解析】
【分析】
（1）令
，可求得
的值，再令
，代入
化简可证得结论成立；
（2）判断出
在
上是增函数，然后任取
、
且
，可得出
，由已知条件得出
，可得出
，判断
的符号，即可证得结论成立；
（3）推导出函数
为偶函数，计算得出
，将所求不等式变形为
，利用
（2）中的结论可得出关于
的不等式，即可解得实数
的取值范围.
（1）
证明：
令
，则
，
所以
，
令
，得
，即
，
又因为对于任意的
，都有
，所以当
时，
成立.
（2）
证明：
在
上是增函数，证明如下：
任取
、
且
，则
，
所以，
，
所以，
，
又由题意知：
，
，
，即
，
故
在
上是增函数．
又因为
，且
，所以
在
上为增函数．
（3）
解：
，所以，
，
故原不等式可化为
，
令
得
，即
，
所以
为偶函数，所以不等式等价于
，
又因为
在
上的增函数，所以
，解得
．
所以
的取值范围为
．
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